FAKULTET GRAEVINARSTVA ARHITEKTURE I GEODEZIJE SVEUILITA U SPLITU

FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE SVEUČILIŠTA U SPLITU Doc. dr. sc. Hrvoje Gotovac MODELIRANJE TOKA I PRONOSA U PODZEMLJU Split, 04. 10. 2011.

Sadržaj kolegija 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Uvod Tečenje u poroznim zasićenim sredinama Pronos u poroznim zasićenim sredinama Stohastičko modeliranje toka i pronosa zagađenja i trasera u poroznim zasićenim sredinama Tečenje i pronos u nezasićenim poroznim sredinama Tečenje i pronos s promjenjivom gustoćom Višefazno tečenje Pronos energije u poroznim sredinama Tečenje i pronos u raspucalim frakturiranim formacijama Tečenje i pronos u kršu Dodatak: DVD s grafičkim programskim paketom Fi. kodovima i primjerima

Literatura n n n Interna skripta, 2010, Gotovac. Geostatistika-umijeće prostorne analize, 2007, Andričević, Gotovac, Ljubenkov. Osnove hidromehanike, 2006, Jović. Uvod u inženjersko numeričko modeliranje, 1993, Jović. Applied stochastic hydrogeology, 2003, Rubin. Seawater intrusion in coastal aquifers, 1999, Bear i ostali.

1. UVOD Ovo poglavlje posvećeno je prvenstveno osnovnim pojmovima, parametrima i zakonima hidraulike podzemnih voda. Značenje podzemne vode u kružnom ciklusu vode u prirodi Značenje podzemne navodnjavanje, … vode za vodopskrbu, gospodarstvo, Samo manji dio oborina probije se do podzemlja, no kroz geološko vrijeme ovakav proces rezultirao je velikim zalihama podzemne Volumen podzemne vode predstavlja NAJVEĆI volumen nezaslanjene vode raspoložive za uporabu (preko 99 %) Osim tečenja promatramo i pronos raznih čestica, tvari i/ili energije Spominjemo razne vrste tečenja, pronosa, vodonosnih slojeva, poroznih sredina Dajemo značaj modeliranja, različitih formulacija i tehnika rješavanja

Lokacija Volumen (km 3 106) Postotak (%) Oceani i mora 1370 93, 77 Jezera i rijeke 0, 18 0, 01 Vlažnost zemlje 0, 12 0, 01 Podzemne vode 60 4 Ledeni pokrivač 30 2 Voda u atmosferi 0, 01 <0, 01 Voda u biosferi 0, 01 <0, 01 Procjena vodnih resursa Zemlje U SAD-u je procijenjeno da crpljenje podzemne vode za vodoopskrbu i navodnjavanje doseže 73 milijarde galona ili 277 x 106 m 3 dnevno, što čini otprilike 1/5 ukupne upotrebe voda u SAD-u.

Voda u podzemlju Hidrološki ciklus vode na Zemlji Voda u podzemlje dolazi prvenstveno iz oborina procesima infiltracije i perkolacije kroz poroznu sredinu.

Voda u podzemlju Brzinu i količinu vode koja će se infiltrirati u zasićenu zonu određuju vrsta geološke sredine sistema te stupanj heterogenosti. NESTACIONARNOST RAZINE PODZEMNE VODE vrlo je važna karakteristika na koju treba obratiti posebnu pozornost pri projektiranju i analizi podzemnih voda

Osnovni termini n n n n n Hidraulika, hidrologija i hidrogeologija Porozni medij ima dvije-tri faze: voda, zrak i čvrsta faza Zasićena i nezasićena sredina Akviferi i akvitardi (vodopropusni i vodonepropusni slojevi) Vodonosnik sa slobodnim vodnim licem i pod tlakom Saturirano i nesaturirano tečenje Reaktivni i ne-reaktivni pronos Jednofazno ili višefazno tečenje Tečenje miješajućih i nemiješajućih fluida Kontinuirana porozna sredina (npr. aluviji, pješčenjaci), raspucale frakturirane stijene (npr. dolomiti) i krške strukture (npr. vapnenci)

Trokomponentni (trofazni) sastav tla:

Primjer tečenja u vodonosniku Najčešći primjeri vodonosnih slojeva su geološke formacije dobre hidrauličke vodljivosti (npr. > 10 -5 [m/s] ). Tu prvenstveno spadaju aluvijalne formacije pijeska, šljunka te ostale provodljive sedimentne stijene (pješčenjaci, vapnenci itd. ) Slika predstavlja vodnosnik sa slobodnim vodnim licem i pod tlakom. Između njih je akvitard ili vodonepropusni sloj.

