UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Campos magnéticos Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

7. 1 Introducción ´ Unidad VII 7. 2 Objetivo general 7. 3 Objetivos especifico 7. 4 Campo Magnético 7. 5 Definición de campo magnético 7. 6 Fuerza de Lorentz 7. 7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente 7. 8 Par en un lazo de corriente 7. 9 Movimientos de partículas cargadas en campos magnéticos 7. 10 Aplicación de campos eléctricos y magnéticos combinados 7. 11 Auto-evaluación 7. 12 Solucionarlo Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Quizá su. Gilbert aportación más importante fueylamédico demostración Gilbert, William (1544 -1603), físico inglés William experimental de todo la naturaleza de originales la tierra. conocido sobre por sus magnética experimentos También fue el primer en Inglaterra del sistema sobre la naturaleza de defensor la electricidad y el magnetismo. de Copérnico sobre la mecánica y planteó que no Gilbert descubrió que muchasceleste sustancias tenían la todas las estrellas estánligeros a la misma de lay capacidad de atraerfijas objetos cuandodistancia se frotaban Tierra. el. Sutérmino obra más importante De Magnete (1600), aplicó eléctrica para lafue fuerza que ejercen estas quizá la primera grandeobra Inglaterra. sustancias después sercientífica frotadas. escrita Fue elenprimero en utilizar términos como 'energía eléctrica', 'atracción eléctrica' y 'polo magnético'. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Pero. Introducción fue James finales de 1860, llevo la Hace miles de. Maxwell años sequien, sabe a que trozos de mineral 7. 1 síntesis definitiva de imanes, la electricidad el magnetismo. magnetita, llamados ejercenyentre si lo que ahora llamamos fuerzas magnéticas. Los marineros han En este capitulo estudiaremos los fenómenos magnéticos, empleado la piedra imán durante mas de 800 años. En su relación con los fenómenos eléctricos, sus aplicaciones 1600 Willian Gilbert sugirió que la brújula se comporta practicas y otras consecuencias notables de las ecuaciones como lo hace por que la tierra es, en si, es una gigantesca de Maxwell. piedra imán. El magnetismo no se relaciono con la electricidad sino hasta el año 1819 cuando Hans C. Oersted encontró que se presentan fenómenos magnéticos cuando se mueven cargas eléctricas, en 1820 Faraday y Henry realizaron trabajos para descubrir la relación entre la electricidad y el magnetismo. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Introducir al estudiante 7. 2 Objetivo general con las teorías, principios y leyes que rigen el electromagnetismo, que determinan la valoración e instrumentación conceptual y práctica de los fenómenos magnéticos. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Capacitar al estudiante 7. 3 Objetivos específicospara que interprete, establezca y aplique la relación e interacción entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. Determinar las aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos que son base del desarrollo de la ciencia y la tecnología con el objeto de proyectar al ingeniero en su quehacer profesional. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Oersted, Hans Oersted Christian (1777 -1851), físico y químico Hans Christian danés, que demostró la existencia de un campo magnético en torno a una corriente eléctrica. Nació en Rudköbing y estudió en la Universidad de Copenhague. Fue profesor de física en esa universidad en 1806. En 1819 descubrió que una aguja imantada se desvía colocándose en dirección perpendicular a un conductor por el que circula una corriente eléctrica, iniciando así el estudio del electromagnetismo. Al parecer, también fue el primero en aislar el (1825) aluminio. En 1844 apareció su Manual de física mecánica. ". Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Cuando se esparcen 7. 4 Campo magnéticolimaduras de hierro alrededor de un imán de barra, forman un patrón característico que B influencia del imán se extiende al muestra cómo la espacio que lo rodea. B El campo Nadie Los La dirección polos hamagnético, del encontrado del imán campo B, no magnético en unestán unpolo punto localizados Bmagnético, es está la afuerza lo largo en llamado sobre puntos de la el monopolo. precisos polo tangente norte sino de. Por de una más un esta línea bien imán razón, deende campo. regiones las barra, líneasocerca de la campo dirección de losmagnético extremos en que forman del apunta imán. lalazos agujacerrados de una brújula. (solenoides). Fuera del imán las líneas van del polo norte al polo sur; dentro del imán se dirigen del polo sur al polo norte. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

N S N N S SN S N S N S S N Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes (norte-sur) se produce una fuerza de atracción. Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales (norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

N S Cuando tenemos un imán recto y colocamos una brújula o limaduras de hierro cerca de este, la brújula y las limaduras se alinean en ciertas direcciones, y se agolpan mas densamente cerca de los polos, es decir, es mas intenso el campo magnético cerca de los polos. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes (norte-sur) se produce una fuerza de atracción. Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales (norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión y las líneas de el campo magnético tienden a separarse. S Luis F Millán B N N U. AUTONOMA DE COLOMBIA S

N Luis F Millán B S Para distintos imanes, las brújulas o las limaduras de hierro esparcidas cerca de los tienen distintos patrones característicos. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

