SVEUILITE U SPLITU GRAEVINSKO ARHITEKTONSKI FAKULTET METODA KONANIH

SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO – ARHITEKTONSKI FAKULTET METODA KONAČNIH ELEMENATA 2 D Nastavnici: Doc. dr. sc. Hrvoje Gotovac Veljko Srzić Akad. god. 2011/12

MKE - koncept • Podjela kontinuuma na konačne elemente. • Izračunavanje matrice sustava ili toka i vektora ekvivalentnih čvornih protoka za svaki pojedini element. • Sastavljanje matrica elementa i vektora protoke svakog pojedinog elementa u matricu sustava i vektor protoke sveukupnog sustava. • Određivanje nepoznatih vrijednosti potencijala u čvorovima rješavanjem regularnog sustava linearnih jednadžbi. • Izračunavanje ostalih veličina na elementu kao što su komponente brzine, strujnice i dr.

Varijaciona formulacija 2 -D tečenja Rubni uvjeti Φ ׀ Γ 1=β 1 Integralni oblik jednadžbe održanja mase

Varijaciona formulacija 2 -D tečenja Korištenje Green-Gauss-Ostrogradski (GGO) poučka: Dio integrala na rubu s kinematičkim rubnim uvjetom iščezava jer je W=0

Bazne funkcije na konačnom elementu Bazne funkcije 8. -čvornog konačnog elementa su kvadratne funkcije u obliku:

0 0 0 0 0 4. -čvornog 0 0 0 0 8. -čvornog Bazne funkcije izoparametarskih konačnih elemenata

Numerička interpretacija Jednadžba rada unutrašnjih i vanjskih sila Aproksimacija rješenja potencijala ili piezometarske visine na konačnom elementu: Vektor gradijenata piezometarske visine Vektor brzine

Numerička interpretacija Matrica konačnog elementa Vektor desne strane konačnog elementa

Preslikavanje geometrije dvodimenzionalnog područja PRVI KORAK: Podjela kontinuuma na konačne elemente (oblik i broj čvorova konačnog elementa ) DRUGI KORAK: Definirati preslikavanje bezdimenzionalnog konačnog elementa s odabranim brojem čvorova u stvarni krivocrtni element s istim brojem čvorova. FORMULACIJA PRESLIKAVANJA SUBPARAMETARSKA IZOPARAMETARSKA Za opisivanje geometrije područja koriste se polinomi nižeg stupnja nego za prikazivanje polja pomaka Koriste se iste bazne funkcije za opisivanje geometrije elementa i za funkcionalno prikazivanje deformacijskog ponašanja NADPARAMETARSKA Prikazivanje geometrije vrši polinomima višeg stupnja

Generiranje mreže konačnih elemenata najpovoljnije je provesti pomoću kvadrilateralnih (četverostranih) elemenata. Definiramo bezdimenzionalni koordinatni sustav ( , ) s ishodištem u središtu elementa. Odaberemo bazne funkcije pomoću kojih vršimo preslikavanje (0, 1) (1, 1) BEZDIMENZIONALNE KOORDINATE JEDINIČNI KVADRILATERALNI KONAČNI ELEMENT (0, 0) PRESLIKAVANJE (1, 0) Razmatrat ćemo dva tipa kvadrilateralnih elemenata koji se zasnivaju na izoparametarskoj formulaciji: 4. -čvorni 8. -čvorni

1. 4. -čvorni izoparametarski kvadrilateralni element s linearnim prikazom polja pomaka unutar elementa Bazne funkcije 4. -čvornog konačnog elementa su bilinearne funkcije u obliku:

2. 8. -čvorni izoparametarski kvadrilateralni element (Serendipity) s krivocrtnim stranicama i kvadratnim prikazom polja pomaka unutar elementa Bazne funkcije 8. -čvornog konačnog elementa su kvadratne funkcije u obliku:

0 0 0 0 0 4. -čvornog 0 0 0 0 8. -čvornog Bazne funkcije izoparametarskih konačnih elemenata

Izrazi za bazne funkcije strogo ovise o orijentaciji lokalnih koordinatnih smjerova i . Ø Čvorovi elementa se označavaju u pozitivnom smjeru obilaska elementa (suprotno od kazaljke na satu) počinjući od bilo kojeg ugaonog čvora. Ø Pozitivan smjer osi je tada definiran, za 8. -čvorni konačni element, pomicanjem duž stranice elementa počevši od prvog čvora prema drugom i trećem. Ø Pozitivan smjer osi je definiran pomicanjem duž stranice elementa počevši od trećeg čvora prema četvrtom i petom.