ZASIĆENA SREDINA nalazi se ispod vodnog lica u podzemlju voda ispunjava sve povezane pore i vlažnost je jednaka efektivnom porozitetu tlak vode je veći od atmosferskog (tako je mjereni tlak veći od nule) hidraulička visina se mjeri u piezometrima vodonosni sloj ili vodonosnik → svaka geološka formacija koja je porozna, zasićena vodom i može pronositi značajne količine vode pod utjecajem hidrauličkog gradijenta (riječ akvifer, koja se često susreće u stranoj literaturi, ima puno šire značenje) vodonepropusni slojevi (ili akvitardi) → formacije koje nemaju sposobnost provođenja vode zbog slabe hidrauličke provodljivosti, bez obzira da li u sebi sadrže vodu u prostoru pora

NEZASIĆENA SREDINA dijelovi podzemlja nisu uvijek ispunjeni vodom, a to se prvenstveno odnosi na one dijelove podzemlja koji su blizu površine zemlje prostor pora u tom slučaju samo je parcijalno ispunjen vodom i stoga se taj dio zove NEZASIĆENA ZONA osnovna fizikalna karakteristika nezasićene sredine je stupanj vlažnosti koji je prisutan u formaciji ako podijelimo ukupni volumen poroznog uzorka VU, na volumen čvrste faze Vs, volumen vode prisutan u uzorku Vv i volumen zraka prisutnog u uzorku Vz, tada je stupanj vlažnosti definiran kao: Kao i porozitet, vlažnost se definira u postotku i u slučaju zasićene sredine, , dok kod nezasićene sredine vrijedi.

Heterogeni porozni medij

Realni fizikalni primjeri n n Eksploatacija vodonosnika za vodoopskrbu ili navodnjavanje (hidrotehnički aspekt) Utiskivanje nuklearnog ili drugog opasnog otpada (ekološki aspekt) Interakcija slatke i slane vode u obalnim vodonosnicima (hidrotehnički i ekološki aspekt) Utiskivanje trasera ili probna crpljenja radi određivanja disperzivnih ili drugih karakteristika vodonosnika (hidrogeološki aspekt)

Realni fizikalni primjeri n n Višefazno tečenje nemiješajućih fluida (npr. interakcija vode i nafte pri procesu crpljenja nafte, ekonomski i energetski aspekt) Eksploatacija geotermalne energije (medicinski aspekt)

MEĐUDJELOVANJE PODZEMNIH I POVRŠINSKIH TOKOVA

PRODOR SOLI U PRIOBALNE VODONOSNIKE

ZBRINJAVANJE NUKLEARNOG OTPADA U SLANE DOME

ZBRINJAVANJE OTPADA IZ NAFTNOG RUDARSTVA U DUBOKE BUŠOTINE Utiskivanje otpada Širenje otpada Nepropusna pokrovna stijena Nepropusna podinska stijena

Višefazno tečenje ulja, vode i plina

Reaktivni pronos - biodegradacija

GEOTERMALNI KONVEKTIVNI PROCESI U PODZEMLJU

Osnovne fizikalne varijable u podzemlju n n n Tlak Piezometarska visina Koncentracija Brzina Temperatura

Osnovne hidrauličke karakteristike n n n Gustoća Viskoznost Stišljivost fluida Stišljivost poroznog medija Poroznost Permeabilnost

FIZIKALNE KARAKTERISTIKE I PRINCIPI Osnovni fizikalni pojmovi: § Energija, E, je sposobnost tijela da izvrši rad koji je jednak produkt sile i puta na kome ona djeluje. Mjerna jedinica za rad je 1 Joul (J), to je ustvari sila od 1 N koja djeluje na putu od 1 m. § Sila, F, je produkt mase i akceleracije. Mjerna jedinica za silu je 1 Newton (N) - 1 kg s akceleracijom od 1. § Težina vode, G, gravitacijska je sila zemlje koja djeluje na tijelo, i ima istu mjernu jedinicu kao i sila

§ Gustoća vode: § Specifična težina: (težina po jediničnom volumenu) § Koncentracije faze (volumenska i masena): § Tlak: § Tenzor naprezanja je simetrični tenzor drugog reda. U svakoj ravnini su definirana normalna (tlak i vlak) i posmična naprezanja. U vodi imamo samo tlak.