I Consideremos un conductor que corta un plano y transporta una corriente eléctrica I. del oalambre que Cuando esparcimos limaduras de. Vista hierro colocamos conduceeléctrica, una corriente brújulas cerca de una corriente los I por encima. alineamientos son concéntricos alrededor del conductor que transporta la corriente I, este es un indicio que las fuerzas magnéticas se relación con cargas en movimiento. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La En el estudio de de demuestra la mecánica que ensetoda encontró región que del espacio, en una 7. 5 experiencia Definición campo magnético región se donde delencuentra espacio donde una carga se encuentre en movimiento, una masa, existeestá un genera un campo magnético campo gravitacional, el cuál ejercesi su dentro acción de ese sobre campo otra colocamos carga, también otroencuerpo movimiento, se genera queuna se encuentra fuerza deencarácter dichas gravitacional. región. Con el propósito Durante el estudio de la introducir electrostática una magnitud concluimosque quenos en una región del caracterice el campo espacio magnético donde se encuentra nos basaremos una carga en en el reposo, allí existe experimento, suponemos un campo queelectroestático, en estos experimentos si dentro de se ese campo realizan en un eléctrico entorno colocamos en el que otrascarga fuerzas, se genera como launa de fuerza la gravedad, de carácter puedan eléctrico. despreciarse. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z Imaginémonos que tenemos un imán recto con su polo norte N orientado en la dirección i ^ S B N Y Luis F Millán B + X Supongamos que la carga Q positiva se mueve con una determinada velocidad dentro de este campo formando un ángulo con respecto a las líneas de campo magnético. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z F A medida que el Cuando la ángulo crece hasta velocidad es 90° la fuerza va paralela a las F aumentado hasta líneas del campo B hacerse máxima, F magnético no se F luego empieza a observa ninguna decrecer, cuando la X + a a + aa + interacción. a velocidad y las + + líneas de campo + son antiparalelos la + + fuerza nuevamente + Y se hace cero, es decir, F a sen a, teniendo la carga y la velocidad constantes. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Z F F B F X a +++ ++ + Y Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA A medida que la Ahora, dejaremos carga aumenta el la constante fuerza aumentacon en ángulo igual proporción, respecto a las por detanto, líneas campo y concluimos que lay la velocidad, Fa. Q variaremos la magnitud de la carga.

Z F F B F X a + + + Y La F es directamente proporcional a la magnitud de la v cuando la carga y el ángulo con respecto a las líneas de campo permanecen constantes. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Fa. Q Fav F a sen q Þ F a Q v Sen a la magnitud de la fuerza viene dada por: F = Q v B Sen a Por definición del producto vectorial B F=Qv B F F La dirección de la fuerza para una carga negativa la da la regla de la mano derecha. F v B v Luis F Millán B F, v y B son perpendiculares entre si. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

F B v el vector campo magnético entra a la palma de la mano, el vector velocidad sale de la palma de la mano hacia el dedo del corazón y el vector fuerza magnética tiene la dirección del dedo pulgar. La dirección de la fuerza para una carga positiva tiene sentido contrario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Regla de la mano derecha para una carga negativa. v v - Ä B F Ä es un vector que entra a la pantalla es un vector que sale de la pantalla Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA F

Regla de la mano derecha para F una carga negativa F B B F v B F F B v F Luis F Millán B v v v U. AUTONOMA DE COLOMBIA v B Ä B

F=Qv B La unidad del campo magnético es la tesla T, como: N = C * m/s * B Þ B = (N*s) / (C*m), multiplicando por m Þ B = (N*m*s / C)*(1/m 2) = (J*s / C)*(1/m 2) B = (J / A) / (1/m 2) = Weber / m 2 = Tesla Þ Weber = T * m 2 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En 1888 Tesla(1856 -1943) diseñó el primer nació en sistema Croacia, práctico Ingeniero para Nikola Tesla generar y transmitir electrotécnico e inventor corriente nacionalizado alterna para estadounidense, sistemas de energía eléctrica. reconocido como uno. Los de losderechos más destacados de esepioneros invento, en trascendental, el campo de laenenergía esa época, eléctrica, fueron trabajó comprados para Thomas por el inventor estadounidense Edison, pero abandonóGeorge el cargo Westinghouse. para dedicarse Dos años en más tardea los exclusiva la investigación motores de corriente experimental alterna y a ladeinvención. Tesla se instalaron la unidad del en el vector diseño campo de energía magnético eléctrica B lleva de las su cataratas nombre. del Niágara. Entre los muchos inventos de Tesla se encuentran los generadores de alta frecuencia (1890) y la bobina de Tesla (1891), un transformador con importantes aplicaciones en el campo de las comunicaciones por radio. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

