DEPARTAMENTO DE FISICA DE INACAP Magnitudes Vectoriales Contenidos

DEPARTAMENTO DE FISICA DE INACAP Magnitudes Vectoriales

Contenidos I parte. Objetivo de la unidad. Expectativas de la unidad. Distancia y Desplazamiento. Identificación de dirección. Vectores y coordenadas polares. Coordenadas rectangulares. Aplicación de Trigonometría a Vectores.

Contenidos II parte. Signos para coordenadas rectangulares. Resultante de vectores perpendicular. Método de componentes. Dígitos significativos para ángulos. Diferencia Vectorial. Suma y Resta Vectorial.

Objetivos de la unidad: Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. Determinar los componentes de un vector dado. . Encontrar la resultante de dos o más vectores.

Expectativas I. Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Entonces… recordando…. . m 1 km 3600 s 144 km/h 40 --- x -------- = s 1000 m 1 h

Expectativas II Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Ejemplo: Resultado: Resuelva para vo

Expectativas III Evalúe lo siguiente Debe ser capaz de trabajar en notación científica. -11)(4 x 10 -3)(2) (6. 67 x 10 Gmm’ F = ------------3)2 2 (8. 77 x 10 r Resultado: F = 6. 94 x 10 -9 N = 6. 94 n. N

Expectativa IV Debe estar familiarizado con prefijos del SI. metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10 -9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10 -6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10 -3 m

Expectativa V Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. R y q x

Por lo tanto… Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Debe estar familiarizado con prefijos del SI. Debe dominar la trigonometría del triángulo recto.

Distancia y Desplazamiento

Distancia: cantidad escalar Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. s = 20 m A B Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal)

Desplazamiento- Cantidad vectorial Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. D = 12 m, 20 o A B Una cantidad vectorial: Contiene magnitud y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)

Distancia y desplazamiento Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D = 2 m, W D 4 m, E x = +4 x = -2 6 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? ¡¡ 10 m !!

Identificación de dirección.

Identificación de dirección I Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo. ) Longitud = 40 m 60 o 50 o 60 o 40 m, 50 o N del E 40 m, 60 o N del W 40 m, 60 o W del S 40 m, 60 o S del E

Identificación de dirección II Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. N W 45 o E 50 o N W S E S 500 S del E 450 W del N Clic para ver las respuestas. . .

Vectores y coordenadas polares.

Vectores y coordenadas polares I Las coordenadas polares (R, ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 90 o 180 o 270 o 90 o 40 m 50 o 0 o R es la magnitud 180 o y q la dirección. 270 o R q 0 o

Vectores y coordenadas polares II Se dan coordenadas polares (R, ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 90 o (R, ) = 40 m, 50 o 120 o 210 o 180 o 60 o 50 o 60 o 3000 270 o 0 o (R, ) = 40 m, 120 o (R, ) = 40 m, 210 o (R, ) = 40 m, 300 o

Coordenadas rectangulares.

Coordenadas rectangulares I y (-2, +3) La referencia se hace a los ejes x y , y los números + y – indican posición en el espacio. (+3, +2) + (-1, -3) + x Derecha, arriba = (+, +) - Izquierda, abajo = (-, -) (+4, -3) (x, y) = (? , ? )

Aplicación de Trigonometría a Vectores.

Aplicación de trigonometría a vectores I Trigonometría R y q x

Aplicación de trigonometría a vectores I Ejemplo 1. Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30 o. La altura h es opuesta a 300 y el lado adyacente conocido es de 90 m. h 300 90 m h = (90 m) tan 30 o h = 57. 7 m

Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y del vector (R, q). R q x x = R cos q y y = R sen q Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular

Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? N N R q x 400 m y 30 o E y=? x=? El componente x (E) es ADY: x = R cos q El componente y (N) es OP: y = R sen q E

Ejemplo 2 (cont. ): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N 400 m 30 o Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 y=? x=? E x = (400 m) cos 30 o = +346 m, E ADY = HIP x cos 300 x = R cos q El componente x es: Rx = +346 m

Ejemplo 2 (cont. ): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N 400 m 30 o Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 y=? x=? E y = (400 m) sen 30 o = + 200 m, N OP = HIP x sen 300 y = R sen q El componente y es: Ry = +200 m

Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N 400 m 30 o Rx = Ry = +200 m E Los componentes x y son cada uno + en el primer cuadrante +346 m Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

Signos para coordenadas rectangulares.

Signos para coordenadas rectangulares 90 o Primer cuadrante: R es positivo (+) R q + + 0 o > q < 90 o 0 o x = +; y = + x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares 90 o 180 o + R Segundo cuadrante: R es positivo (+) q 90 o > q < 180 o x=-; y=+ x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180 o q 180 o > q < 270 o x=- - R 270 o y=- x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) q + 360 o R 270 o > q < 360 o x=+ y=- x = R cos q y = R sen q

Resultante de vectores perpendicular.

Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R q y x R siempre es positivo; q es desde el eje +x

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? . Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej: 1 cm = 10 lb 40 lb 4 cm = 40 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden si se 30 tratar lb como 3 cm = tuvieran 30 lb vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El 30 lb procedimiento es el mismo!