GUSTOĆA n n Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili koncentracije Za izotermne uvjete i klasične raspone tlakova n Slatka voda - more n Slani slojevi ili dome, zagađenja, otpad

VISKOZNOST n n Dinamička viskoznost je svojstvo tekućine da se odupire posmičnoj ili tangencijalnoj deformaciji, a prikazuje odnos vremenske posmične deformacije i posmičnog naprezanja u fluidu (Jović, 1978). Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili koncentracije

STIŠLJIVOST stišljivost - karakteristika materijala koja opisuje promjenu volumena ili napona u materijalu pod djelovanjem tlaka standardni pristup u čvrstoći materijala je koncept modula elastičnosti koji je definiran kao odnos promjene naprezanja dσ prema rezultirajućoj promjeni relativne deformacije dε stišljivost je inverzna modulu elastičnosti, definirana kao relativna deformacija/naprezanje dε/dσ

čvrstoća materijala u poroznoj sredini mjeri se modulom elastičnosti: gdje je dσ naprezanje, a dε deformacija. stišljivost je obrnuto proporcionalna modulu elastičnosti: stišljivost povećanje tlaka (p) vode može rezultirati smanjenju određenog volumena vode, VV. Stišljivost vode je tada definirana kao: negativan predznak potreban je da se dobije pozitivna vrijednost - relativna deformacija u vremenu - promjena tlaka za

Prethodni izraz prikazuje linearnu elastičnu relaciju između volumetrijske deformacije i tlaka induciranog u vodi sa promjenom tlaka dp. Dakle, stišljivost vode β predstavlja nagib linearnog odnosa relativne deformacije prema tlaku. β ima jedinice kao i inverzni tlak: ( , Pa) tj.

Za poznatu masu vode može se pisati: ρ - gustoća vode - relativna deformacija volumena izražena kao relativna promjena gustoće Integracijom izraza β definiranim s gustoćom vode dobiva se jednadžba stanja vode: S tim da je gustoća ρ0 gustoća pri p 0. Ako se uzme za p 0=atmosferski, dobiva se: Za nestišljivu tekućinu vrijedi: konstanta Temperatura koja se uglavnom susreće u podzemlju ima zanemariv utjecaj na β tako da u praksi uglavnom uzimamo β = const.

Pretpostavimo da je jedinična masa porozne sredine stavljena pod pritisak. Postoje tri načina kako može doći do smanjenja volumena u poroznoj sredini: 1) kompresijom vode u porama – kontroliran stišljivošću vode (β) 2) kompresijom individualnih zrna materijala - stišljivost individualnih zrna (taj mehanizam je zanemariv pod pretpostavkom da su zrna materijala nestišljiva) 3) preraspodjelom poroznog materijala u gušće pakiranu sredinu (taj mehanizam predstavlja stišljivost porozne sredine koji je bitan u izgradnji podzemnih objekata) Koncept efektivnog tlaka predloženog od Terzaghi-a (1925) Primjer: tlak je u ravnoteži na proizvoljnoj plohi (Sl. 2. 5). σt - ukupni tlak koji djeluje prema dolje na plohu (može biti rezultat težine same porozne sredine s vodom, a može biti rezultat građevnog objekta)

Ravnotežu ukupnom tlaku daje tlak tekućine p i efektivni tlak σe. Upravo ovaj efektivni tlak djeluje na skelet porozne sredine i uzrokuje preraspodjelu zrna poroznog materijala koja konačno rezultira kompresijom skeleta porozne sredine. U ravnotežnom stanju možemo pisati odnosno u obliku promjene (diferencijalnom obliku). Ravnoteža tlakova U većini slučajeva težina porozne formacije ili težina objekta konstantna u vremenu što rezultira jednakosti, (porast tlaka tekućine prati pad efektivnog tlaka). Dakle, efektivni tlak u bilo kojoj točci poroznog sistema kontroliran je tlakom tekućine u toj točci.

