Using the Power Diagram to Computing Implicitly Defined
- Slides: 44
Using the Power Diagram to Computing Implicitly Defined Surfaces Michael E. Henderson IBM T. J. Watson Research Center Yorktown Heights, NY Presented at DIMACS Workshop on Surface Resconstruction May 1, 2003 An Implicitly Defined Surface M is the set of points Find the component "connected" to Restrict to a finite region Find: A set of points on M A set of charts
Continuation Methods
Mesh or Tiling Locating point easy Merge hard Could: +Select from fixed grid Allgower/Schmidt Rheinboldt +Advancing front Brodzik Melville/Mackey
Covering Locating point hard Merge easy
The boundary of a union
Can form the boundary from pairwise subtractions
Pairwise Subtractions - Spheres The part of a sphere that doesn't lie in a spherical ball
The part of a sphere that doesn't lie in a spherical ball
Pairwise Subtraction, Spherical Balls
Instead of part not in another ball Part in a Finite Convex Polyhedron
Boundary -> on Sphere and in Polyhedron
Power Diagram a. k. a. "Laguerre Voronoi Diagram" Restricted to the interior of the balls is same as the polyhedra.
Finding a point on the boundary If all vertices of the polyhedron lie inside the ball
Finding a point on the boundary If a vertex of the polyhedron lies outside the ball "All" we have to do is find a point u in both. If ratio of radii close to one can use origin. One sqrt gives bnd. pt.
Find a P w/ ext. vert. Get pt. on d. M P=cube Find overlaps Remove 1/2 spaces Continuing
Cover a square
Cover a Square 120
Cover a Square 240
Cover a Square 368
Cover a cube
Cover a cube 2500
Cover a cube 5000
Cover a cube 7476
When not flat : Charts
Cover a circle
Cover a circle
Cover a circle
Cover a circle
Cover a Torus 20
Cover a Torus 700
Cover a Torus 1400
Cover a Torus 2035
Implementation Data Stuctures: List of "charts" (center, tangent, radius, Polyhedron) Basic Operations: Find a list of charts which overlap another Hierarchical Bounding Boxes - O( log m ) Subtract a half space from a Polyhedron Keep edge and vertex lists (Chen, Hansen, Jaumard). Find a Polyhedron with an exterior vertex Keep a list, as half spaces removed update.
Coupled Pendula
Coupled Pendula
Flexible Rod Clamped at Ends Sebastien Neukirch (Lausanne)
Flexible Rod Clamped at Ends Sebastien Neukirch (Lausanne) These are all configurations of the Rod
Flexible Rod Clamped at Ends Sebastien Neukirch (Lausanne)
Rings
Planar Untwisted Ring Layer 2+
Planar Untwisted Ring Layer 3 -
Planar Untwisted Ring Layer 4 -
Summary Start with a point on M Add a neighborhood of a point on d. M Based on the boundary of a union of spherical balls. Each ball has a polyhedron If P has vertices outside the ball, then part of the sphere is on d. M Complexity O(m log m) Resembles incremental insertion algorithm for Laguerre Voronoi. Points not closer than R not further apart than 2 R
References Multiple Parameter Continuation: Computing Implicitly Defined k-manifolds, Int. J. Bifurcation and Chaos v 12(3), pages 451 -76 Preprints on Twisted. Rod http: //lcvmsun 9. epfl. ch/~neukirch/publi. html My Home page -- http: //www. research. ibm. com/people/h/henderson/
- Find two functions defined implicitly by this equation
- Implicit differention
- Set is a collection of well defined objects
- Implicit derivative
- The real lesson 21
- Conventional computing and intelligent computing
- Spectrometer dispersive power of grating
- Power is rate of
- Tddd50
- Sumber daya komputasi dan komunikasi
- Hát kết hợp bộ gõ cơ thể
- Slidetodoc
- Bổ thể
- Tỉ lệ cơ thể trẻ em
- Gấu đi như thế nào
- Glasgow thang điểm
- Hát lên người ơi
- Các môn thể thao bắt đầu bằng tiếng nhảy
- Thế nào là hệ số cao nhất
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Cong thức tính động năng
- Trời xanh đây là của chúng ta thể thơ
- Mật thư anh em như thể tay chân
- Phép trừ bù
- Phản ứng thế ankan
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Thơ thất ngôn tứ tuyệt đường luật
- Quá trình desamine hóa có thể tạo ra
- Một số thể thơ truyền thống
- Bàn tay mà dây bẩn
- Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể sau
- Nguyên nhân của sự mỏi cơ sinh 8
- đặc điểm cơ thể của người tối cổ
- Ví dụ về giọng cùng tên
- Vẽ hình chiếu đứng bằng cạnh của vật thể
- Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể sau
- Thẻ vin
- đại từ thay thế
- điện thế nghỉ
- Tư thế ngồi viết
- Diễn thế sinh thái là
- Dạng đột biến một nhiễm là
- Thế nào là số nguyên tố
- Tư thế ngồi viết
- Lời thề hippocrates