MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES REPRESENTATION D

MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU l Tarik AL ANI l Laboratoire A 2 SI - Groupe ESIEE 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 0

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Commençons par introduire quelques définitions liées à la notion d ’état : Définition IV. 1 : On appellera état d ’un système un ensemble de variables qui, étant connues à l ’instant initial, permettent de décrire l ’évolution de ce système. Définition IV. 2 : L ’ensemble de tous les états pouvant être pris par le système s ’appelle l ’espace des phases. Définition IV. 3 : On appellera processus évoluant de manière déterministe si ses états futurs sont caractérisés par la connaissance de ses états présents et passés. Définition IV. 4 : Un processus est dit fini si son espace des phases est de dimension fini, c ’est-à-dire si son état peut être décrit au moyen d ’un nombre fini de paramètres. Définition IV. 5 : Un processus est dit régulier si son espace des phases est ouvert de Rn et si son évolution peut être caractérisée par une fonction régulière (dérivable au sens mathématique). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 1

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Le modèle d ’état est un autre alternative pour décrire un système linéaire de la forme est d ’utiliser une représentation d ’état. l Equation d ’état : Le modèle linéaire décrit par des variables d ’état est (I. 1 a) Les états décrient où l ’énergie est stockée dan le système. Par exemple, dans un schéma bloc, les états sont les sorties des intégrateurs, . Dans un circuit électrique, les états peuvent être les tensions des condensateurs et les courants des bobines. u(t) est l ’entrée de commande . 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 2

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases (suite) l Equation d ’état (suite) Le modèle d ’état (I. 1 a) est une équation différentielle du premier ordre. La différence entre cette représentation et et la représentation classique est que x(t) et u(t) sont des vecteurs, et non pas scalaires : . A est alors une matrice n x n et B est une matrice n x m. A est appelée matrice du système et B matrice de l ’entrée de commande. Si A et B sont des constantes, alors le système est système invariant dans le temps. Pour résoudre l ’équation (I. 1 a) il est nécessaire de connaître l ’entrée de commande u(t) et la condition initiale x(0) (Voir chapitre II). La définition de l ’état du système par Kalman : L ’information supplémentaire nécessaire au temps t=0 qui, avec l ’entrée u(t), spécifie la trajectoire x(t) pour t>0. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 3

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases (suite) l Equation de sortie (IV. 1 b) Cette équation décrit comment les sortie mesurées y(t), , sont obtenues à partir des états x(t) et des entrées u(t). Les sorties peuvent être choisies par le concepteur à un certain niveau, dépendant des capteurs disponibles. La matrice C est appelée matrice de sortie (r x n). La matrice D est appelée matrice d ’alimentation directe (r x m). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 4

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases (suite) Le modèle d ’état sera représenté par (A, B, C, D). C ’est une représentation matricielle convenable pour un système multivariable (MIMO) à m entrées et r sorties. Fig. IV. 1 montre un schéma bloc de ce modèle. D u(t) x(t) + B 1/s C + + y(t) + A Fig. IV. 1 Schéma bloc du modèle d ’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 5

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Tous les exemples (I. 21 -I. 25) du chapitre I, paragraphe I. 2, ont la propriété de pouvoir être décrits par des paramètres physiques qui permettent de déterminer l ’évolution future de ces systèmes. Reprenons ces exemples pour illustrer la notion d ’état. Exemple IV. 1 Oscillateur harmonique (exemple I. 21) L ’état de ce système est l ’écart à la position d ’équilibre (x) du centre de gravité de la masse. L ’évolution de x pour est entièrement déterminée par les valeurs et comme le montre l ’équation (I. 1). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 6

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases. Exemple IV. 2 Pendule (exemple I. 22) l Equation d ’état non linéaire Définissons le vecteur d ’état Alors l ’équation (I. 2) peut être mise sous la forme d ’équation d’espace d ’état non linéaire l 11/22/2020 Linéarisation : Pour trouver une équation d ’état linéaire qui est valable pour des petites valeurs de l ’angle , nous pouvons écrire alors T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 7

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 2 Pendule (exemple I. 22) (suite) l Linéarisation (suite) ou qui est l ’équation d’éspace d ’état linéaire pour des petites valeurs de . l Mesures : En mettant un potentiomètre sur le point de pivotement nous pouvons mesurer l ’angle, ainsi l ’équation de sortie est où le constant ci dépend de la technologie de potentiomètre (tension appliquée, …) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 8