La cola de una flecha (vector) se utiliza para denotar el campo magnético que entra a la pantalla. La figura representa un campo magnético que entra a la pantalla. La cabeza de una flecha (vector) se utiliza para denotar el campo magnético que sale de la pantalla. La figura representa un campo magnético que sale de la pantalla. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Para una carga negativa la multiplicación de vectores unitarios para el producto vectorial viene dado por: ^ki ^ik = ^j- ^j ^i ^ij ^ji = ^k- ^k ^k ^j ^jk ^kj = ^i- ^i ^i ^i = 0 Luis F Millán B ^j ^j = 0 U. AUTONOMA DE COLOMBIA ^k ^k = 0

La fuerza Cuando fuerza Varias una gravitacional carga diferencias gravitacional se mueve efectúa esimportantes unacon actúa interacción ununa trabajo entre sobre velocidad al únicamente ladesplazar fuerza unav dentro masa un de atracción independientemente de cuerpo, un campo la fuerza ygravitacional, siempre magnético, eléctrica deestá laeléctrica efectúa velocidad en el campo latrabajo ydirección magnética. delmagnético cuerpo, al desplazar della campo fuerza puede una gravitacional eléctrica alterar partícula la dirección cargada, actúa g, la fuerza del en sobre tanto vector eléctrica una que velocidad, puede lapartícula fuerza ser pero demagnética no atracción cargada puede o de repulsión independientemente variar asociada la amagnitud un campo y siempre delmagnético devector la estavelocidad. enestable la dirección no de realiza la del partícula, trabajo campo eléctrico, mientras cuando desplaza que enla fuerza tanto una partícula. magnética que la actúa fuerzaúnicamente magnéticasobre es perpendicular una partícula al encampo movimiento. magnético. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Para una carga positiva la dirección de la fuerza la da regla de la mano izquierda, el vector campo magnético F velocidad sale de la entra. F a la palma de la mano, el vector palma de la mano hacia el dedo del corazón y el vector fuerza magnética tiene la dirección del dedo pulgar. v + Ä v B El Ä campo hacia la palma de la la mano y es es unentra vector B que entra hacia pantalla perpendicular a la fuerza y a la velocidad. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Considere 7. 1 un protón cerca del ecuador ¿En que dirección Ejemplo tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida a) hacia abajo b) hacia el sur c) hacia arriba? N a) B v O F Ä E Nota: Cuando se trata de una partícula de carga positiva se utiliza la regla. S de la mano izquierda. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Como el campo magnético y la velocidad son antiparalelos por definición del producto vectorial la fuerza neta es cero. N b) B O E v S Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

N c) B O F E v S Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En una región Ejemplo 7. 2 donde hay un campo magnético de 2 T dirigido en la dirección +x. Un electrón se mueve con una velocidad de 5*106 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la fuerza magnética y la aceleración sobre el electrón. F=Qv B k 2 T^ i = -1. 6*10 -12 N^ j F = -1. 6*10*10 -19 C * 5*106 m/s ^ v B F = m a Þ a = F *(1/m) = -1. 6*10 -12 N ^ j / 9. 1*10 -31 Kg j a = -1. 76*1018 m/s 2^ Luis F Millán B En la dirección +Z U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En una región Ejemplo 7. 3 donde hay un campo magnético de 2 T dirigido en la dirección +x. Un protón se mueve con una velocidad de 5*106 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la fuerza magnética y la aceleración sobre el protón. F=Qv B k F = +1. 6*10 -19 C * 5*106 m/s ^ v Ä i = +1. 6*10 -12 N(-^ j) 2 T ^ B -12 N -27 Kg ^j / 1. 67*10 F =vector m a Þfuerza a = F magnética *(1/m) = +1. 6*10 El sobre un protón tiene sentido 14 m/s 2 sobre ^j un electrón. contrario a laa fuerza magnética = +9. 58*10 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un protón 7. 4 se mueve en una región donde existe un campo Ejemplo magnético: si i + 4^ j -^ k )T i - 3^ j + 4^ k )m/s y B = (2^ v = (5^ Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga experimenta. F=Qv B i - 3^ j + 4^ k ) m/s F = 1. 6*10 -19 C *(5^ j -^ k )T (2^ i + 4^ i + 13^ j + 26^ k)m/s*T F = 1. 6*10 -19 C *(-13 ^ F = (1. 6*10 -19 * 31. 84) N = 5. 09*10 -18 N Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Si alguna región del espacio un campo eléctrico E, 7. 6 en Fuerza de Lorentz como un campo magnético B actúan sobre una partícula cargada la fuerza neta sobre ella se le llama fuerza de lorentz y se expresa como F = F e + Fm = Q E + Q v Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA B

Un electrón Ejemplo 7. 5 en un campo eléctrico y magnético uniforme tiene una velocidad de 2*104 m/s en la dirección +X y una aceleración constante de 3*1017 m/s 2 en la dirección +Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 30 N/C en la dirección +Z ¿cuál es el campo magnético en la región? F=QE+Qv B=ma –Q (E + v E+v B) = m a B = m a /(– Q) j = (– m a /Q – E)^ k v^ B^ i B = (– m a /Q – E ) / v j B = -2. 35*10 -3 T^ Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