• kako je u bilo kojoj točci tj. z = konst. , svaka promjena efektivnog tlaka je kontrolirana promjenom hidrauličke visine, • ova kratka analiza efektivnog pritiska omogućava definiciju stišljivosti porozne sredine u obliku: gdje je VU ukupni volumen porozne mase, definiran kao VU= Vs+Vv, pri čemu Vs označava volumen krute faze dok Vv označava volumen tekućine • povećanje efektivnog napona σe rezultira smanjenjem d. VU ukupnog volumena porozne sredine kao rezultat reorganizacije zrnatog materijala porozne sredine • kako se općenito može pisati, d. VU = d. Vs+ d. Vv, tada pod pretpostavkom da je kruta faza nestišljiva (npr. d. Vs = 0 pišemo d. VU = d. Vv) • na istom principu odnosa efektivnog napona i promjene volumena temeljeni su i instrumenti za mjerenje stišljivosti porozne sredine odnosno procesa konsolidacije koji ima važnu primjenu u analizi i projektiranju hidrotehničkih objekata.

Kada se uspostavi ekvilibrij onda je dp = 0 Odnos volumena vode prema čvrstoj fazi: početni Sredina Glina 10 -6 - 10 -8 Pijesak 10 -7 - 10 -9 Šljunak 10 -8 - 10 -10 -9 -11 Čvrsta stijena 10 - 10 Voda( ) 4. 4 x 10 -10 α za razliku od β nije konstanta već funkcija tlaka te prijašnjeg opterećenja. Za vodonosnik α je samo jednodimenzionalna veličina. Ako je tlak samo vertikalni onda b postaje debljina vodonosnika i α postaje vertikalna stišljivost. U stvarnosti je α = α (x, y) iako se smatra da je vertikalni najvažniji.

TOTALNA ILI APSOLUTNA POROZNOST Poroznost zemljanog materijala odnos je volumena otvorenog prostora (pora) prema totalnom volumenu promatranog uzorka. To je bezdimenzionalna veličina najčešće dana u postotku gdje je Vv volumen otvorenog prostora, prostora V totalni volumen promatranog prostora i n je totalna poroznost uzorka Poroznost se laboratorijski određuje uzimanjem uzorka s poznatim volumenom (V). Uzorak se potom suši do konstantne težine na temperaturi od 105 °C. Time se odstrani sva voda iz pora, ali ne i voda koja je kemijski vezana uz minerale. Osušeni uzorak se zatim potopi u posudu s poznatim volumenom vode i ostavi dok se potpuno ne saturira. Volumen otvorenog prostora u uzorku, Vv, jednak je razlici poznatog volumena vode u kojeg je uronjen i volumena vode u posudi kada je uzorak izvađen.

= bruto gustoća uzorka Efektivna poroznost je prostor u poroznoj formaciji, raspoloživ za protok vode i transport zagađenja kroz podzemlje. Za potpuni saturirani uzorak, efektivna poroznost se (kinematički) definira prema izrazu: Ograničenja za izračunavanje efektivne poroznosti postoje u slijedećim ðnepovezanost pora situacijama: ðpostojanje tzv. mrtvih zona ðdominiranje pukotina na većoj skali

Efektivni porozitet (raspoloživ za tok vode) ima važnu ulogu u procesima transporta zagađenja u podzemlju. U nekim slabo poroznim materijalima (npr. glina ) razlika između totalnog i efektivnog poroziteta je velika i njihovo točno mjerenje je imperativ. Ø Primarni porozitet je nastao za vrijeme taloženja sedimenata i uglavnom predstavlja prostor između zrnatog materijala. Njegova veličina ovisi o stupnju sortiranja i obliku deponiranog zrnatog materijala. Ø Sekundarni porozitet nastaje hidrološkim i kemijskim procesima nakon formiranja sedimenata. Najčešći procesi koji utječu na sekundarnu poroznost su rastvaranje karbonatnih stijena, pukotine nastale tektonskim pomacima, te ostali procesi vlaženja i rastvaranja stijena kemijskim utjecajem. Sekundarni porozitet doprinosi povećanju efektivne poroznosti S obzirom na način postanka stijena razlikujemo: 1. Dolomiti i vapnenci su najčešće formirani od kalcijevog karbonata, gipsa, kalcijevog sulfata i drugih klorida. Cirkulacija podzemnih voda s vremenom rastvara stijenu prolazeći kroz povezane pore i pukotine.