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 3 Circuit RLC (exemple I. 23) l Equation d ’état linéaire Considérons le circuit RLC de la figure I. 21 et son équation dynamique (I. 4). Définissons le vecteur d ’état l 11/22/2020 Mesures : Si nous souhaitons mesurer la tension sur R 2, alors l ’équation de sortie est T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 9

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 4 Moteur à courant continu entraînant une charge (compliante ou non) (exemple I. 24) l Cas d ’une charge avec une arbre compliante Soit le vecteur d ’état , alors les équations (I. 5 b, I. 5 f et I. 5 g) peuvent être mises sous forme d ’équation d ’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 10

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 4 Moteur à courant continu entraînant une charge (compliante ou non) (exemple I. 24) (suite) l Cas d ’une charge avec une arbre non compliante (rigide) Soit le vecteur d ’état , alors les équations (I. 5 b et I. 5 i) peuvent être mises sous forme d ’équation d ’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 11

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 5 Pendule inversé (Exemple I. 25) Equation d ’état non linéaire Définissons les états de la façon suivante : Le vecteur d ’état , alors les équations (I. 7 b) peuvent être mises sous la forme non linéaire suivante 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 12

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 5 Pendule inversé (Exemple I. 25) Linéarisation Les équations (I. 7 b) sont non linéaires. Pour mettre ce système sous forme d ’un modèle linéaire à espace d ’état, il faut effectuer une linéarisation autour d ’un point d ’équilibre. Autrement dit que le modèle sera valable pour des petites valeurs de p 0 et de . Soit et alors 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 13

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 5 Pendule inversé (Exemple I. 25) (suite) Equation d ’état Définissons les états de la façon suivante : Le vecteur d ’état , alors les équations (I. 7 b) peuvent être mises sous la forme d ’un modèle à espace d ’état linéaire 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 14

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 1 Notion d ’état. Espace des phases Exemple IV. 5 Pendule inversé (Exemple I. 25) (suite) Equation d ’état (suite) Si M>>m et f=0, alors nous obtenons l ’approximation suivante 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 15

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe. IV. 2. 1 Introduction La notion de zéro d ’un système permet à la commande d ’améliorer les performance du système bouclé face à des erreurs de modèle, à des perturbations non mesurées. L ’avantage des méthodes externes, dites fréquentielles (voir chapitre III) est de permettre la définition naturelle de notions de robustesse telle que les marge de gain et de phase à partir de descriptions graphiques comme les diagrammes de Nyquist et de Bode. Notons aussi que l ’approche fréquentielle est naturellement adaptée au cas de systèmes pour lesquels il n ’est pas possible d ’obtenir un modèle mathématique satisfaisant à partir d ’équations de la physique. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 16

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable Soit la fonction de transfert suivante où sont respectivement l ’entrée et la sortie du système, à représentation d ’état équivalente définie par les équations (IV. 1 a-b). La représentation (IV. 1 a-b) est dite une réalisation de la fonction de transfert définie par l ’équation (IV. 2). L ’équivalence entre les deux représentations signifie que celles-ci engendrent une même sortie y(t) en réponse à une même entrée u(t) et des conditions initiales nulles. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 17

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie Dans ce cas bi=0; i=1, …, m. A conditions initiales nulles, l ’équation (IV. 2) peut se réécrire sous la forme : On prendra comme variables d ’état la sortie et ses (n-1) dérivées successives : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 18

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie (suite) Les équations d ’état sont alors (IV. 4 a) L ’équation de sortie est (IV. 4 b) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 19

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie (suite) En posant les équations (IV. 4 a-b) peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 20

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie (suite) Exemple IV. 6 Considérons l ’exemple du moteur à courant continu entraînant une charge à travers un réducteur (exemple III. 11). Son comportement est décrit par la fonction de transfert 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 21

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie (suite) Exemple IV. 6 (suite) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 22

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas où les dérivées de l ’entrée n ’affectent pas la sortie (suite) Exemple IV. 6 (suite) L ’équation différentielle de ce système est alors Le modèle d ’état de ce système est 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 23

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas de coefficients bi quelconques Dans ce cas, à conditions initiales nulles, l ’équation (IV. 2) peut se réécrire sous la forme : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 24

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) Cas de coefficients bi quelconques - cas (suite) Les variables d ’état seront définies comme suit : l 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 25

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas de coefficients bi quelconques - cas (suite) En posant les équations (IV. 6 b-d) nous permettent d ’écrire 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 26