Vrijednosti koordinata x( , ) i y( , ) u bilo kojoj točki ( , ) konačnog elementa izražavaju se pomoću baznih funkcija i koordinata čvornih točaka elementa kao: ČVORA i ELEMENTA BAZNA FUNKCIJAKONAČNOG PRIDRUŽENA ČVORU i BROJKOORDINATE ČVOROVA Nepoznata funkcija rješenja u na svakom konačnom elementu: Analogno, derivacije neke funkcije f( , ) po smjerovima i dobivaju se kao: Mogu npr. biti koordinate točaka x( , ), y( , ) ili komponente vektora pomaka u( , ).

Potrebno je naći vezu između derivacija po x i y smjeru i derivacija po smjerovima i . To se vrši pomoću pravila deriviranja složene funkcije: Odnosno u matričnom obliku: MATRICA PRESLIKAVANJA ILI JACOBIJEVA MATRICA (JACOBIANA)

Cartesijeve derivacije funkcije f( , ) se prema tome određuju kao: INVERZNA MATRICA PRESLIKAVANJA Determinanta Jacobiane mora biti različita od nule Invertiranje Jacobianove matrice osjetljivo je na neke tipove distorzije elementa u odnosu na osnovni pravokutni oblik te na položaj čvornih točaka duž stranica. Npr. Kod bikvadratičnih elemenata je najbolje postaviti čvorove na stranicama u sredini između pripadajućih ugaonih točaka.

Cartesijeve derivacije baznih funkcija određuju se korištenjem pravila deriviranja složene funkcije: Izračunavaju se iz inverzne Jacobijanove matrice Diferencijalni element površine dxdy se u svim integracijama zamjenjuje sa: Standardna formula za određivanje matrice krutosti elementa kod rješavanja dvodimenzionalnih problema može se napisati u obliku: Eksplicitno određivanje matrice K nije izvedivo pa se koeficijenti ove matrice moraju izračunavati korištenjem numeričke integracije.

Numerička integracija Zbog jednostavne implementacije i visoke točnosti integrali se izračunavaju pomoću Gauss-Legendre-ove kvadraturne formule. Gaussova kvadraturna formula u jednoj dimenziji ima oblik: ZADANA FUNKCIJA n. KOORDINATA JETEŽINSKI UKUPNI BROJ TOČAKA I-TE INTEGRACIJSKIH INTEGRACIJSKE TOČKE FAKTORI RASPOLAŽE SE S 2 N KONSTANTI S n integracijskih točaka može se točno integrirati polinom stupnja ili manjeg. Ako je podintegralna funkcija f(t) polinom stupnja većeg od , ili ako nije polinom, tada se dobiju približne vrijednosti integrala.

Koordinate Gaussovih integracijskih točaka podudaraju se s položajem nultočaka Legendre-ovih ortogonalnih polinoma. Gauss-Legendre-ova numerička integracija

Numerička integracija na kvadrilateralnom konačnom elementu provodi se također prema Gaussovoj kvadraturnoj formuli korištenjem svojstva Cartesijevog produkta: KOORDINATE GAUSSOVIH INTEGRACIJSKI VRIJEDNOSTI TOČAKA PODINTEGRALNE TEŽINSKI KAO FAKTORI UREĐENIH FUNKCIJE ZAPAROVA GAUSSOVE U GAUSSOVIM PO KOORDINATNIM TOČKE TOČKAMA OSIMA I Broj Gaussovih točaka po pojedinim koordinatnim osima ne mora biti jednak a odabire se prema očekivanom stupnju polinoma koji bi točno aproksimirao podintegralnu funkciju po pojedinom smjeru.