7. 7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente. Cuando se coloca un alambre dentro de un campo magnético, no experimenta fuerza alguna. El movimiento de los electrones libres están orientados al azar, por tanto la fuerza neta es cero. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

v ÄB Consideremos campo magnético Cuando por ununconductor fluye una que entra a Ila pantalla y colocamos un corriente los electrones libres conductor que pequeña lleva unavelocidad corrientede. I adquieren una dentro campo. una fuerza que es arrastre, devdeste y sienten transmitida al alambre. Como el campo magnético entra a la pantalla, la corriente va hacia arriba entonces los electrones de conducción hacen que el conductor se deflecte hacia la derecha. F Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

F ÄB Cuando se invierte la corriente los electrones libres de conducción hacen que el conductor se desvié hacia la izquierda. v Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Supongamos que tenemos un campo magnético uniforme que sale de la pantalla. Colocamos dentro de este campo un conductor cilíndrico de sección transversal A y longitud l que lleva una corriente I. B Para una sola partícula la fuerza magnética v es: F = Q v B Como el numero de partículas que hay en el conductor es (A l) n, entonces la fuerza. F F = (Q v B)*A*l*n Pero I = A*v*n*Q, entonces, F = (A*l*n Q v B) F=Il B F = (A*v*n*Q*l B) Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

I Consideremos un alambre de longitud l de sección transversal uniforme y de forma arbitraria. Que transporta una corriente I y se encuentra inmerso en un campo dl magnético uniforme. d. F La fuerza magnética para un segmento muy pequeño dl en presencia de un campo magnético B es d. F = d. Q v B Como d. Q = I dt, y, v = dl / dt Þ d. Q v = (I dt)(dl / dt) = I dl d. F = I dl B ò F = I dl B La integral se evalúa en un trayecto finito a y b Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un alambre Ejemplo 7. 6 que conduce cargas negativas de sección F recta de 1 m. Z de largo conduce una corriente constante de 1. 5 A en la dirección +X. El alambre se encuentra inmerso dentro de un campo magnético uniforme de 10 T en la dirección +Y. ¿cuál es la fuerza magnética que actúa sobre el alambre? I X F=Il F = 1. 5 A * 1 m ^ i Luis F Millán B B j = 15 N ^ 10 T ^ k U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un cubo 7. 7 tiene 40 cm en cada arista. Cuatro segmentos de Ejemplo alambre ab, bc, cd y da, forman una lazo cerrado que conduce una corriente I = 5 A en la dirección de la figura. Un campo magnético B = 0. 020 T en la dirección +Z. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza Z B magnética sobre cada segmento. a d b X c Y Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Fab = 5 A * 0. 4 m(-^ k) 0. 02 T^ k =0 j k = 0. 04 N ^ Fbc = 5 A * 0. 40 m ^ 0. 02 T ^ i ^ + ^k ) 0. 02 T ^k = 0. 04 N ^j Fbc = 5 A * 0. 40 m ( -i j ) 0. 02 T ^ j-^ i) Fbc = 5 A * 0. 40 m (^ k = 0. 04 N(- ^ i -^ BZ a d b X c Y Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejemplo 7. 8 R k Luis F Millán B e k El circuito en la figura se compone de alambres en la parte superior y en la inferior y de resortes metálicos idénticos a cada lado. El alambre del fondo tiene una masa de 10 gr y mide 5 cm de longitud. Los resortes se alargan 50 cm bajo el peso del alambre, el circuito tiene una resistencia total de 12 W y una batería es de 24 V. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

R k Luis F Millán B e k Cuando el circuito se emerge en un campo magnético, que apunta hacia fuera de la pantalla. Los resortes se alargan 30 cm adicionales ¿cuál es la intensidad del campo magnético. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

e R k k kx 1 Cuando se coloca el alambre del fondo, se cierra el circuito y comienza a fluir corriente. Las fuerzas que actúan en alambre del fondo son; el peso del alambre mg y dos fuerzas laterales de elasticidad kx 1. Para que el sistema este en equilibrio se necesita que: 2 (kx 1) - mg = 0, entonces, la constante elástica del resorte es: k = mg / (2 x 1) = 0. 098 N/m mg Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

e R k k kx 2 Al sumergir 2 kx 2 el – circuito mg – Fmen = 0 unÞcampo magnético 2 que kx 2 sale – mgde=la. ILB pantalla, la Fm dirigida Pero; hacia k = abajo mg / (2 x hace 1) que el resorte se deforme una longitud Þ 2(mg / (2 x 1)) x 2 – mg = ILB adicional x 2. Ahora, las fuerzas que Þ mg (x 2 / x 1 – 1) = (e/R)LB Þ actúan en el alambre son; dos B = ((R /e ) mg ( x 2 / x 1 – 1)) / L fuerzas laterales kx 2 dirigidas hacia arriba, el peso Þ Bdel = 0. 588 alambre T mg y la fuerza magnética ILB dirigidas hacia abajo. Para que el sistema este en equilibrio se requiere que: mg ILB Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