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas de coefficients bi quelconques - cas (suite) + Fig. IV. 2 Schéma bloc du modèle d ’état u(t) 11/22/2020 + + + + xn-1 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE x 2 + y(t) + x 1 + 27

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) l Cas de coefficients bi quelconques - cas (suite) Exemple IV. 7 Soit la fonction de transfert : On désire lui trouver une représentation équivalente sous forme d ’état. Alors a 3=1, a 2 =5, a 1 =1, a 0=2, bl =0 pour tout l>2, b 1 =1 et b 0 =2. A partir de l ’équation (IV. 6 d), nous obtenons 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 28

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 2 Relation entre la représentation par équations d ’état et la représentation externe (suite) IV. 2. 2 Passage de la représentation de sortie à la représentation d ’état - cas mono-variable (suite) Remarques l A la lumière des exemples (IV. 6) et (IV. 7), nous remarquons que les variables d ’état ne sont pas toujours des grandeurs mesurables directement. Dans ces exemples, uniquement x 1 est directement (à un coefficient près). l Il existe plusieurs formes d ’équation d ’état qui peuvent être obtenues à partir des fonctions de transfert. Parmi ces formes, les formes canonique de commandabilité (forme compagne pour la commande) et les formes canoniques de l’observabilité (forme compagne pour l ’observation). Ces formes seront détaillées plus loin. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 29

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état Après la mise en équation d ’état d ’un système dynamique, il faut résoudre cette équation. l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe Considérons le système d ’état décrit par les équations (IV. 1 a-b) en supposant que les matrices A, B et C sont constantes. En effectuant la transformée de Laplace des deuc côté de l ’équation (I. 1 a), nous obtenons 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 30

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Soit I la matrice identité n x n, nous pouvons écrire 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 31

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Maintenant l ’équation de la sortie (I. 1 b) s ’écrit La matrice est appelée matrice fondamentale « resolvent matrix » . Alors la solution dans le domaine frequentielle est 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 32

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Les équations (IV. 9 a-b) , chacune consiste de deux parties : un partie qui dépend des conditions initiales x(0)=x 0 (solution libre « zero-input response » , u(t)=0) et une (la solution forcée « zero (initial)-state response » ) qui dépend de l ’entrée de commande u(t). La fonction de transfert d ’un système est définie par Y(p)=H(p)U(p), quand x 0=0 (IV. 10) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 33

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) alors les équations (IV. 9 b-c) et (IV. 10) nous permettent de calculer H(p) étant donné le système (A, B, C, D) La sortie du système pour des conditions initiales non nulles est calculée par (IV. 9 b) Les deux expressions (IV. 11 -12) sont aussi valables pour un système linéaire multi-variable. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 34

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) La matrice fondamentale est donnée par 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 35

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Les racines de l ’équation caractéristique sont les pôles du système multi-variables (A, B, C, D). L ’ordre d ’un système linéaire, qui est l ’ordre de son équation caractéristique, est égal à la dimension de son éspace d ’état Rn. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 36

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Les zéros d ’un système multi-variable Les zéros du système multi-variable ne sont pas simple à définir, puisque H(p) est une matrice de polynômes d ’ordre r x m. Les zéros des éléments individuels ne signifie pas beaucoup de choses de point de vue de la commande multi-variable. Si r=m tel que H(p) est une matrice carrée, nous pouvons définir les zéros comme les racines de l ’équation de polynômes (IV. 16) Si les zéros se produisent quand H(p) perd son rang. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 37

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Système propre et système strictement propre Les termes de la matrice adj(p. I-A) sont les mineurs d ’ordre (n-1) de la matrice (p. I -A). Ces mineurs sont tous des polynômes de degré inférieur ou égal à (n-1). Alors On dit alors que le système en question est propre (m=n, pour une fonction de transfert définie par l ’équation IV. 2) si D 0. Si D=0 le système est dit strictement propre (m<n, pour une fonction de transfert définie par l ’équation IV. 2). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 38

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Système propre et système strictement propre (suite) Si le système est non propre (physiquement irréalisable) (m>n pour une fonction de transfert définie par l ’équation IV. 2). En pratique, la plupart des systèmes physiques sont strictement propres (D=0). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 39

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Exemple IV. 8 Système multi-variable à deux entrées u 1 et u 2 et deux sorties y 1 et y 2 décrit par : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 40

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Exemple IV. 8 (suite) Définissons comme variables d ’état Alors, le système peut être décrit par la représentation d ’état suivante : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 41

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Exemple IV. 8 (suite) Calculons maintenant H(p) : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 42

