UNIDAD III Clculo diferencial de varias variables De

UNIDAD III Cálculo diferencial de varias variables

De la función vectorial: 3. 1 Conceptos Básicos. La derivada es un concepto propio del cálculo. La definición textual más precisa es la pendiente de la recta tangente a la función dada. Esto ocurre en una función común de dos variables. En funciones de varias variables, la definición también es aplicable, pero con ciertos cambios. Dichos cambios tienen que ver con el hecho de que, la derivada es una tasa de cambio de la función respecto a una variable; si una función tiene más de una variable independiente, ¿respecto a cuál de ellas cambia la función? Para resolver esta pregunta se creó la teoría de las derivadas parciales. Sea z = f(x, y) una función continua y con un gráfico genérico. La forma puede ser cualquiera. Teniendo un punto genérico P (x, y, z), existen una cantidad infinita de rectas tangentes a dicho punto. Lo único que cambia es la dirección de cada una de ellas. Sin embargo, en una función de varias variables, como la anterior, el crecimiento o decremento no va respecto a un eje diagonal o con cualquier orientación, sino solo hacia el eje x o al eje y.

3. 1 Conceptos Básicos.

De la función vectorial: 3. 1 Conceptos Básicos. Lo anterior deja claro que existen dos tasas de crecimiento; una el dirección del eje x y otra en la dirección del eje y. El figura anterior muestra la gráfica de una función con forma de paraboloide que abre hacia el eje z negativo. En el gráfico de la izquierda se aprecia una parábola roja que recorre a la supercicie sobre la cual se posa una recta tangente. Dicha parábola apunta hacia el eje x. En el gráfico de la derecha, en cambio, la parábola va en dirección del eje y, así como una nueva recta tangente. Ambas parábolas significan una de las muchas trayectorias de puntos que una recta tangente puede recorrer sobre la superficie, pero siempre en dirección de algún eje. Gráficamente, lo anterior da una explicación a la derivada en funciones de varias variables. Para resumir, existe una cambio en la función respecto a cada una de las variables de las cuales depende. A cada cambio se le conoce como derivada parcial, y es la pendiente de la recta tangente a un punto sobre la superficie de la función. Se escriben con el siguiente símbolo:

3. 1 Conceptos Básicos. Esta notación se usa para las derivadas parciales de cualquier función de varias variables. El número de derivadas parciales es igual al número de variables independientes. Esta notación se compone de un símbolo llamado d de Jacobi, que es una letra d minuscula redondeada, más parecida a un seis volteado. Algunos creen que el símbolo proviene de los romanos y que incluso, el símbolo moderno del arroba (@) tiene un parentesco con el simbolo de la derivada parcial. Las derivadas parciales por definición se escriben como un límite:

3. 1 Conceptos Básicos. La definición es muy similar al límite de la definición de la derivada para una función de dos variables. Es importante considerar entonces que para una función de varias variables, no existe una sola derivada, pues la función cambia respecto a más de una. Afortunadamente existe un procedimiento más simple para derivar parcialmente que utilizar el límite. Éste método consiste en considerar la variable respecto a la que no se deriva como constante. Es decir, si se deriva respecto a x, la variable y será constante y viceversa. Por ejemplo la siguiente función: