Sveuilite u Splitu Pomorski fakultet Fourierova analiza signala

Sveučilište u Splitu Pomorski fakultet Fourierova analiza signala Joško Šoda

Sažetak izlaganja: • Podjela signala • Fourierov niz • Fourierov integral • Uzorkivanje signala • Frekvencijski odziv kod diskretnih sekvenci • Diskretna Fourierova transformacija • Zaključak

Ciljevi: • predstaviti temeljne vrste signala • predstaviti temelje spektralne analize signala • predstaviti i razlikovati tri vrste spektralne analize signala (Fourierov niz, Fourierov integral i diskretnu fourierovu transformaciju)

Podjela signala

- Informacija u signalu je sadržana od uzoraka varijacija u nekoj formi. - Primjerice, ljudski govor se predstavlja kao fluktuiranje akustičkog tlaka, dok se monokromatska slika predstavlja kao variranje u osvjetljenju duž slike. - Matematički, signal se zapisuje kao funkcija od jedne ili više nezavisnih varijabli. Slika. Predstavljanje fizikalnih fenomena signalima, a. ) relativna osjetljivost ljudskog oka u funkciji valne duljine, b. ) relativna potrošnja el. energije u funkciji vremena

- osnovna podjela signala je na vremenski kontinuirane i vremenski diskretne - kontinuirani signal se zapisuje kao vremenska funkcija f(x)=x(t) - diskretni signal ili diskretna sekvenca, xn ili x[n], je niz vrijednosti koji se označavaju indeksom n. - Obično se diskretni signali dobivaju uzorkivanjem kontinuiranog signala u vremenskim razmacima T koji su određeni frekvencijom uzorkivanja fs = 1/ T.

- kontinuirani i diskretni signali se mogu podijeliti na periodičke i aperiodičke signale - za kontinuirani signal se kaže da je periodičan ako vrijedi x(t+T)=x(t), gdje se sa T označava osnovni period signala - za diskretni signal se kaže da je periodičan ako vrijedi x[n+N]=x[n], gdje je sa N označen osnovni period signala

- kontinuirani i diskretni signali dijele se na stacionarne i nestacionarne signale

- stacionarni signal je onaj signal kojemu se svojstvo (frekvencijski sadržaj) vremenski ne mijenja (nije važno vrijeme snimanja za određivanje svojstava) - nestacionarni signal je onaj signal kojemu se svojstvo (frekvencijski sadržaj) vremenski mijenja

• Područja gdje se koristi analiza signala: • razvoj (digitalne) obrade signala je započeo razvojem računala, 60 -tih godina 20. stoljeća • 80 -tih godina 20. stoljeća (digitalna) obrada signala je smatrana naprednim programom i predavala se samo na poslijediplomskim kolegijima • 90 -tih godina 20. stoljeća (digitalna) obrada signala se predaje na preddiplomskim i diplomskim kolegijima i spada u temeljna znanja za kolegije iz područja tehničkih znanosti • (digitalna) obrada signala se uspoređuje s revolucijom u vremenu kada se razvijala elektronika

Načini analize signala: • vremensko područje (korelacija, autokorelacija i dr. ) • frekvencijsko područje (Fourierov niz, Fourierov integral, Diskretna Fourierova transformacija, FFT) • vremensko – frekvencijsko područje (prozorska Fourierova transformacija, valići, Winger-Villeova transformacija, Huan-Huangova transformacija, kompleksni valići, i dr. ) • statistička obrada signala (slučajne varijable, varijanca, očekivanja, momenti, i dr. ) • Svrha analize signala: dobiti dodatne informacije o proučavanom signalu.

Fourierova analiza

- dobila je ime po francuskom matematičaru i fizičaru Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) - Fourier je 1807. godine promatrao propagaciju topline, te je predložio da se sinusoidalne (koje se matematički opisuju preko kompleksne eksponencijale) funkcije koriste za opisivanje raspodjele temperature. - Fourier je tvrdio da se bilo koji periodički signal može predstaviti sumom sinusoidalnih funkcija određene frekvencije i njenih višekratnika. - Fourierova analiza jedan je od najznačajnijih alata kod obrade signala i analize sustava!!!

