Matemtica I Prof Gerson Lachtermacher Ph D Contedos

Matemática I Prof. Gerson Lachtermacher, Ph. D.

Conteúdos da Seção p 2 Limites n Teoremas n Limites Unilaterais n Exercícios p Continuidade p Assíntotas n Horizontais n Verticais

Limites Introdução 3 p Considere a função. . . p f (x) é definida no domínio

Limites Introdução p 4 Na proximidade esquerda de x = 2, temos. . . x f (x) 1 8 1, 5 11 1, 9 13, 4 1, 99 13, 94 1, 999 13, 994 1, 9999 13, 9994 2 14

Limites Introdução p 5 Na proximidade direita de x = 2, temos. . . x f (x) 3 20 2, 5 17 2, 1 14, 6 2, 01 14, 06 2, 001 14, 006 2, 0001 14, 0006 2 14

Limites Teorema 6

Limites Definição p Dizemos que a função. . . tem limite 14 quando x se aproxima de 2, por números maiores ou menores que 2. . . 7

Limites Introdução 8 p Considere a função. . . p f (x) é definida no domínio

Limites Introdução p 9 Na proximidade esquerda de x = 2, temos: x f(x) 1 7 1, 5 8, 5 1, 9 9, 7 1, 99 9, 97 1, 999 9, 997 1, 9999 9, 9997

Limites Introdução p 10 Na proximidade direita de x = 2, temos. . . x f(x) 3 13 2, 5 11, 5 2, 1 10, 3 2, 01 10, 03 2, 001 10, 003 2, 0001 10, 0003

Limites Teorema 11

Limites Definição p Dizemos que a função. . . tem limite 10 quando x se aproxima de 2, por números maiores ou menores que 2. . . 12

Limites Definição p p p 13 Dizemos que a função f (x) tem limite L quando x se aproxima de a, se podemos fazer o valor de f (x) tão próximo do número L quanto quisermos, tomando x suficientemente próximo (mas não igual) a a. Denotamos esse fato por. . . Também costumamos dizer que “L é o limite de f(x) quando x tende para a”.

Limites Utilização em Administração 14 p Determinação de valores máximos e mínimos. p Auxílio na confecção de gráficos. p Determinação do custo e receitas marginais.

Limites Teorema p Se r é um número inteiro positivo qualquer, então, e p 15 Exemplo:

Limites Teorema: Exemplos 16

Limites Teorema p 17 Se r é um número inteiro positivo, então. . .

Limites Teorema: Exemplos 18

Limites Exemplo 19

Limite Exemplo 20

Limites Exercícios Propostos 1. 2. 3. 21

Limites Exercícios Propostos 4. 5. 6. 22

Limites Exercícios Propostos 7. 8. 9. 23

Limites Exercícios Propostos: Solução 1 24

Limites Exercícios Propostos: Solução 2 25

Limites Exercícios Propostos: Solução 3 26

Limites Exercícios Propostos: Solução 3 27

Limites Exercícios Propostos: Solução 4 28

Limites Exercícios Propostos: Solução 5 29

Limites Exercícios Propostos: Solução 6 30

Limites Exercícios Propostos: Solução 6 31

Limites Exercícios Propostos: Solução 7 32

Limites Exercícios Propostos: Solução 8 33

Limites Exercícios Propostos: Solução 9 34

Limites Exercícios Propostos: Solução 9 35

Continuidade Conceito p p 36 Em essência, dizemos que uma função é contínua, se podemos passar um lápis sobre todo o seu gráfico, e somente sobre ele, sem tirá-lo uma única vez do papel. Essa noção intuitiva é muito difícil de se aplicar fora do conjuntos R 2 ou R 3.

Continuidade Conceito p 37 Dizemos que uma função f é contínua em um número a, se e somente se. . .

Descontinuidade Tipos de Descontinuidade p Descontinuidade Infinita Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se f tende para infinito (positivo ou negativo) nesse ponto. p Descontinuidade de Salto Quando p f (x) varia abruptamente em um ponto x = a. Descontinuidade Removível Quando existe 38 (x) , mas f (x) não está definida em a.

Descontinuidade Infinita Exemplo 39

Descontinuidade de Salto Exemplo 40

Descontinuidade Removível Exemplo 41

Assíntota Horizontal p 42 Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações for verdadeira. . .

Assíntota Horizontal Exemplo p A função f (x) = 7 e x tem assíntota horizontal dada pela função f (x) = 0, pois 43

Assíntota Horizontal Exemplo p A função f (x) = 7 e x tem assíntota horizontal dada pela função f (x) = 0, pois 44

Assíntota Vertical p 45 Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações for verdadeira.

Assíntota Vertical Exemplo p A função pois a função não existe no ponto (divisão por zero) e os limites laterais tendem para infinito. 46

Assíntota Vertical Exemplo p 47 A função 1/x 3 tem assíntota vertical em x=0, pois a função não existe no ponto e os limites laterais tendem para infinito.

Exercícios Propostos 48

Exercícios 49