v en semicircular. Un alambre se conductor dobla forma de lazo semicircular Fuerza sobre Ejemplo 7. 9 un cerrado de radio r y su. Fplano es perpendicular a un campo x Fx q q la pantalla, si una magnético uniforme B que sale de Fy Fy Halle carga positiva se mueve dentro lazo. la fuerza r Fdel v m Fm neta sobre el lazo. Para el semicírculo tomamos dos puntos simétricos notamos que Fm, v y B son perpendiculares. Se observa que la fuerza magnética esta dirigida hacia el centro del semicírculo, la suma de las componentes de la Fm a lo largo del eje x es cero, mientras que la fuerza neta esta en la dirección –Y. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

dl = rdq dq q v Fm r ò ò ò d. FFy. Fyy===d. FI Ir. Senq = (I B) I (rdq) r. BB Senq dq; varia entre oo yy. Bpp. Senq j=entre Fydl =dq; -2 2 q. ISenq rvaria r. BB ^ Fy = I Bd. FPara l=dl varia ^j dl 0 y 2 r Fydl y= F=; y. I 2 el Isector 2 r. BIB= r entre BI recto B La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Consideremos En los trayectos un laterales superior por rectangular e inferior donde circula deque longitud laconduce corriente (b), una la Iy 7. 8 Par en un lazo delazo corriente el campo Imagnético corriente Ieny presencia el campo B son demagnético un perpendiculares, campo magnético B son por paralelos uniforme tanto, lay fuerza en antiparalelos la dirección neta hace respectivamente, +X que paralela la espira al rota plano por en tanto, del sentido lazo. la fuerza horario neta es cero en estos segmentos. Vista desde arriba I B F 2 a F 1 b Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

F 2 Vista desde arriba . Ä I B b F 1 El momento de torsión neto tn = t. F 1 + t. F 2 = 2 F (b/2) = F b = (I a B) b tn = I (a b) B = I A B. Por que ab es el área del lazo. tn = I A B ^ n tn = I A B Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Consideremos un lazo rectangular que conduce una corriente I en presencia de un campo magnético uniforme en la dirección +X, el lazo y las líneas de campo no son paralelos y por conveniencia tomaremos a B perpendicular al lado b del lazo. b B F 2 F 1 F 4 Luis F Millán B F 3 a U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El momento de torsión neto tn = t. F 2 + t. F 4 = 2 F (b/2 Sena) = F (b sena) tn = I a B b Sena = I (a b) B Sena = I A B Sena la magnitud del momento de torsión es tn = I A B Sena Es conveniente expresar F 2 Äa b/2 el momento de torsión b/2 Sen a en forma vectorial como a b/2 el producto cruz, F 4 A tn = I A B Donde A es un vector perpendicular al plano del lazo y su magnitud m es igual al área del lazo, N es el numero de espiras. El momento magnético m es m = N I A n tn = m B ^ Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Por un lazo Ejemplo 7. 10 que tiene forma de circunferencia de 0. 25 m de radio circula una corriente de 200 m. A. Un campo magnético de 0. 5 T se dirige paralelo al plano del lazo a) calcule el momento magnético del lazo b)¿cuál es el campo magnético del momento mantiene ejercido sobre el lazo por el campo magnético? m m = I A = 0. 2 A * (pr 2) = 0. 039 A m 2 tn = m B = 0. 020 N m A I Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

^ Ejemplo 7. 11 El lazo cuadrado m = N I Adenla figura tiene B lados de 10 cm, consta de 10 vueltas y lleva una qcorriente de 0. 5 i + Sen (-q) j) m=N I A (Cos A, el campo magnético esta en la dirección +X Cos y forma un ángulo q qi q de 37° con lasq líneas de campo Sen (-q) magnético. Encuentre a) j el momento magnético b) el par en el lazo m = 10 * 0. 5 A * (0. 10 m)2 *(Cosq i + Sen(-q) j ) ^ ^ ^ j)Am = (0. 04^ i - 0. 03^ ^ ^ m = (0. 04 i - 0. 03 A m 2 j ) A m 2 tn = m B Luis F Millán B 2 U. AUTONOMA DE COLOMBIA ^ ^ 2 T i = - 0. 06 Nm k