2. Stijene metamorfnog podrijetla su nastale pod jakom toplinom i pritiskom na već postojeće stijene. Njihov porozitet je uglavnom mali i rezultat je procesa vlaženja i pukotina nastalih tektonskim pomacima. 3. Stijene vulkanskog podrijetla formirane su hlađenjem lave i u sebi sadrže otvore i pukotine kao rezultat razlike bržeg i sporijeg hlađenja. Ti otvori mogu biti nepovezani i tada malo doprinose protoku vode, dok u slučaju njihove povezanosti mogu predstavljati značajnu trajektoriju za tok vode i pronos zagađenja kroz podzemlje.

U tablici je prikazan srednji porozitet nekih stijena. Vrijednosti su samo indikativnog karaktera, dok stvarne vrijednosti mogu značajno varirati. Primjer sredine u kojoj je ukupni porozitet jednak efektivnom porozitetu su špekule ( franje ), tj. volumen ispunjen špekulama.

Porozitet u točci je jedan ako je točka mjernog instrumenta pala u poru ili je nula ako je pala u čvrstu fazu (npr. zrno poroznog materijala). Tek povećanjem veličine uzorka na neku konačnu skalu, uvodimo obje faze i time porozitet dobiva smisao izraza. Drugim riječima, dajemo matematičkoj točci u prostoru vrijednost poroziteta za određeni volumen koji okružuje tu točku. Ovaj se koncept zove reprezentativni elementarni volumen (REV) i predstavlja vrst prostorne integracije (odnosno osrednjavanja). Veličina REV-a treba zadovoljavati slijedeća dva uvjeta: 1) dovoljno velika da sadrži dovoljan broj pora kako bi se srednja vrijednost mogla naći uz istodobno zanemariv utjecaj fluktuacija na skali pora (npr. 1 dm 3 za nekonsolidirane materijale). 2) dovoljno malena kako bi se varijacije parametara u prostoru mogle opisati kontinuiranim matematičkim funkcijama. Praktično se smatra da veličina REV-a odgovara veličini uzorka kada mjerni parametar (npr. porozitet) dobiva konstantnu vrijednost u grafu kada je prikazan kao funkcija veličine uzorka (Slika 2. 3).

Drugi pristup mjerenju relevantnih fizikalnih karakteristika podzemnih formacija je koncept slučajne funkcije. Zamislimo, na primjer, da imamo više uzoraka poroznog medija iste veličine (npr. veliki broj kolona ispunjenih poroznim materijalom), te u svakom uzorku mjerimo porozitet u točci (dakle, mjerimo ili jedan ili nula, ovisno da li je mjerna točka pala u poru ili na zrno materijala). Srednja vrijednost (osrednjena po broju kolona) svih mjerenih poroziteta u točci predstavlja osrednjavanje po realizacijama porozne sredine i jednaka je prostornom osrednjavanju po jednom takvom uzorku. Vrlo bitna razlika je u tome što je osrednjeni porozitet po skupu realizacija jednak za svaku točku uzorka.

DARCY-ev EKSPERIMENT Ø francuski inženjer Henry Darcy Ø studija vodoopskrbe grada Dijon-a u Francuskoj Ø eksperiment protoke vode kroz cilindar pijeska Rezultat eksperimenta je slijedeći: protok vode je proporcionalan razlici stupca vode na oba kraja te obrnuto proporcionalan dužini toka vode (npr. dužini cilindra pijeska,

Dakle, Darcy-ev empirijski zakon se može pisati kao: ili u diferencijalnom obliku: gdje dh/dl predstavlja hidraulički gradijent, K je konstanta proporcionalnosti, A je poprečni presjek cilindra pijeska. Negativni znak u gornjem izrazu rezultat je tečenja u smjeru opadanja hidrauličkog potencijala. K evidentno mora biti u funkciji poroznog materijala koji ispunjava cilindar, jer će držanjem konstantnog gradijenta, protok varirati za različiti porozni materijal.

Parametar K koji se naziva hidraulička provodljivost (konduktivitet) ima veću vrijednost za pijesak i šljunak, a manju za glinu i veliku većinu stijena. Budući je hidraulički gradijent, K, bezdimenzionalna veličina, ima dimenziju dužina/vrijeme, tj. dimenziju brzine. Darcy-eva konstanta proporcionalnosti, K, ovisi ne samo o vrsti materijala, materijala već i o fizikalnoj karakteristici vode koja prolazi kroz porozni materijal. Ako bi ponovili Darcy-ev eksperiment sa zrnima materijala jednoličnog dijametra protok vode bi bio proporcionalan kvadratu dijametra zrna pri čemu C predstavlja novu konstantu proporcionalnosti, zvanu faktor oblika. su karakteristike poroznog materijala, dok su Ci i karakteristike tekućine.