Cómo encontrar la resultante. Continuación Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) 40 lb Rx q f R= tan = Ry R 30 lb x 2 + y 2 -30 40 R= 40 lb 30 lb (40)2 + (30)2 = 50 lb = -36. 9 o q = 323. 1 o

Cuatro cuadrantes. Continuación 30 lb q Ry f 40 lb R = 50 lb Rx 40 lb Rx q q 30 lb R Ry Rx 40 lb Rx f f Ry 30 lb R q R R = 50 lb 40 lb Ry R 30 lb = 36. 9 o; q = 36. 9 o; 143. 1 o; 216. 9 o; 323. 1 o

Notación Vector Unitario ( i, j, k)

Notación vector Unitario ( i, j, k) Considere ejes 3 D (x, y, z) y j k z i x Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R, q. +40 m R -30 m R = Rx i + Ry j Rx = - 30 m Ry = + 40 m R = -30 i + 40 j El desplazamiento es 30 m oeste y 40 m norte de la posición de partida.

Ejemplo 4 (cont. ): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R, . +40 m R -30 m = 1800 – 59. 10 q = 126. 9 o R = 50 m (R, q) = (50 m, 126. 9 o)

Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. 46 km R = -46 i – 35 j =? 35 km R = 57. 8 km R=? A q = 1800 + 52. 70 = 52. 70 S de W. q = 232. 70 B

Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo. F = 240 N Fy F Fy 280 Fx Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N O en notación i, j : Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N F = -(212 N)i + (113 N)j

Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 320. F = 300 N 32 o Fx Fy 320 F Fy Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N O en notación i, j : Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N F = -(254 N)i - (159 N)j

Método de componentes.

Método de componente 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1 o a la cola del 2 o, la punta del 2 o a la cola del 3 o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, q).

Ejemplo 9. Un bote se mueve 2. 0 km al este, luego 4. 0 km al norte, luego 3. 0 km al oeste y finalmente 2. 0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1 o a la cola del 2 o, la punta del 2 o a la cola del 3 o, y así para los demás. D N 2 km, S 3 km, O C B 4 km, N A 2 km, E E 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.

Ejemplo 9 (cont. ) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j: A = +2 i B= +4 j R= -2 j -1 i 3 km, O C +2 j 1 km al oeste y 2 km al norte del origen. B 4 km, N A 2 km, E C = -3 i D= D 2 km, S N E 4. Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D para obtener la resultante en notación i, j. 5. Convierta a notación R, q Vea página siguiente.

Ejemplo 9 (cont. ) Encuentre desplazamiento resultante. N La suma resultante es: D 3 km, O 2 km, S R = -1 i + 2 j C B 4 km, N Ahora encuentre R, E A 2 km, E R = 2. 24 km R = 63. 40 N del O Rx = -1 km Ry = +2 km

Recordatorio de unidades significativas: Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas. D 2 km N 3 km C B 4 km A 2 km E En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2. 00 km, 4. 00 km y 3. 00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2. 24 km, 63. 40 N del O

Dígitos significativos para ángulos.

Dígitos significativos para ángulos Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. q= 36. 9 o; 323. 1 o q Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: 30 lb R q Ry Rx 40 lb Rx 40 lb Ry R 30 lb

Ejemplo 10: Encontrar R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: A = 5 m, 00 B = 2. 1 m, 200 C = 0. 5 m, 900 R q A=5 m C= B 0. 5 m 200 B = 2. 1 m 1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo). 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. (R, q). 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa. . . )

Ejemplo 10: Encuentre R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla. ) Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C. Vector A=5 m R q A=5 m C= B 0. 5 m 200 B = 2. 1 m componente x (i) componente y (j) 00 +5 m B = 2. 1 m 200 +(2. 1 m) cos 200 C = 0. 5 m 900 0 R x = A x + Bx + C x 0 +(2. 1 m) sen 200 + 0. 5 m R y = A y + By + C y

Ejemplo 10 (cont. ): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2. 1 m, 200; C = 0. 5 m, 900. componente x (i) componente y (j) Ax = + 5. 00 m Ay = 0 Bx = +1. 97 m By = +0. 718 m Cx = 0 Cy = + 0. 50 m 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j. A = 5. 00 i + 0 j B = 1. 97 i + 0. 718 j C = 0 i + 0. 50 j R = 6. 97 i + 1. 22 j

Ejemplo 10 (cont. ): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2. 1 m, 200; C = 0. 5 m, 900. R = 6. 97 i + 1. 22 j Diagrama para encontrar R, q: 5. Determine R, a partir de x, y: R q R = 7. 08 m Ry 1. 22 m Rx= 6. 97 m q = 9. 930 N del E

Diferencia Vectorial.

Diferencia Vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Considere primero A + B gráficamente: B R=A+B R A A B

Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A -B R’ A A -B

Suma y Resta Vectorial

Suma y recta La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B| Comparación de suma y resta de B B R=A+B R’ = A - B A R A A B R’ -B

Ejemplo 13. Dados A = 2. 4 km N y B = 7. 8 km N: encuentre A – B y B – A. A-B A – B; B-A +A -B R A 2. 43 N B 7. 74 N B-A +B -A R (2. 43 N – 7. 74 S) (7. 74 N – 2. 43 S) 5. 31 km, S 5. 31 km, N

Resumen para vectores § Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal). § Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300). Componentes de R: Rx = R cos q Ry = R sen q Rx Ry

Continuación § Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, ) a rectangulares (Rx, Ry). Resultante de vectores: R q Rx Ry

Método de componentes para vectores § Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. § Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. § Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry). § Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, q).

Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A -B R’ A A -B

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