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Pluralité de la représentation d ’état Soit un système décrit par une représentation d ’état (équations IV. 1 a-b) Soit Q une matrice régulière quelconque. La transformation linéaire z(t)=Qx(t) définit un changement de base dans l ’espace d ’état Rn. La nouvelle base étant constituée par les vecteurs colonnes de Q-1 : x(t)= Q-1 z(t). Dans ce cas les équations IV. 1 a-b deviennent 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 43

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Pluralité de la représentation d ’état (suite) Les deux représentations (IV. 18 a-b) et (IV 1 a-b) sont équivalentes en un sens que pour un même signal d ’entrée u(t) et pour les mêmes conditions initiales (x(t 0)=Qz(t 0)) elles engendrent un même signal de sortie y(t). Seul la trajectoire du vecteur d ’état change d ’une représentation à une autre. Ainsi un système linéaire possède une infinité de représentations d ’état équivalentes (autant de représentations que de matrices régulières. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 44

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Pluralité de la représentation d ’état (suite) Un système linéaire possède par contre une fonction de transfert unique. En effet en appliquant l ’équation (IV. 11) à la représentation (IV. 18 a-c) nous obtenons la fonction de transfert de cette représentation : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 45

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine fréquentielle -Passage d ’une représentation d ’état à une représentation externe (suite) Pluralité de la représentation d ’état (suite) L ’unicité de la fonction de transfert impliquent celle de ces grandeurs caractéristiques. Plus particulièrement, on peut affirmer que l ’ordre, les pôles et les zéros d ’un système linéaire sont des invariants de celui-ci, ils ne varient pas à la suite d ’un changement de base de l’espace d ’état. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 46

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel Cas des systèmes autonomes (libres) - Notion de matrice de transition Définition Soit un système linéaire décrit par un modèle d ’état (IV. 1 a-b). Un système est dit autonome (ou libre) quand le signal d ’entrée u(t) est identiquement nul. Ainsi, un système possède une équation d ’état homogène : L ’exponentielle d ’une matrice A doit satisfaire la série de convergence 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 47

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes autonomes - Notion de matrice de transition (suite) Propriétés de la matrice de transition Un nombre important de propriétés de l ’exponentielle matricielle sont partagées avec les propriétés de l ’exponentielle scalaire : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 48

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes autonomes - Notion de matrice de transition (suite) Propriétés de la matrice de transition (suite) Attention A l ’opposé au cas scalaire (a. b=b. a), les multiplications des matrices n ’est pas commutative. Par conséquent 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 49

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes forcés Effectuons la transformée inverse de Laplace de l ’équation (IV. 9 a) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 50

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes forcés (suite) Maintenant, l ’équation de sortie (IV. 9 b) nous permet de trouver la solution de la sortie mesurée 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 51

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes forcés (suite) 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 52

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Stabilité interne et externe Comme nous l ’avons vu au chapitre III, la stabilité du système est déterminée par les modes propres définis par les pôles de la fonction de transfert H(p). Ainsi l ’analyse da la stabilité interne et/ou externe reste valable. Les pôles du système sont déterminé par l ’équation de polynôme caractéristique (IV. 15 ). 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 53

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes forcés (suite) Exemple IV. 9 Déterminer la réponse à un échelon unité du système linéaire décrit par les équations d ’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 54

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Solution dans le domaine temporel (suite) Cas des systèmes forcés (suite) Exemple IV. 9 Déterminer la réponse à un échelon unité du système linéaire décrit par les équations d ’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 55

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état et stabilité Exemples Exemple IV. 10 Système obéissant à la loi de Newton du mouvement F=ma. Définissons l ’équation d’état 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 56

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 10 (suite) a. Matrice de transition b. Pôles du système Le polynôme caractéristique est Le système possède alors deux pôles à l ’origine et il est instable. Etant donné une vitesse initiale v(0), la position d(t) sera linéairement augmentée selon une fonction rampe. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 57

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 10 (suite) c. Fonction de transfert d. Matrice de transition d ’état Cette équation montre que (ou e. At ) est toujours une combinaison linéaire des modes naturels de A. Le premier terme correspond au mode naturel avec un pôle à l ’origine, provenant de l ’échelon unité. Le second terme correspond au mode naturel avec deux pôles à l ’origine est la rampe unité. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 58

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 10 (suite) e. Réponse impulsionnelle 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 59