Sada možemo definirati novi parametar zvani permeabilitet, permeabilitet tj. propusnost porozne sredine, koji je funkcija samo porozne sredine i slobodnim riječima označava veličinu otvora kroz koji tekućina prolazi, k ima dimenziju površine te se konačni oblik Darcy-evog eksperimentalnog zakona može pisati za Darcy-evu i stvarnu brzinu: Na osnovi ovog izraza, jedinica za permeabilitet je 1 darcy koji je definiran ] kao permeabilitet koji rezultira specifičnim protokom q, od 1 [. kroz sekciju od 1 [ ] za tekućinu viskoznosti 1 [ ] ). uz gradijent pritiska od 1 ( Jedan darcy jednak je 9. 87 Ako se prisjetimo definicije hidrauličkog potencijala, onda se za nestišljivu tekućinu može pisati :

Iz gornjeg izraza definicija hidrauličke vodljivosti je čije su dimenzije iste kao i za brzinu: Premda se Darcy-ev zakon potvrdio eksperimentalno na raznim primjerima, postoje slučajevi kada linearni odnos ne vrijedi To su slučajevi s vrlo niskim i vrlo visokim hidrauličkim gradijentom.

U slučajevima visokih gradijenata može se eksperimentalno pokazati da je proporcionalnost između brzine filtracije i gradijenta kvadratnog oblika: Ø gubici zbog viskoznog trenja Ø označava gubitke zbog inercije tekućine U praksi se kaže da Darcy-ev zakon vrijedi pri Reynolds -ovom broju manjem od limita 1 – 10. 10 U tim slučajevima tečenje je laminarno unutar pora. Kad počinje dosezati vrijednosti 10 – 100 dolazi do nestacioniranih pojava i sile inercije nisu više zanemarive što rezultira nelinearnosti između brzina filtracije i gradijenta - kvadratni oblik u gornjoj jednadžbi počinje dominirati. Tipičan primjer takvog stanja su tečenja u kršu gdje je disipacija kinetičke energije značajna.

Tablica pokazuje neke približne raspone hidrauličkog konduktiviteta za razne vrste poroznih sredina.

Slika prikazuje princip parametra zapremine za vodonosnik pod pritiskom i vodonosnik sa slobodnim vodnim licem. Transmisivnost se analogno definira kao umnožak hidrauličke vodljivosti i debljine vodonosnika, T=Kb. Iz izraza se jasno vidi da transmisivnost ima jedinicu [dužina 2/vrijeme]. Princip parametra zapremine

Koncept transmisivnosti i parametra zapremine uveden je u hidrauliku poroznih sredina prvenstveno za potrebe hidraulike zdenaca u vodonosnicima pod tlakom. Kod dvodimenzionalnih problema i vodonosnicima pod tlakom T i S imaju svoj puni smisao, dok u svim drugim aplikacijama u podzemlju njihov smisao se gubi i potrebno je vratiti se osnovnim definicijama hidrauličke vodljivosti K i specifične zapremine SS ili čak fundamentalno na permeabilitet k, porozitet n ili stišljivost α. Princip transmisivnosti

Svojstva tenzora propusnosti n n Homogen i heterogen Izotropan i anizotropan Glavne osi pokazuju ravnine samo s hidrauličkim gradijentom u smjeru normale Sva realna polja su anizotropna i heterogena

Neke od klasifikacija tečenja i pronosa n n n Prema broju faza (jednofazno ili višefazno tečenje, saturirano ili nesaturirano) Prema stacionarnosti pojave (stacionaran ili nestacionaran tok i pronos) Prema interaktivnim svojstvima faza (ako se faze miješaju-tečenje i pronos s promjenjivom gustoćom ili ne miješaju-npr. trofazno tečenje plina, nafte i vode) Prema međusobnom djelovanju tečenja i pronosa (tečenje i pronos su međusobno zavisni ili ne) Prema sorptivnim svojstvima vodonosnika (reaktivni ili nereaktvni pronos)

