Regresso com Descontinuidade RDD Prof Dr Luiz Guilherme

Regressão com Descontinuidade RDD Prof. Dr. Luiz Guilherme Scorzafave MESTRADO – ECONOMIA APLICADA NOVEMBRO/2017 FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Bibliografia • Lee & Lemieux (2010). Regression discontinuity designs in economics. Journal of Economic Literature. • Imbens & Lemieux (2008). Regression discontinuity designs: A guide to practice. Journal of Econometrics. • http: //www. stephenporter. org/causalinference /RD_resources. html extensões, outros textos. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 2

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Origens e Modelo Básico • Thistlethwaite and Campbell (1960) • Impacto de prêmio por mérito no resultado acadêmico futuro de estudantes de graduação. • Apenas no final dos anos 90 foi redescoberto na Economia (Angrist e Lavy, 1999). • Desde então, profusão de estudos usando RDD. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 3

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Origens e Modelo Básico • No trabalho original de Thistlethwaite e Campbell (1960), avaliou-se o impacto de prêmio por mérito acadêmico sobre resultados futuros (ingresso no ensino superior, por exemplo). • Os que tinham desempenho em um teste padronizado acima de um determinando patamar, ganhavam o prêmio. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 5

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Origens e Modelo Básico • Também não havia outro motivo além do prêmio, que fizesse o resultado acadêmico futuro (Y) ser função descontínua de teste padronizado. • Isso sugere que o “pulo” em Y no ponto c seria o efeito causal do prêmio por mérito. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 6

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Origens e Modelo Básico • Se todos os fatores, além do prêmio, variam suavemente com X, então B’ é um bom chute de qual seria o valor de Y para indivíduo com escore c e que recebeu o prêmio. • A’’ seria bom chute para esse mesmo cara se não tivesse recebido o prêmio. • B’ – A’’ efeito causal FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 8

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Origens e Modelo Básico • Na prática, há trade-off na escolha dos pontos a serem usados. Quanto menor a área considerada, mais próximo da quebra; porém, menos pontos haverão. • Na figura anterior, não há nenhum ponto entre c’’!!! • Assim, é inevitável usar dados mais longe da quebra. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 10

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD e Resultados Potenciais • Hahn, Todd e van der Klauw (2001) – traduziram RDD na linguagem da literatura de resultados potenciais • Hipótese chave para validade do RDD: – continuidade dos outros fatores com relação a X FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 12

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD e Resultados Potenciais • Abordagem de resultados potenciais introduz algumas dificuldades na interpretação: – Não é claro o que a continuidade significa do ponto de vista econômico, pois não há paralelo dessa hipótese em outras aplicações econométricas, como matching, por exemplo. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 15

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD e Resultados Potenciais • Abordagem de resultados potenciais introduz algumas dificuldades na interpretação: – RDD é aplicação peculiar de seleção em observáveis, como se fosse forma limite de matching em um ponto (Heckman, Lalonde, Smith, 1999). – Mesmo considerando essa interpretação, RDD satisfaz parcialmente as hipóteses matching para inferência causal (ignorabilidade e sobreposição) FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 16

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD e Resultados Potenciais • Abordagem de resultados potenciais introduz algumas dificuldades na interpretação: – RDD satisfaz ignorabilidade trivialmente (condicional em X, não há variação restante em D; então D não pode estar correlacionado a nenhum outro fator), mas viola sobreposição (não consigo observar unidades tratadas e controle para o mesmo valor de X) – Isso é “compensado” pela hipótese de continuidade (observo Y para valores de X parecidos, perto de c) FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 17

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD como experimento aleatório local • Lee e Lemieux (2010) argumentam que as hipóteses do RDD são menos arbitrárias que as de outros métodos de inferência causal (VI, Dif-Dif, Matching); • RDD se aproxima mais do experimento aleatório do que desses métodos. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 18

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE RDD como experimento aleatório local • Em uma aleatorização, como a variável X de atribuição ao tratamento é aleatória , ela é independente dos resultados potenciais, o que explica sua horizontalidade e, portanto, a continuidade em torno do ponto c. • Desse modo, o ATE pode ser estimado como a diferença no resultado médio dos 2 grupos. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 19

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • Lee e Lemieux (2010) colocam 3 perguntas chaves: I. Como saber se RDD é apropriado para minha pesquisa? Quando as hipóteses de identificação são ou não plausíveis? II. Há alguma maneira de testar tais hipóteses? III. Em que medida os resultados de RDD são generalizáveis? FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 21