Raspored Gaussovih točaka na kvadrilateralnom elementu za integracijsko pravilo 2 2 s rimskim brojevima, odnosno za integracijsko pravilo 3 3 s arapskim brojevima. Raspored Gaussovih integracijskih točaka

Raspored Gaussovih integracijskih točaka za 8. -čvorni konačni element Npr. prikazan je način izračunavanja integrala korištenjem Gaussove kvadraturne formule za 9 integracijskih točaka:

Primjeri preslikavanja Za preslikavanje kvadrilateralnog područja s pravocrtnim stranicama na virtualno područje dovoljne su bazne funkcije četričvornog konačnog elementa. Realne koordinate x, y proizvoljne točke u virtualnom području ( , ) su:

Jacobijeva matrica: Determinanta Jacobijeve matrice je: A inverzna matrica Jacobijane:

Preslikavanje pravocrtnog kvadrilateralnog elementa

Jacobijeva matrica: Determinanta Jacobijeve matrice ovisi samo o smjeru : Inverzna Jacobijana je: Derivacije proizvoljne funkcije f(x, y) u Cartesijevom koordinatnim sustavu na području prikazanom na crtežu su: Elementarna površina prikazanog područja, uz vrijednost det J je:

PRIMJER: Izračunati površinu četvrtine kružnog prstena prikazane na crtežu integriranjem po virtualnom području. Preslikavanje krivocrtnog područja

; ( TOČNO: ) ODSTUPANJE:

Bazne funkcije 8. -čvornog konačnog elementa i njihove derivacije

Numerički model filtracije ALGORITAM ZA JEDAN KONAČNI ELEMENT KODIRAN POMOĆU MATEMATIČKOG PROGRAMA ˝DERIVE˝ 1: 2: 3: Simboličko zadavanje koordinata čvorova na elementu [x 1: =, x 2: =, x 3: =, x 4: =, x 5: =, x 6: =, x 7: =, x 8: =] [y 1: =, y 2: =, y 3: =, y 4: =, y 5: =, y 6: =, y 7: =, y 8: =] 4: 5: 6: Koordinate čvorova u obliku indeksne varijable x(i) : = ELEMENT ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 , i) y(i) : = ELEMENT ( y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7, y 8 , i) 7: 8: Bazne funkcije na elementu N 0 (i, , ): =ELEMENT

Numerički model filtracije 9: 10: 11: 12: Derivacija baznih funkcija po krivocrtnoj koordinati ksi N 0 (i, , ): =ELEMENT Derivacija baznih funkcija po krivocrtnoj koordinati eta N 0 (i, , ): =ELEMENT

Numerički model filtracije 13: Jacobijeva matrica 2 x 2 14: JAC ( , ): = 15: 16: Determinanta Jacobijeve matrica DJAC ( , ): = ELEMENT (JAC( , ), 1, 1)∙ ELEMENT (JAC( , ), 2, 2) – ELEMENT (JAC( , ), 1, 2) ∙ ELEMENT (JAC( , ), 2, 1) 17: Inverzna matrica Jacobijane 18: IJAC ( , ): = 19: 20: Derivacija baznih funkcija po globalnoj koordinati X N 0 X (i, , ): = ELEMENT (IJAC ( , ), 1, 1) ∙ N 0 (i, , ) + ELEMENT (IJAC( , ), 1, 2) N 0 (i, , ) 21: 22: Derivacija baznih funkcija po globalnoj koordinati Y N 0 Y (i, , ): = ELEMENT (IJAC ( , ), 2, 1) ∙ N 0 (i, , ) + ELEMENT (IJAC ( , ), 2, 2) N 0 (i, , )

Numerički model filtracije 23: 24: 25: Opći izraz za matricu elementa Podintegralna funkcija za izračunavanje matrice elementa G (i, j, kxx, kyy, θ, , ): = 26: 27: Kraći zapis općeg izraza za matricu elementa KK(i, j, kxx, kyy, θ): = 28: Težinski koeficijenti i krivocrtne koordinate Gaussovih točaka – 3 x 3 29: W(i): = ELEMENT