- 1759. J. L. Lagrange je kritizirao ideju korištenja trigonometrijskih funkcija jer je iznio primjedbu da u točkama diskontinuiteta nije moguće točno opisati zadani signal (Gibbsov fenomen) - P. L. Dirichlet (1829. ) je proširio analizu uzimajući u obzir uvjete na granici, te predstavio pravila s kojima se periodički signal može opisati Fourierovim nizom i pod kojim uvjetima (tzv. Dirichletovi uvjeti) - 1822. godine Fourier je napokon predstavio svoj rad (prije nije mogao biti objavljen zbog protivljenja Lagrangea) „Theorie analytique de la chaleur” (eng. „The Analytical Theory of Heat”)

- s obzirom na vrste signala koje egzistiraju, postoje četiri (4) „vrste” Fourierove analize: - Napomena: Zbog činjenice da su temeljni građevni blokovi svih Fourierovih transformacija sinusoidalne funkcije, SVI signali su definirani iz minus beskonačnosti u plus beskonačnost. - Zbog toga, Fourierova analiza nije definirana za signale koji traju određeno vrijeme. - Tada se koristi metodologija s kojom se vremenski konačni signali proširuju na signale s beskonačnim trajanjem.

• Fourierov niz - Hipoteza: svaki periodički signal može se prikazati u frekvencijskom području preko jakosti (magnitude) i faze. - Vrijedi: ako je promatrani signal kontinuiran i periodički u vremenskom području, tada je diskretan u frekvencijskom području i obratno!!! - Svaki periodički signal se može predstaviti jednadžbom: aperiodički signal

- U DSP terminologiji - Upravo navedeno svojstvo se koristi kod DSP procesora, tj. svaki promatrani odsječak signala koji se obrađuje, tretira se kao periodički, te se temeljem toga računaju koeficijenti!!! - koristeći kompleksnu eksponencijalu, periodički signal se može zapisat: se naziva periodičko proširenje od x(t) - koeficijenti

- koristeći matematičke operacije: množenja lijeve i desne strane s kompleksnom eksponencijalom i integriranja te sređivanjem izraza dobiva se izraz za računanje koeficijenata periodičkog signala: - Dakle, tzv. polarni oblik Fourierovog niza, tj. formule analize i sinteze glase: • formule analize • formula sinteze

- općenito radi se o kompleksnom broju koji se može predstaviti kao: - Primjer: Neka je zadan koji je periodičan za: ili

Polarni oblik Fourierovog niza se može prikazati u trigonometrijskom obliku ako se preradi na slijedeći način: uz supstitucije:

Sređivanjem gore navedenih izraza dobiva se trigonometrijski oblik Fourierovog niza ili tzv. Euler ili Euler – Fourierova jednadžba za predstavljanje periodičkih sekvenci koja glasi: Trigonometrijski oblik Fourierovog niza

Konvergencija Fourierovog niza - Postavlja se pitanje za koje sve periodičke signale se može koristiti Fourierov niz? - U praksi može se dogoditi da ima beskonačno mnogo koeficijenta s kojima bi se trebao predstaviti promatrani periodički signal da bude identičan polaznom signalu. - Također, može se dogoditi da iako su svi koeficijenti konačni da razvoj u Fourierov red daje divergenciju, tj. ne teži funkciji x(t). - Postoje dvije klase uvjeta koje periodički signal mora zadovoljiti da bi se mogao prikazati Fourierovim nizom. - Ti uvjeti su poznati pod nazivom Dirichletovi uvjeti.

Dirichletovi uvjeti: 1. Periodički signali moraju imati konačnu energiju u jednom periodu, tj. vrijedi: Ako je gore navedeni uvjet zadovoljen koeficijenti od su konačni. To znači, da ako bi se izračunala energija od x(t) i energija od rekonstruiranog signala, da bi razlika energija težila nuli kada bi broj koeficijenata težio k beskonačnosti. Tj. energije rekonstruiranog i originalnog signala bi bile jednake. 2. U bilo kojem konačnom intervalu ako postoji konačan broj diskontinuiteta, tada se Fourierovim nizom predstavlja originalni signal, osim u točkama diskontinuiteta. U diskontinuitetima se uzima srednja vrijednost kao vrijednost prekida. Valja istaći da signali koji su nedefinirani u nekom periodu, u praksi nisu fizički mogući!

Gibbsov efekt; Kada se signal opisuje s Fourierovim nizom, tada bez obzira koliko bio odabran N, postoji nadvišenje u diskontinuitetima od 9%. Povećanjem broja članova N, nadvišenje „teži” ka diskontinuitetu. Nadvišenje nestaje samo kada je broj članova N beskonačan. U praksi to nije moguće.