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 10 (suite) f. Solution de l ’équation d ’état Supposons que le vecteur d ’état initial est donné par et l ’entrée est une accélération constante a. Alors en utilisant (IV. 19) L ’entrée u(t) possède une valeur constante a appliquée à t=0, tel que 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 60

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 10 (suite) f. Solution de l ’équation d ’état (suite) Ce sont les lois du mouvement sous une accélération constante. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 61

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état et stabilité -Exemples Exemple IV. 11 Oscillateur harmonique amorti Soit le système Remarque : Ce modèle est le même que celui du pendule (Exemple IV. 1) si 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 62

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 11 (suite) a. Pôles du système Le polynôme caractéristique est Le système est un oscillateur harmonique amorti avec une fréquence propre , fréquence d ’oscillation et un taux d ’amortissement 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 63

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 11 (suite) b. Matrice de transition 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 64

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 11 (suite) c. Fonction de transfert d. Matrice de transition d ’état Cette équation montre que (ou e. At ) est toujours une combinaison linéaire des modes naturels de A. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 65

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 11 (suite) e. Réponse impulsionnelle h(t) t Fig. IV. 3 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 66

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples Exemple IV. 11 (suite) f. Solution de l ’équation d ’état ( sortie du système) Supposons que l ’entrée u(t) est et En utilisant nous obtenons 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 67

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) l Simulation de la solution de l ’équation d ’état par ordinateur Nous venons de voir comment résoudre analytiquement les équations d ’état d ’un système continu. Il est important de simuler ses système par un ordinateur numérique pour obtenir les réponses temporel de leurs trajectoires. Il est simple de simuler n ’importe quel système formulé sous forme d ’état (forme linéaire ou non linéaire, stationnaire ou non stationnaire) : 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 68

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite)-Exemples l Simulation de la solution de l ’équation d ’état par ordinateur (suite) Les logiciels de simulation (Scilab, Matlab, …)possèdent une fonction F recevant (x(t), u(t), t) comme arguments d ’entrée et la dérivée de x comme sortie. Un algorithme d ’intégration permettent ainsi d ’intégrer numériquement la dynamique décrite par l ’équation (IV. 26) pour obtenir des tracés des trajectoires du système. L ’argument t est introduit uniquement dans le cas d ’un système non stationnaire. En utilisant cette fonction, l ’algorithme d ’intégration (Runge-Kutta, par exemple). calcul le nouveau état et la nouvelle sortie à t+Ts, où Ts est le pas d ’intégration. L ’algorithme d ’intégration de Rung-Kutta, par exemple, fait appel quatre fois à la fonction F pendant une période d ’intégration Ts. Pendant cette période, u(t) devrait être maintenu constant. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 69

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 3 Solution d ’une équation d ’état (suite) Simulation de la solution de l ’équation d ’état par ordinateur (suite) Exemple IV. 12 Les équations d ’un oscillateur de van der Pol sont l 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 70

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 4 Calcul de la matrice de transition L ’expression (IV. 23 a) du vecteur d ’état nécessite le calcul de la matrice de transition. A cette fin on dispose d ’un ensemble de méthodes d ’application plus ou moins générale. Dans ce paragraphe, nous donnons quelques unes. 1. Méthode par diagonalisation de la matrice d ’état Définissons la valeur propre d ’une matrice carrée A comme les valeurs pour lesquelles la matrice caractéristique sont les pôles du système possédant A comme matrice du système. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 71

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 4 Calcul de la matrice de transition (suite) Puisque les matrices sont singulières par définition de , nous pouvons maintenant trouver des vecteurs dans leurs espaces nuls, tel que ou Cette relation signifie que les vecteurs sont privilégiés en un sens qu’ils ne sont pas tournés par A, mais ils sont uniquement étalonnés par le facteur (tous les vecteurs qui ne sont pas dans la même direction que seront ainsi tournés dans la direction de . 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 72

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 4 Calcul de la matrice de transition (suite) Le vecteur est appelé vecteur propre associé à . Il existe n valeurs propres. Supposons qu ’il existe n vecteurs propres, l ’équation (IV. 28) permet alors d ’écrire Définissons la matrice modale et la matrice diagonale 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 73

REPRESENTATION D ’ETAT SYSTEMES LINEAIRE A TEMPS CONTINU IV. 4 Calcul de la matrice de transition (suite) Alors Si les vecteurs propres sont linéairement indépendants, alors M est une matrice non singulière, ainsi La transformation de l ’espace d ’état convertie la matrice A à une forme particulière qui est diagonale dont les composantes sont les valeurs propres de A. 11/22/2020 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 74