Numerički model filtracije 30: 12(i): = ELEMENT 31: Izračunavanje matrice elementa pomoću numeričke integracije 3 x 3 KK (i, j, kxx, kyy, θ): = 32: 33: 34: Simboličko zadavanje piezometarskih visina u čvorovima na elementu [h 1: =, h 2: =, h 3: =, h 4: =, h 5: =, h 6: =, h 7: =, h 8: =]

Numerički model filtracije 35: 36: 37: 38: Piezometarske visine u obliku indeksne varijable H(j): =ELEMENT ([h 1, h 2, h 3, h 4, h 5, h 6, h 7, h 8], j) Formula za pisanje jednadžbe ravnoteže u slobodnom čvoru REAC(i, kxx, kyy, θ): = 39: 40: Formule za izračunavanje komponenata vektora brzine VX(kxx, kyy, θ, , ): = 41: VY(kxx, kyy, θ, , ): =

Numerički model filtracije 42: 43: 44: 45: 46: Komponenta brzine Vx u profilu eta=1 VECTOR (VX (1, 1, 0, -1 + 0. 1 k, 1), k, 0, 20) Komponenta brzine Vy u profilu ksi=1 VECTOR (VY (1, 1, 0, 1, -1 + 0. 1 k), k, 0, 20) POTH ( , ): =

Numerički model filtracije Ilustracija na jednostavnim primjerima 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: Primjer A 1 Pravokutno područje 10 x 5 m [x 1: =0, x 2: =5, x 3: =10, x 4: =10, x 5: =10, x 6: =5, x 7: =0, x 8: =0] [y 1: =0, y 2: =0, y 3: =0, y 4: =2. 5, y 5: =5, y 6: =5, y 7: =5, y 8: =2. 5] Potencijal na uzvodnom rubu 20 m, a na nizvodnom 10 m [h 1: =20, h 2: =, h 3: =10, h 4: =10, h 5: =10, h 6: =, h 7: =20, h 8: =20] Kxx = 0. 001, Kyy = 0. 001, Thete = 0. 0 SOLVE([REAC(2, 0. 001, 0)=0, REAC(6, 0. 001, 0)=0], [h 2, h 6]) [h 2=15 h 6=15]

Numerički model filtracije 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: Primjer B [x 1: =3, x 2: =7, x 3: =12, x 4: =9. 5, x 5: =8, x 6: =4, x 7: =0, x 8: =1. 5] [y 1: =0, y 2: =3, y 3: =6, y 4: =8, y 5: =10, y 6: =7, y 7: =4, y 8: =2] Potencijal na uzvodnom rubu 20 m, a na nizvodnom 10 m Kxx = 0. 001, Kyy = 0. 001, Thete = -0. 643501108 [h 1: =20, h 2: =, h 3: =10, h 4: =10, h 5: =10, h 6: =, h 7: =20, h 8: =20] SOLVE([REAC(2, 0. 001, -0. 643501108)=0, REAC (6, 0. 001, 0, -0. 643501108)=0], [h 2, h 6]) [h 2=15 h 6=15]

Numerički model filtracije PROGRAM Φ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. UČITAVANJE NASLOVA UČITAVANJE KONTROLNIH PARAMETARA UČITAVANJE PODATAKA O ELEMENTIMA UČITAVANJE KOORDINATA ČVOROVA UČITAVANJE PODATAKA O SVOJSTVIMA POROZNOG MEDIJA UČITAVANJE ZADANE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE U PRIDRŽANIM ČVOROVIMA PODACI O STRANICAMA ELEM. NA KOJIMA SU ZADANI FLUKSEVI UČITAVANJE KONTROLNIH PARAMETARA ZA ISPIS REZULTATA U DATOTEKE ZA CRTANJE 9. UČITAVANJE VREMENSKOG KORAKA I KOORDINATA TOČKE IZ KOJE PROMATRAMO GIBANJE I VRIJEME PUTOVANJA KROZ POROZNI MEDIJ UČITAVANJE BROJA PODJELA ELEMENTA PO X I Y SMJERU RADI CRTANJA U TECPLOTU