Fourierova transformacija ili Fourierov integral • Za aperiodičke signale potrebno je razviti novi alat, tj. novu tehniku analize. • Metodologija razvoja je slijedeća: Aperiodički signal se predstavi kao periodički, dakle, tretira ga se kao periodički signal s osnovnim periodom koji teži u beskonačnost. • Vrijedi zaključak: Ako se primjeni Fourierov red na periodički signal, te se dopusti da transformacija aperiodičkog signala. Također kada je tada vrijedi: i , dobiva se.

• Neka je zadan, općenito, aperiodički signal x(t). Neka ga se periodički proširi kao što je prikazano na slici. • Uporabom Fourierovog niza, dobivaju se koeficijenti:

• Polazi se od Fourierovog reda: • za kontinuiran. • Dakle, suma prelazi u integral! • Konačno vrijedi: • inverzna Fourierova transformacija • spektar signala ili Fourierova transformacija

• Svojstva Fourierove transformacije

• Svojstvo simetrije • Ako je x(t) realna funkcija, tada vrijedi: • Dokaz: • Kod realnih funkcija vrijedi: • Dobiva se:

• Gustoća energije kod aperiodičkog signala, Parsevalov teorem • Gustoća energije kod aperiodičkog signala se može izračunati iz općenite formule za energiju signala u vremenskom području: • Energija signala se može predstaviti: • Ako se uvrsti formula za Fourierovu transformaciju tada vrijedi:

• Sređivanjem izraza, dobiva se: • Kod realnih sekvenci, vrijedi: • Parsevalov teorem kaže da se energija signala može računati u vremenskom području kao kvadrat modula koeficijenata signala u vremenu ili kao gustoća energije spektra, odnosno kvadrat modula spektra magnitude signala u frekvencijskom području.

• Svojstvo konvolucije signala u frekvencijskom području • Ako su zadani signal ulaza x(t), prijenosna funkcija sustava h(t) i izlazni signal y(t), tada se izlazni signal y(t) može izračunati prema formuli za konvoluciju signala: • Spektar izlaznog signala se računa prema: • Konvolucija u vremenskom području odgovara množenju spektra signala u frekvencijskom području!!!

• Uzorkivanje signala • Vremensko uzorkivanje je proces pretvaranja vremenski – kontinuiranog signala u vremenski – diskretnu sekvencu. • Razvojem digitalne tehnike razvili su se i A/D pretvarači. • Proces uzorkivanja će biti dobiven uporabom korištenjem Fourierove analize, odnosno spektra signala.

• Korištenjem Fourierovog niza na generator jediničnih Dirackovih funkcija, te uz uporabu Lapalceove transformacije, dobiva se izraz za spektar uzorkovanog signala:

• Dakle, kada se signal r(t) uzorkuje, tada se u spektru na mjestima uzorkivanja pojavi spektar od originalnog signala. • Također, tijekom uzorkivanja posebna pozornost se treba voditi kod izbora frekvencije uzorkivanja. • Ako se frekvencija uzorkivanja ne odabere ispravno može doći do efekta prekrivanja (eng. aliasing). • Također, u praksi je poznato da spektar signala ne mora biti konačan. Zbog toga iako je izabrana ispravna frekvencija uzorkivanja može doći do efekta prekrivanja. Da bi se to izbjeglo, u praksi, se prije uzorkivanja postavi NF pred-filtar s kojim se spektar originalnog signala ogranići.

• Slika prikazuje spektar signala r(t) kada se na njega primjeni nisko propusni filtar, i spektar uzorkivanog signala. Valja uočiti da, zbog ugradnje NF-filtra, ne dolazi do pojave prekrivanja.