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação I. Como saber se RDD é apropriado para minha pesquisa? Quando as hipóteses de identificação são ou não plausíveis? – RDD é apropriado se for plausível que todos os fatores não observáveis sejam “continuamente” relacionados a X – Quando há um componente de erro estocástico distribuído continuamente em X (o que ocorre quando agentes otimizadores não tem controle exato sobre a variável de atribuição X), então RDD será tão bom quanto aleatorização na vizinhança da quebra. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 22

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação – Ou seja, os indivíduos não podem ter o controle exato da atribuição ao tratamento, via variável X, mas podem ter controle parcial: – Ex: alunos com habilidades (A > B). A se esforça mais que B, mas não sabe a priori, se seu esforço será suficiente para passar o ponto de corte e receber o prêmio. – Se controle fosse exato, seria o caso de autosseleção ao tratamento, o que enviesaria o estimador. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 23

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • Se ele se autosseleciona, a distribuição é degenerada em c, pois tem controle exato sobre X. • Se ele pode exercer esforço, de sorte que assim pode receber prêmio, embora a nota acima do valor de corte seja determinada por alguma aleatoriedade, a distribuição é truncada. • Se houver erro estocástico em X e ele não tem controle preciso sobre X, a densidade de X, dado (U=u, W=w) é contínua em c na distribuição destruncada. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 26

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • Portanto, o fato de não controlar perfeitamente X implica que tratamento é localmente aleatorizado. • Esse resultado possui três implicações práticas: a) Gap em y no ponto de quebra identifica o efeito do tratamento b) Abre possibilidade de testar a validade da estratégia RDD c) Mostra a irrelevância de controlar por X do baseline FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 30

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • Voltando às perguntas… II. Existe algum jeito de testar essa hipótese de identificação? – Não, continuidade é necessária de sorte que não há teste para a validade dela – Sim, assim como em experimento aleatorizado, a distribuição das covariadas no baseline não deve mudar descontinuamente no ponto de corte FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 32

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 33

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • A inclusão de variáveis explicativas do baseline é desnecessária, em geral, no RDD. • Na prática, é feito isso para diminuir variabilidade amostral do estimador, especialmente quando uma das covariadas é a variável dependente observada antes da atribuição do tratamento, que pode estar altamente correlacionada com Y pós tratamento. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 34

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Identificação e Interpretação • Voltando às perguntas… III. Em que medida os resultados de RDD são generalizáveis? – A estimativa de RDD só é aplicável para a subpopulação de indivíduos que está em torno do ponto de quebra e não informativa sobre o efeito para os demais. – RDD pode ser interpretado como uma média ponderada de ATE, onde os pesos são dados pela probabilidade ex ante de que o valor da variável X esteja na vizinhança do ponto de corte. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 35

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Fuzzy RDD x Sharp RDD • Até agora, pressupomos que há uma única variável binária de tratamento e que X discrimina perfeitamente a recepção do tratamento. • Lee e Lemieux (2010) discutem o caso de Fuzzy RDD, onde X não discrimina perfeitamente. • Na prática, muitas vezes há um aumento (não de 0 para 1) na probabilidade de receber tratamento ao passar do ponto X=c. Ou seja o aumento da prob <1. • Assim, o salto na relação entre Y e X não pode mais ser interpretado como ATE. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 38

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Fuzzy RDD x Sharp RDD • FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 40

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Fuzzy RDD x Sharp RDD • Em suma, a diferença entre Fuzzy e Sharp RDD é análoga a diferença entre experimento aleatório com perfect compliance e o caso de imperfect compliance, quando apenas a “intenção de tratamento” é aleatorizada. • Também é importante verificar a relação entre D e X no primeiro estágio, assim como em VI. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 41

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Comparando Métodos X e tratamento X e observáveis X e não observáveis FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 42

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Análise Gráfica • Uma forma de apresentar os dados no RDD é dividir a variável X em intervalos (bins), garantindo que haja dois bins distintos de cada lado do ponto de corte (ou seja, um bin não pode ter observações tratadas e não -tratadas) • Calcula-se o valor médio de Y dentro de cada bin e representa-os em diagrama de dispersão com o valor médio do bin. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 43

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Análise Gráfica • -3 -2 -1 0 1 2 3 4 FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 44