Una 7. 9 partícula cargadade enpartículas movimiento dentroen decampos un campo Movimientos cargadas magnético experimentamagnéticos una fuerza. Supongamos que tenemos una partícula negativa moviéndose en un campo magnético dirigido verticalmente hacia arriba. Debido a que la velocidad v y el campo magnético B son perpendiculares la partícula experimenta una fuerza de magnitud constante, dirigida hacia el centro y perpendicular tanto a v como a B. Veamos la figura por arriba. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

v r v FF F v Como la partícula con carga negativa experimenta una fuerza constante dirigida hacia el centro, entonces, debe de tener una aceleración centrípeta o radial que le hace cambiar constantemente la dirección del vector velocidad. De la segunda ley de Newton la Fc = m ac. La Fc es la magnitud de la fuerza magnética Q v B Þ Q v B = m (v 2 / r) Þ v = Q B r / m. Como v = 2 p r / T ; Q B r / m. = 2 p r / T Þ p = 2 p m / (Q B) y T = 1/f Þ f (frecuencia ciclotrónica) = Q B (2 p m) Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un protón que se mueve en una trayectoria circular Ejemplo 7. 12 perpendicular a un campo magnético constante que sale de la pantalla tarda 2 ms para dar una revolución. Determine la magnitud del campo. r F Fc = m ac. Þ Q v B = m (v 2 / r) Þ v = QBr / m, y, v = 2 pr / T ; 2 pr / T = QBr / m. Þ B = 2 pm / (PQ) La masa del protón es 1. 67*10 -27 Kg, la carga es +1. 6*10 -19 C, v T es 2 ms Þ B = 32. 79 m. T Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un protón de rayos cósmicos en el espacio interestelar Ejemplo 7. 13 tiene una energía de 10 Me. V (Mega electrón-voltio) y ejecuta una orbita circular con un radio igual a la orbita de mercurio alrededor del sol 5. 8*1010 m. ¿cuál es el campo magnético en esa región del espacio. Ec = 10 Me. V =10*106 e. V*(1. 6*10 -19 J / 1 e. V) Ec =1. 6*10 -12 J = K La energía cinética del protón es K = ½mv 2 Þ v = Ö(2 K/m) de la segunda ley de Newton Qv. B = mv 2/ r Þ v = QBr / m igualando; Ö(2 K/m) = QBr / m Þ B = Ö(2 Km) / (Qr) Þ B = 7. 88*10 -12 T Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Selector de velocidad 7. 10 Aplicación de campos eléctricos y magnéticos combinados + + + un + +campo + + + Supongamos que+tenemos magnético uniforme B que entra a la pantalla, colocamos unas placas planas y paralelas con un campo eléctrico uniforme E dirigido verticalmente hacia - -abajo. - - - - - Para que laporpartícula no seuna deflecte en con los Lanzamos el puntopositiva equidistante partícula campos cruzados fuerza la fuerza de Lorentz debe carga positiva sin. Fla que logreneta desviarse. Fm = E ; E Q = Q v Bo Þ v = E / B ser cero, por tanto. la magnitud de la fuerza eléctrica Q E, deber ser igual a la magnitud de la fuerza magnética Q v B. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El. Después espectrómetro separa iones Espectrómetro de de masas de entrar almasas segundo campo de acuerdo conellaion relación entre magnético se mueve enlaunmasa P y semicírculo la carga, unde haz de iones pasa primero radio r antes de incidir porenun de velocidad y De después unaselector placa fotográfica en P. la entra a un segundo campo magnético segunda ley de Newton tenemos: Bo 2 / rla pantalla. dirigido hacia Fadentro c = m vde r + ++ + + + + B Bo - - - Q v Bo = m (v 2 / r) Þ la relación es (m / Q) = Bo r / v Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Espectrógrafo de masas Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un selector Ejemplo 7. 14 de velocidades se compone de un campo eléctrico en la dirección +Z y un campo magnético en la dirección +Y. Si B = 0. 015 T, determine el valor de E tal que un electrón de 750 e. V que se mueve a lo largo del eje +X no se desvié. Z Para que el electrón no se desvié se necesita que la magnitud del campo E eléctrico sea igual a la magnitud del campo magnético. v X Qv. B = QE Þ v = E / Q B 750 e. V = 750 e. V (1. 6*10 -19 J / 1 e. V) = 1. 2 *10 -16 J Y La energía cinética K = ½mv 2 Þ v = Ö(2 K/m) v = E / B Þ E = B Ö(2 K/m) ; B = 2. 45*105 N/C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

El Deaceleran deuterón la C. E. DK es =unde - núcleo DU Þ½ que contiene b - ½ de mvuna aun = diferencia -Q(V protónb –y. Vun a) Se iones deuterio amv través de Ejemplo 7. 15 neutron masa igual la potencial KV. va = la 0 de Þ 45 ½ del mv bneutron =Los Q (Viones ase – puede Vbentran ) yaconsiderar quea un Vb <selector V a ade -27 Kg. 6 m/s es masa del protón 1. 67*10 velocidad en el cual la intensidad del campo eléctrico ½ mvb = Q DV Þ vb = Ö(2 Q DV/m) = 2. 08*10 de 2. 5 Luego continúan unde campo magnético Con. KV/m. esta velocidad salen los por iones deuterio del uniforme que tieneselector la misma intensidad y dirección del de velocidad flujo que el campo magnético en el selector de velocidad. Cuales son a) el radio de orbita de los deuterones? b) su velocidad? c) ¿cuál es la intensidad del campo b magnético? . a Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