• Teorem uzorkivanja: Signal r(t) se može obnoviti iz uzoraka ako je frekvencija uzorkivanja barem dva puta veća od najveće frekvencije (gornje granične frekvencije) signala r(t). • Matematički zapis teorema uzorkivanja: Spektar uzorkivanog signala i teorem uzorkivanja

• Frekvencijski odziv kod diskretnih sekvenci (signala) • Važno svojstvo svakog vremenski nezavisnog sustava (LTI sustava) je odziv u ustaljenom stanju ako se na ulazu sustava narine sinusoidalna sekvenca, kao što je prikazano na slici. • Sinusoidalna sekvenca se može prikazati preko kompleksne eksponencijalne sekvence, koristeći Eulerove relacije: - digitalna frekvencija - period kontinuiranog signala - Ponavljanje: - period uzorkivanja

• Uzimajući u obzir da se s kompleksnom eksponencijalom može prikazati i DC komponenta, na način da se digitalna frekvencija postavi na vrijednost nula, kaže se da kompleksna eksponencijala predstavlja karakterističnu funkciju (eng. eigenfunction). • Dakle, s karakterističnom funkcijom se može izračunati odziv sustava u ustaljenom stanju, na način:

• Neka je zadan diskretni sustav kao što je prikazano na slici. • Izlaz y[n] iz sustava se može dobiti primjenom konvolucijske sume

• Ako se na ulaz sustava dovede karakteristična funkcija , za odziv se dobiva: • Ako se na ulaz promatranog sustava narine karakteristična funkcija, na izlazu se dobiva odziv sustava u ustaljenom stanju. • Odziv sustava u ustaljenom stanju je jednak karakterističnoj funkciji pomnoženo s karakterističnom vrijednosti (eng. eigenvaule or characteristic value).

• Karakteristična vrijednost, SUSTAVA. ima značajnu ulogu u obradi signala, te se naziva FREKVENCIJSKI ODZIV • Dakle, ako se na ulaz sustava dovede karakteristična funkcija, na izlazu sustava se dobije odziv sustava u ustaljenom stanju, preko frekvencijskog odziva, kao što je prikazano na slici.

• Svojstva frekvencijskog odziva • Kao što se može vidjeti frekvencijski odziv je kompleksna funkcija te se može pisati: - magnituda - faza ili kut • Dakle, ako se promatraju magnituda i faza kod različitih frekvencija, dobiva se frekvencijski odziv sustava.

• Primjer: Neka je zadan sustav: . Ako se na ulazu narine karakteristična funkcija potrebno je pronaći i nacrtati frekvencijski odziv sustava. • Rješenje:

• Prikaz frekvencijskog odziva sustava. • Valja uočiti da su magnituda i faza sustava KONTINUIRANE funkcije, iako se radi o diskretnoj sekvenci.

• Periodičnost • Funkcija je periodička u periodu ! • Dokaz: • Simetričnost • Magnituda od je parna funkcija od digitalne frekvencije, dok je faza od je neparna funkcija od digitalne frekvencije. • Dokaz:

• Zaključak: - parna funkcija - neparna funkcija

• Frekvencijski opseg • Zbog činjenice da je digitalna frekvencija periodička funkcija, i koristeći spoznaje iz teorema uzorkivanja, maksimalna digitalna frekvencija kod koje ne dolazi do tzv. efekta prekrivanja je: • Ako se uvrste vrijednosti za digitalnu frekvenciju, tada vrijedi: • Dakle, maksimalna analogna frekvencija koju se može razlučiti u sustavu, koji je uzorkivan s frekvencijom uzorkivanja, iznosi pola frekvencije uzorkovanja! Dakle, odabir frekvencija uzorkivanja ima značajnu ulogu kod frekvencijskog odziva diskretnih sekvenci.

• Diskretna Fourier-ova transformacija • Polazna točka je da se bilo koja sekvenca može predstaviti kao suma kompleksnih eksponencijala. • Također, konačna sekvenca se može periodički proširiti, te na taj način se polazna točka može primijeniti. • Jednadžbe Diskretne Fourier-ove transformacije, DFT, glase:

• Primjer: Za sekvencu prikazanu na slici potrebno je pronaći DFT transformaciju, te magnitudu i fazu prikazati grafički. • Rješenje:

• Zaključak • Fourierova analiza signala pretvara promatrani signal iz vremenskog područja u frekvencijsko područje (iz amplituda-vrijeme prostora u magnituda-frekvencija prostor) • osim proučavanja signala, s Fourierovom analizom se proučavaju i regulacijski sustavi • kompleksne eksponencijale (sinusna i kosinusna funkcija) su građevni blokovi Fourierove transformacije • brza Fourierova transformacija (FFT) je algoritam koji se danas koristi za računanje spektra i diskretnih i „kontinuiranih” signala

Sveučilište u Splitu Pomorski fakultet Fourierova analiza signala Joško Šoda