UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FACULTAD DE INGENIERIA Departamento

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FACULTAD DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Civil Cátedra: ESTRUCTURAS Ing. GOLEMBA, Jose Luis

Tema: METODO DE LA FUERZA Las estructuras o sistemas isostáticos se caracterizan por el hecho de que sus reacciones de apoyo y sus solicitaciones pueden calcularse por medio de una sola de las condiciones de equilibrio, que pueden ser aplicadas convenientemente según el tipo de estructuras. Por el contrario, en los sistemas denominados hiperestáticos no es posible calcular todas las solicitaciones sin recurrir a condiciones (ecuaciones) suplementarias de deformación. Como las deformaciones dependen de las cargas y el dimensionamiento de la estructura, tendremos que las reacciones y solicitaciones, al depender de las deformaciones, dependerán no solamente de las cargas y de la geometría de la estructura sino también de las secciones adoptadas para los elementos constructivos (vigas, columnas, etc. ). Es común referirse a “vínculos sobre–abundantes o Hiperestáticos”, denominándose así a los vínculos externos o internos que podrían eliminarse sin que el sistema se convierta en un sistema inestable. El numero de vínculos que se deben eliminar para que el “sistema hiperestático” se convierta en un “sistema isostático” se denomina: “Grado de Hiperestaticidad”. -

Sea un pórtico doblemente empotrado sometido a un estado de cargas cualesquiera. Dado que se dispone únicamente de tres ecuaciones de equilibrio, y ya que existen seis reacciones de vinculo, es posible apreciar que la estructura es hiperestática de tercer grado. Si introducimos tres articulaciones, el sistema pasa a ser isostático transformándose en un arco de tres articulaciones. El estado de solicitación será en general distinto para el sistema primitivo y para el sistema isostático obtenido a partir de aquel, denominado sistema fundamental (el isostático). Esto no sucederá si en las rotulas introducidas se aplican, como si fueran cargas exteriores, las fuerzas o momentos X 1 , X 2 y X 3, que realmente actuaban en el sistema hiperestático, y que fueron eliminados al eliminar los vínculos para convertir la estructura en isostática. En este caso el sistema hiperestático bajo la acción de las cargas P se comportara de forma idéntica al isostático fundamental cargado con las cargas: P , X 1 , X 2 , X 3. Las incógnitas hiperestáticas (X 1 , X 2 , X 3) se calculan por la aplicación de las condiciones de deformación. Denominaremos “corrimiento correspondiente con una incógnita” al corrimiento en la dirección de la incógnita, o sea el corrimiento sobre el cual la incógnita realiza trabajo. Es inmediato que los corrimientos correspondientes con las incógnitas X 1 , X 2 , X 3 (rotación en el punto 1, rotación relativa en la sección 2, rotación en el punto 3) bajo la acción de las cargas totales deben ser nulos, ya que por condiciones de vinculo lo son en la estructura original. Cuando se cumpla en el isostático que las rotaciones en los apoyos y la rotación relativa en el nudo 2 son nulas, podré decir que los dos sistemas son equivalentes

Sistemas de alma llena: Estudiaremos el mismo pórtico anterior, y para el calculo de las deformaciones tengamos en cuenta únicamente las deformaciones debidas a los momentos flectores, que son las que mas influyen. El primer paso es elegir un isostático fundamental que se obtiene, en este caso, introduciendo dos articulaciones y un apoyo móvil. A efectos de que el sistema no varíe, aplicamos como cargas exteriores (además de P) a los momentos X 1 y X 2, y a la fuerza horizontal X 3. Estas serán nuestras incógnitas hiperestáticas.