P + +++ B r - - - --- Bo B = Bo; DV = 45000 V E = 2500 V/m vf = 2. 08*106 m/s Para el selector de velocidad Fe = Fm Þ E Q = Q v Bo B = E / v Bo = 1. 2 m. T = B Cuando los iones de deuterio entran al campo magnético Bo describen un semicírculo. De la segunda ley de Newton ; Fc = m ac Þ Q v Bo = m (v 2 / r) Þ r = mv / (Q B) = 36. 18 m Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

7. 11 Auto-evaluación Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Considere 7. 1 un electrón cerca del ecuador ¿En que Ejercicio dirección tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida a) hacia abajo b) hacia el este? R) a) Hacia el Oeste b) Hacia dentro Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En el ecuador, Ejercicio 7. 2 cerca de la superficie de la tierra, el campo magnético es de aproximadamente de 100 m. T con dirección norte y el valor del campo eléctrico es de alrededor de 50 N/C hacia abajo. Encuentre la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética sobre un electrón que tiene 20 ev de energía que se mueve en dirección este en una línea recta en ese ambiente. R) FE = 8*10 -18 N y Fm = 4. 24*10 -17 N Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un electrón Ejercicio 7. 3 tiene una velocidad de 1*106 m/s en la dirección +Z en un campo magnético B de 0. 20 T en la dirección –X ¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza sobre el electrón? R) Luis F Millán B j) F = -3. 2*10 -12 N(-^ U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un protón 7. 4 tiene una velocidad de 1 E 6 m/s en la dirección Ejercicio +Z en un campo magnético B de 0. 20 T en la dirección –X ¿cuál es la fuerza sobre el electrón? R) Luis F Millán B j F = 3. 2*10 -12 N^ U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un electrón Ejercicio 7. 5 se mueve en una región donde existe un campo magnético: si i + 4^ j -^ k )T i - 3^ j + 4^ k )m/s y B = (2^ v = (5^ Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga experimenta. R) Luis F Millán B F = -5. 09*10 -18 N U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un protón 7. 6 en un campo eléctrico y magnético uniforme Ejercicio tiene una velocidad de 2*104 m/s en la dirección +X y una aceleración constante de 10*108 m/s 2 en la dirección +Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 10 N/C en la dirección +Z ¿cuál es la magnitud y dirección del campo magnético en la región? R) Luis F Millán B j) B = +2. 19*10 -5 T(-^ U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un alambre Ejercicio 7. 7 que conduce cargas negativas de sección recta de 1 m de largo conduce una corriente constante de 1. 5 A en la dirección -X. El alambre se encuentra inmerso dentro de un campo magnético uniforme de 10 T en la dirección -Y. ¿cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre el alambre? R) Luis F Millán B F = 15 N^ k U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Un cubo 7. 8 tiene 40 cm en cada arista. Un segmento de Ejercicio alambre ab a lo largo de la diagonal principal conduce una corriente I = 5 A en la dirección de la figura. Un campo magnético B = 0. 020 T en la dirección +Z. Determine a) el vector fuerza magnética b) la magnitud BZ de la fuerza magnética sobre el segmento. b a) Fab = 0. 04 N(^ i +^ j) a Y Luis F Millán B X U. AUTONOMA DE COLOMBIA b) Fab = 0. 08 N

Un conductor suspendido por dos Ejercicio 7. 9 alambres flexibles, como en la figura tiene una masa por unidad de longitud l de 0. 05 Kg/m ¿qué corriente debe existir en el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el campo magnético es de 4. 0 T hacia el interior de la pantalla? ¿cuál es la dirección requerida para la corriente? . l representa la masa en la unidad de longitud l = m / l. R) I = 0. 13 A. Hacia izquierda en el sentido que se mueven las cargas negativas. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Ejercicio 7. 10 r En la figura un alambre se dobla en forma de lazo semicircular cerrado de radio r y su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme B que entra a la pantalla, si una carga negativa se mueve dentro del lazo. Halle la fuerza neta sobre el lazo. R) F = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Por un lazo que tiene forma de cuadrada 0. 80 m de lado Ejercicio 7. 11 circula una corriente de 200 m. A. Un campo magnético de 0. 5 T se dirige paralelo al plano del lazo a) ¿calcule el momento magnético del lazo y el momento de torsión? m = 0. 128 A m 2 Luis F Millán B tn = m U. AUTONOMA DE COLOMBIA B = 0. 064 N m

Un electrón con una energía cinética K de 100*103 ev se Ejercicio 7. 12 mueve perpendicularmente a las líneas de un campo magnético B uniforme de 100 m. T. ¿Cual es el periodo P y el radio de la orbita? R) Luis F Millán B r = 45. 69 m; el periodo p = 65. 58 ms U. AUTONOMA DE COLOMBIA

