Une introduction aux systmes linaires positifs C Commault

Une introduction aux systèmes linéaires positifs C. Commault Laboratoire d’Automatique de Grenoble FRANCE Systèmes linéaires positifs

• • • C’est quoi ? Des exemples Des difficultés nouvelles Caractérisation Les points de vue état et entrée-sortie L’atteignabilité Systèmes linéaires positifs 2

• Un système qui à une entrée positive associe une sortie positive • Une représentation d’état avec les mêmes conditions + état positif si état initial positif Systèmes linéaires positifs 3

• Des systèmes à variables physiques positives par nature (niveaux, débits, concentrations, …). Exemple : problèmes de bacs. • Modèles à compartiments : applications en médecine, cinétique chimique, … • Modèles économiques (Leontieff, …) • Modèles de dynamiques de population. • …. . Systèmes linéaires positifs 4

u 2 Variables naturellement positives x 1 u 2 x 2 y 1 Systèmes linéaires positifs x 3 y 2 5

x 1 x 3 Systèmes linéaires positifs x 2 x 4 xi = quantité de produit dans le compartiment i 6

2 1 pi = probabilité que le système soit dans l’état i 3 4 6 5 Systèmes linéaires positifs 7

2 1 xi = valeur de la variable au noeud i 3 4 6 5 Systèmes linéaires positifs 8

xi = quantité fabriquée d’un produit i bi = consommation du produit i aij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i A et b positives Systèmes linéaires positifs 9

• Commandabilité = rang [B, AB, …, An-1 B] = n • Commandable → stabilisable • Fonction de transfert avec dénominateur de degré n → réalisation d’ordre n • En multivariable idem avec degré de Mc. Millan • Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, … • Résultats très similaires en continu et en discret • Vérification de propriétés par des méthodes d’algèbre linéaire (Matlab) Plus rien ne marche avec les systèmes positifs ! Systèmes linéaires positifs 10

Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas 2 x 2 1 A partir du pas 3 : 0 x 1 1 Systèmes linéaires positifs 11

Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas k x 2 2 1 Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1 x 1 1 Systèmes linéaires positifs 12

Stabilisation par retour d’état Pour la stabilisation et la rapidité, Le mieux est de ne rien faire ! Systèmes linéaires positifs 13

Cas discret Condition nécessaire et suffisante Systèmes linéaires positifs 14

Cas continu Condition nécessaire et suffisante Systèmes linéaires positifs 15

x 3 En fait condition équivalente à : x 2 x 1 Systèmes linéaires positifs 16

Définition : Pour toute entrée ≥ 0, sortie ≥ 0 Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret) Réponse impulsionnelle ≥ 0 Systèmes linéaires positifs 17

Par définition Positif état Positif entrée-sortie Pas gagné Positif entrée-sortie Il existe une réalisation positive Condition nécessaire et suffisante (en continu) [O’Cinneide, Farina] • La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0 • Le pôle dominant est unique et réel Systèmes linéaires positifs 18

Problème encore très largement ouvert Avis aux amateurs ! Référence avec des tas d’exemples : A tutorial on the positive realization problem L. Benvenutti, L. Farina IEEE TAC, 04 Systèmes linéaires positifs 19

1) Les valeurs propres d’une matrice « positive » d’ordre n ne peuvent pas être n’importe où Im p/3 Exemple : ordre 3 Re Valeur propre dominante 2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant Constat affligeant : On ne sait même pas résoudre complètement à l’ordre 3 ! Systèmes linéaires positifs 20

Propriétés : De plus : Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n. Systèmes linéaires positifs 21

• Egal à R+n : système positivement atteignable • Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs • A fermeture polyédrale : voir exemple • En « cornet de glace » x 3 x 2 x 1 Systèmes linéaires positifs 22

Propriété (Fanti et al, 90) : Si le système est positivement atteignable alors il est positivement atteignable en n pas. Systèmes linéaires positifs 23

Définitions : • vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles. • matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales et indépendantes Propriétés : • une matrice monomiale M s’écrit M = D. P, où P est une matrice de permutation et D une matrice diagonale strictement positive. • les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse positive. Systèmes linéaires positifs 24

Observation : Il faut et il suffit qu’on trouve une solution pour les vecteurs de base. On peut extraire de R une sous-matrice monomiale. Systèmes linéaires positifs 25

R est une matrice monomiale. Systèmes linéaires positifs 26

Après mise en ordre des états Observation 1: Il y peu de chances que ça arrive ! u x 1 x 2 Systèmes linéaires positifs xn-1 xn Observation 2: Propriété structurelle ! 27

Buisson mort Tiges simples x u Tiges avec bouton Systèmes linéaires positifs 28

La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état. Systèmes linéaires positifs 29

• Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, 2000. • Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J. A. Jacquez, Univ. Mich. , 1985. • Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome), 2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer. • Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems, Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont. , 1984. • Characterization of phase-type distributions C. A. O’Cinneide, Stochastic Models, 1990. • On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems, C. Commault, M. Alamir, SCL 2007. • Phase-type distributions and representations: some open problems for system theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003. Systèmes linéaires positifs 30

Ø Un domaine de recherche avec de nombreux domaines d’application, parfois exotiques. Ø Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …) Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt ! Systèmes linéaires positifs 31