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Análise Gráfica • Esse gráfico tem a vantagem de facilitar a visualização da forma funcional da regressão em cada lado do ponto de corte. • Também dá ideia do tamanho do salto em Y em torno do ponto de corte, isto é, do efeito do tratamento. • Permite ver se há “pulos” em outros pontos, além do ponto de corte. • Quanto mais estreitos forem os bins, aumenta a variância das estimativas. Se forem muito largos, aumenta o viés. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 46

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Análise Gráfica • A escolha da janela é um ponto sensível. Se estiver estimando a regressão por modelo paramétrico (MQO), sugere-se: • A) imagine que está usando K´ bins dummies. Dobra o número de bins para 2 K´ (e reduz a janela para metade). Faz teste F comparando R 2 dos modelos com mais bins (irrestrito) e menos bins (restrito). Se não rejeitar a nula, então não estamos suavizando demais os dados ao usar somente K´ bins. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 47

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Análise Gráfica • A escolha da janela é um ponto sensível. Se estiver estimando a regressão por modelo paramétrico (MQO), sugere-se: • B) se os bins forem estreitos o suficiente, não deve haver relação entre X e Y dentro de cada bin. (Roda -se MQO de Y em X dentro de cada bin). Isso pode ser feito colocando-se interações das dummies de bins com X em modelo de Y em dummies de bins e testando a significância conjunta das interações. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 48

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Exemplo: voto • Efeito do parcela de votos democratas na eleição em t sobre probabilidade de re-eleição em t+1 (Lee, 2008) • São modelos MQO a quarta potência estimados separadamente em cada lado do ponto de corte. • A variável de atribuição (X) é a diferença entre a parcela de votos democratas e republicanos na eleição anterior (normalizada para zero). Assim, o democrata é reeleito se X>0. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 49

Vote share em t+1 REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Vote share em t FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 50

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Ganhar eleição em t+1 REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Vote share em t FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 53

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Escolhas metodológicas • Estimação pode ser via regressão não paramétrica (kernel ou regressão linear local) ou paramétrica utilizando polinômios da variável X • Lee e Lemieux criticam o uso do kernel (retangular) pois leva a estimativa enviesada do efeito do tratamento (ver figura a seguir). Estimação Kernel (B´-A´) sobrestima o efeito do tratamento (B-A) • O problema é que em amostras finitas, há trade-off viés/variância, via aumento ou redução da janela. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 58

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REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Escolhas metodológicas • Hahn, Todd e van der Klaauw (2001) sugerem regressão linear local. • Com kernel retangular, isso equivale a rodar MQO dentro dos bins na vizinhança do ponto de corte e calcular os valores previstos. • No gráfico, esses serão mais próximos de (B-A) do que (B´-A´), diminuindo o viés da estimação. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 60

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Exemplo de estimação FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 61

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Escolhas metodológicas • Conclusão: • • • No caso não paramétrico, é importante a escolha da janela do kernel. Imbens and Kalyanaraman (2009) sugerem uma janela ótima, implementada no Stata. É importante a escolha dos termos do polinômio, no caso paramétrico. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 62

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Checklist para RDD 1. Para verificar a possibilidade de manipulação da variável de atribuição X, mostre sua distribuição. • Histograma de X com numero fixo de bins ou teste proposto por Mc. Crary (2008), disponível para Stata em: http: //emlab. berkeley. edu/~jmccrary/DCdensity/ 2. Apresente o gráfico de RD principal de Y usando médias locais dos bins 3. Coloque no gráfico uma especificação polinomial básica FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 63

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Checklist para RDD 4. Explore a sensibilidade dos resultados a escolha do tamanho das janelas e da ordem do polinômio. 5. Faça análise RDD semelhante nas covariadas do baseline • Ou seja, não deve haver descontinuidade nessas variáveis antes da atribuição do tratamento 6. Explore a sensibilidade dos resultados a inclusão de covariadas da linha de base • Elas não devem alterar os resultados FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 64

REGRESSÃO COM DESCONTINUIDADE Extensão de RDD – Múltiplas variáveis de atribuição (Papay et al. , 2011) • • Ex: se alunos tirarem nota acima do threshold em matemática, professor ganha bonus z. Se também tirar nota acima do threshold em linguagem ganha bonus maior que z. Note que nesse caso, as duas variáveis de atribuição vão dar origem a dois tratamentos diferentes. FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 65