En un campo Ejercicio 7. 13 magnético con B = 1 m. T a) ¿cuál será el radio de trayectoria circular si un electrón viaja al 30% de la velocidad de la luz c? b) ¿cuál será su energía cinética en electrón voltios? R) r = 0. 51 m y Luis F Millán B K = 23062. 5 e. V U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Considere 7. 14 un deuterón que se mueve en Ejercicio línea recta por un selector de velocidad como se muestra en la figura. El campo eléctrico en el selector de velocidad es r 1000 V/m y el campo magnético B es de 0. 05 T. + ++ + r Luego recorre un semicírculo de radio r en un espectrógrafo de - - - masas que tiene un campo magnético B = 250 m. T. Calcule el radio de la trayectoria semicircular. R) r = 1. 67 m Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

7. 12 Solucionarlo Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 1 N ba B v F O F v S Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA E

S 7. 220 e. V = 20 e. V (1. 6*10 -19 J / 1 e. V) = 3. 2*10 -18 J Fg = mg = 8. 92*10 -30 N FE = QE = 8*10 -18 N Fm = Qv. B; la energía cinética K = ½ mv 2 Þ v = Ö(2 K/m) = 2. 65*106 m/s Fm = Qv. B = 4. 24*10 -17 N Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 3 Z v F B Y X F=Qv k F = -1. 6*10 -19 C* 1*106 m/s^ Luis F Millán B B j) i ) = -3. 2*10 -12 N(-^ 0. 2 T(-^ U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 4 Z v B Y X F F=Qv B j k 0. 2 T(-^ F = 1. 6*10 -19 C * 1*106 m/s^ i ) = 3. 2*10 -12 N ^ Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 5 F=Qv B i - 3^ j + 4^ k ) m/s F = -1. 6*10 -19 C* (5^ F = -1. 6 -19 C j -^ (2^ i + 4^ k )T i + 13^ j + 26^ k ) m/s*T * (-13^ F = (-1. 6*10 -19 * 31. 84) N = -5. 09*10 -18 N Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 6 F=QE+Qv +Q (E + v E+v B=ma B) = m a B=ma/Q j ) = ( m a /Q – E)^ v^ k Z i B(-^ B = ( m a /Q – E ) / v j) B = +2. 19*10 -5 T(-^ F B v Y Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA X

F S 7. 7 Z I X F=Il F = 1. 5 A * 1 m (-^ i ) Luis F Millán B B j ) = 15 N ^ 10 T (- ^ k U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 8 B Z b a X d. F = I dl B j +^ Fab = 5 A * 0. 40 m (-^ k) i +^ Y Fab = 0. 04 N(^ i +^ j) 0. 02 T ^ k Fab = 0. 04 N Ö 2 = 0. 08 N Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

Para S 7. 9 que la tensión en los alambres sea cero la fuerza gravitacional mg y la fuerza magnética Il. B deben ser iguales. Tomaremos el sentido como se moverían las cargas negativas. Fm = Il. B = mg = (ll) g Þ I = l g / B = 0. 13 A La dirección de la corriente es hacia izquierda Fg = mg en el sentido que se mueven las cargas negativas. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 10 v dl = rdq v Fx q dq Fy Fm q FFmx q r Fm v Fy ò ò Para sector F = I Bd. F Fò dl==F; el 2 Il =Ivaria dl r 2 BI = IB ^j dl 0 y 2 r rentre Brecto d. Fy F=y d. F y. F(I =y =dl 2 -2 IB) r IBSenq (rdq)o B Senq = ISenq r. I Br BF=Senq dq; qr B varia yp ^j = Ientre y yy y La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 11 m = I A = 0. 2 A * 0. 82 = 0. 128 A m 2 tn = m A Luis F Millán B B = 0. 064 N m m U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 12 r 100*103 e. V = 100*103 e. V (1. 6*10 -19 J / 1 ev) = 1. 6*10 -14 J F v K = ½ mv 2 Þ v = Ö(2 K/m), Þ v = 187. 52*106 m/s Fc = m ac Þ Q v B = m (v 2 / r) Þ QB=mv/r Þ = m v / Q B = 10. 66 m v = 2 p r / P Þ el periodo p = 2 p r / v = 0. 357 ms Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA r

S 7. 13 r v F v = 3*108 m/s * 0. 30 = 90*106 m/s a) Fc = m ac Þ Q v B = m (v 2 / r) ÞQB=mv/r r = m v / Q B = 0. 51 m b) K = ½ mv 2 = 3. 69*10 -15 J (1 e. V/ 1. 6*10 -19 J) = 23062. 5 e. V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

S 7. 14 En el selector de velocidad Fe = Fm Þ EQ = Qv. B Þ v = E / B v = 2*104 m/s con esta velocidad entra al espectrógrafo de masas Fc = mac Þ Qv. B = mv 2 / r Þ QB = mv / r Þ r = mv / QB Þ r = 1. 67 m Luis F Millán B r F + ++ + - - - U. AUTONOMA DE COLOMBIA r