Euler-Langrangeova formulacija n n n Tečenje i pronos su nezavisni Tečenje je saturirano, stacionarno i ovisi o jednoj fazi, heterogenosti i rubnim uvjetima Pronos je nestacionaran i reaktivan Tečenje se promatra u Eulerovom globalnom koordinatnom sustavu (rješenje je polje brzina) Pronos se dobiva u Langrangeovom koordinatnom sustavu, tj. “putujući” s poljem strujnica koje je jednoznačno dobiveno iz polja brzina

Uloga heterogenosti n n n Osnovni čimbenik u procesima toka i pronosa Sadržana je u varijabilnosti hidrauličke propusnosti i poroznosti Nastaje zbog složenog djelovanja raznih tektonskih, temperaturnih, depozitnih i drugih faktora kroz dugo geološko razdoblje Javlja se na svim skalama Opisuje se na stohastički način pomoću srednje vrijednosti, varijance i integralne duljine polja hidrauličke log-propusnosti

Heterogenost na skali pora

L = 1 (cm) L = 16 (cm) L = 30 (m) * 2 (m)

Klasifikacija heterogenosti n n Podjela s obzirom na veličinu varijance, tj. stupnja varijabilnosti hidrauličke logpropusnosti (Y = ln. K; Var(Y)<1 -mala heterogenost; 1<Var(Y)<3 -srednja heterogenost i Var(Y)>3 -velika heterogenost) Podjela s obzirom na tip stohastičke strukture ili kovarijance (eksponencijalna, Gaussova, fraktalna, multi-indikator…)

REAL SYSTEM CONCEPTUAL MODEL Uvođenje koeficijenata i parametara Skup pretpostavki koje reduciraju realni problem u simplificiranu verziju Fizika sustava MATHEMATICAL MODEL Izbor ovisi o raspoloživim podacima i potrebnoj točnosti rješenja Method of Solution Opcija kojoj težimo ANALYTICAL no sta jed v no ko m pli no v ta os cir n a jendo Često neizbježno NUMERICAL ko mp lic ira no UNCERTAINTY ANALYSIS AND PREDICTION RELIABILITY

Deterministički i stohastički pristup n n n Deterministički pristup koristi samo osrednjene ili efektivne veličine Stohastički pristup je uvjetovan prirodnom nepouzdanošću heterogenosti što čini ulaz u cijeli proces modeliranja Rezultati su dani najčešće u obliku prva dva statistička momenta Generalno, koriste se tri metode: spektralna metoda, metoda malih perturbacija i Monte-Carlo metoda Za procese izrazito velike heterogenosti Monte-Carlo metoda je najpouzdanija

Monte-Carlo metoda za analizu utiskivanja otpada u duboke bušotine n n Istražni radovi (geološki izvještaji, laboratorijska mjerenja, jezgrovanja, probna crpljenja i utiskivanja, površinska seizmika, geoelektrična bušotinska mjerenja, temperaturna mjerenja, ubacivanje trasera, …) Geostatistička analiza hidrauličke propusnosti i generiranje što većeg broja jednako mogućih uvjetnih ili bezuvjetnih realizacija

n n n Rješenje problema tečenja za svaku realizaciju koristeći pripadajuće numeričke tehnike (polje brzina) Određivanje polja strujnica za svaku realizaciju Rješenje jednadžbe pronosa za sve strujnice Statistička analiza rezultata koristeći rješenja svih realizacija Rezultati mogu biti: piez. visina, brzina, vrijeme putovanja, transverzalna udaljenost, protok mase kroz odabrani kontrolni presjek, koncentracija, …

Mjerenje spontanog potencijala

2. Tečenje u zasićenim poroznim sredinama n n n n Saturirano tečenje (deterministički pristup) Kontinuirana heterogena porozna sredinama Stacionarno i nestacionarno tečenje Strujnice i trajektorije Rubni i početni uvjeti Metode konačnih volumena i elemenata Eksplicitne i implicitne metode vremenske integracije Testovi crpljenja

Jednadžba stacionarnog tečenja Tečenje se matematički opisuje jednadžbom kontinuiteta: • analiza dimenzije oblika ρq pokazuje da se radi o toku mase tekućine kroz jedinični poprečni presjek u jedinici vremena, tj. o fluksu • u slučaju nestišljive tekućine, eliminira iz gornjeg izraza = konstanta, gustoća vode se → tako da se gornja jednadžba pojednostavi sa: gdje prvi dio simbolički predstavlja divergenciju (razliku između ulaza i izlaza mase u kontrolnom volumenu) vektora brzine.