Estudiaremos ahora la deformación de la estructura isostática de la figura (b) para las cargas P, denominando con M 0 , Q 0 y N 0 las solicitaciones que producen, y con 10 , 20 y 30 los corrimientos correspondientes con las incógnitas Xi. Sometemos luego el sistema a una carga X 1 = 1 tm, obteniendo las solicitaciones M 1 , Q 1 y N 1 y las deformaciones 11 , 21 y 31. Haciendo los mismo para X 2 = 1 tm, obteniendo las solicitaciones M 2 , Q 2 y N 2 y las deformaciones 12 , 22 y 32. Haciendo lo mismo para X 3 = 1 t, obteniendo las solicitaciones M 3 , Q 3 y N 3 y las deformaciones 13 , 23 y 33.

En general designaremos ij al corrimiento correspondiente con la incógnita Xi debido a una carga Xj UNITARIA. El subíndice “ 0” lo utilizaremos para las cargas exteriores. Si ahora aplicamos en lugar de cargas unitarias los verdaderos valores Xi, además de las cargas P, las deformaciones totales serán, por aplicación del principio de superposición: ü Rotación relativa en 1: ü Rotación relativa en 2: ü Desplazamiento en 3: Sistema normal de tres ecuaciones, el cual resuelto nos permite calcular las incógnitas X 1 , X 2 , X 3, donde las solicitaciones finales serán:

RESUMEN: 1. Quitar el numero de vínculos igual al grado de hiperestaticidad de la estructura, reduciendo así el sistema a una estructura estáticamente determinada (isostático). - 2. Calcular las de solicitaciones para las cargas exteriores aplicadas sobre el isostático fundamental (M 0; Q 0; N 0). - 3. Aplicar, en forma sucesiva, cada una de las incógnitas con valor unitario (Xi = 1), y hallar las solicitaciones para cada caso (Mi; Qi; Ni). - 4. Calcular los corrimientos correspondientes con las incógnitas ( i 0 ; ij) para cada caso. - 5. Plantear el sistema de ecuaciones por aplicación de las condiciones de deformación, y obtener las incógnitas Xi. - 6. Calcular las solicitaciones finales, aplicando el principio de superposición de efectos. -

EJEMPLO: Aplicando el Método de la fuerza, resolver la siguiente estructura hiperestatica Datos: Eb = 210 t/cm 2 Ee = 2100 t/cm 2

Sistema Isostático Fundamental

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P 0 Cálculo de Reacciones P/Cargas P 0

Despreciamos el efecto del corte y normal Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P 0 Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P 0

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas Cálculo de Reacciones P/Carga

Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga Diagrama de Momentos Flectores P/Carga

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga Cálculo de Reacciones

Cálculo de los Momentos Flectores Diagrama de Esfuerzos Normales (tensor)

Cálculo de las Deformaciones dij Despreciando el corte Lo que es lo mismo: Cálculo de las Inercias: Cálculo de los Coeficientes “aij”:

Cálculo de los Coeficientes “d 10”: Barra AB l (m) aij 3, 60 1, 00 Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) - 8, 736 - 1, 659 BD 8, 00 4, 63 - 3, 686 - 14, 081

Cálculo de los Coeficientes “d 11”: Barra l (m) aij Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) AB 3, 60 1, 00 2, 928 BD 8, 00 4, 63 0, 369 3, 297

Cálculo de los Coeficientes d 12= d 21 Barra l (m) aij Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) AB 3, 60 1, 00 1, 248 BC 4, 00 4, 63 0, 783 CD 4, 00 4, 63 0, 276 2, 307

Cálculo de los Coeficientes d 20 Barra AB l (m) aij 3, 60 1, 00 Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) -5, 376 -1, 843 BC 4, 00 4, 63 -10, 321 -4, 700 CD 4, 00 4, 63 -1, 382 -23, 622

Cálculo de los Coeficientes d 22 Barra l (m) aij Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) AB 3, 60 1, 00 0, 768 BC 4, 00 4, 63 1, 659 CD 4, 00 4, 63 2, 396 4, 823 Barra l (m) aij TENSOR 2, 00 ---- Diagramas Integración Resolución (t 2 m 3) 2, 00 0, 15

Sistema de ecuaciones: Cálculo del Momento Flector Final