Potencijalna formulacija Supstitucijom Darcy-evog zakona u prethodni izraz za komponente brzina jednadžba stacionarnog tečenja podzemne vode kroz anizotropni heterogeni porozni medij: Ø kod izotropne sredine Kx = Ky = Kz, Ø za homogenu sredinu K(x, y, z) = konstanta Potencijalna formulacija Izraz predstavlja najosnovniju parcijalnu diferencijalnu jednadžbu poznatu u fizici i matematici kao Laplaceova diferencijalna jednadžba čije je rješenje prostorna funkcija h(x, y, z). Brzina se dobije primjenom DArcy-evog zakona koristeći poznati tenzor propusnosti i izračunatu piezometarsku visinu

Strujna formulacija

Strujna formulacija

Strujna cijev

Jednadžba stacionarnog tečenja u strujnoj formulaciji

Konačan oblik jednadžbe tečenja za obje formulacije Glavne osi tenzora propusnosti se podudaraju s osima x i y:

Prednosti i mane potencijalne formulacije n n Generalnost - opisuje sve slučajeve stacionarnog i nestacionarnog tečenja, heterogenosti, crpljenja i prihranjivanja Brzina kao glavna veličina toka za analizu pronosa se računa indirektno iz Darcy-evog zakona Često nedovoljna točnost brzine Značajne numeričke poteškoće za anizotropni i heterogeni medij

Prednosti i mane strujne formulacije n n n Zornost prikaza tečenja Direktno i mnogo točnije računanje brzine Direktna veza s analizom pronosa (Lagrangeov pristup) Izvori ili ponori su točke singulariteta Problemi kod svih vrsta rubnih uvjeta Gube svoju općenitost kod nestacionarnih problema jer strujnice više nisu isto što i trajektorije

Rubni uvjeti i strujna mreža n n Rubni uvjet predstavlja utjecaj odbačenog dijela domene Razlikujemo kinematičke (Dirichlet), dinamičke (Neuman) i mješovite (Chauchy) rubne uvjete Rješenje problema tečenja je strujna mreža (dvije familije krivulja piezometarske visine i strujnica) Utjecaj izotropije, anizotropije i heterogenosti

Rubni uvjeti kod stacionarnog tečenja za obje formulacije

Tečenje u vodonosnicima srednje heterogenosti

Tečenje u vodonosnicima velike heterogenosti

Strujnice u složenim uvjetima tečenja

Fizikalne karakteristike tečenja u vodonosnicima s velikom heterogenosti n n n Koncentriranje glavnih tokova (“preferential flow”) Interakcija zona velike i male propusnosti Definiranje svih skala na kojima heterogenost uzrokuje promjenu strujne mreže Polje piez. visine se javlja kao filter koji prigušuje raspon prostornih skala, dok se to manje može reći za polje strujnica Rješenje velikih domena zbog utjecaja rubnih uvjeta

Numeričke karakteristike problema tečenja s velikom heterogenosti n n n Rješenje oštrih gradijenata i razvoj širokog spektra prostornih skala Traži se rješenje na velikim domenama, malim skalama i velikim brojem jednadžbi (2 -D ima O(106), a 3 -D O(109) stupnjeva slobode) Alternativna ideja je traženje rješenja na većim skalama reproducirajući efekte malih skala Problem definiranja propusnosti na većim skalama (“upscaling”) Problem točnosti, stabilnosti i pouzdanosti rezultata

Metode za rješenje problema tečenja n n n n Analitičke i semianalitičke metode stohastičkog tipa koristeći teoriju prvog reda (Andričević i Cvetković, 1998, Gelhar, 1993) Konvencionalne metode konačnih elemenata i razlika uz klasičan pristup osrednjavanja na većim skalama – “upscaling” (FEM, FVM i FD, Belin i dr, 1992) Spektralna metoda kon. elemenata (Dykaar i Kitanidis, 1992) Hibridna metoda kon. elemenata (MFEM, npr. Ackerer, 1994) Višerezolucijska metoda kon. elemenata definirana na više skala (Ms. FEM, npr. Hou i Wu, 1997) Analitička metoda elemenata (AEM, Janković, 1999, 2003, multi-indikator struktura) Wavelet-Fup bezmrežne metode (Sahimi, 1999, 2001; Gotovac, 2007, 2009)