Comment trouver le nombre chromatique dun graphe Nombre

Comment trouver le nombre chromatique d’un graphe ? Nombre minimum de couleurs Nombre maximum de couleurs Algorithme de coloration

Le nombre chromatique d’un graphe : c’est le nombre minimal de couleurs qu’il faut pour colorier le graphe afin que deux sommets adjacents ne soient jamais de la même couleur c b d a e g f

Le nombre chromatique d’un graphe : c’est le nombre minimal de couleurs qu’il faut pour colorier le graphe afin que deux sommets adjacents ne soient jamais de la même couleur c b Exemple de coloration d’un graphe avec 3 couleurs. d a e g f

Quelques remarques simples : • Puisqu’il y a un nombre fini de sommets, il existe toujours un plus petit nombre de couleurs. Le problème admet toujours une solution. • Il n’y a pas forcément unicité du « coloriage minimum » • Le nombre minimum de couleurs n’est pas tant lié au nombre de sommets qu’au nombre d’arêtes, et à la complexité du graphe.

Il n’y a pas forcément unicité du « coloriage minimum » Pour ce graphe, on peut trouver deux coloriages différents avec à chaque fois 3 couleurs. c c b b a a d e

Critère du nombre minimum de couleurs • Le nombre minimum de couleurs n’est pas tant lié au nombre de sommets qu’au nombre d’arêtes, et à la complexité du graphe. Sur cet exemple, 2 graphes ont le même nombre de sommets mais ils n’ont pas le même nombre chromatique c c b b a a d e

Question…

Comment trouver le nombre chromatique d’un graphe ? associé à ce problème, voici 3 problématiques importantes : • Critère du nombre minimum de couleurs. • Critère du nombre maximum de couleurs. • Existe-t-il un algorithme de coloration ?

Critère du nombre minimum de couleurs • S’il existe un sous-graphe complet à n sommets alors il faudra au moins n couleurs. Nbre Chromatique ≥ 3 Nbre Chromatique ≥ 4 c c b b a a d e

Critère du nombre minimum de couleurs • S’il existe un sous-graphe complet à n sommets alors il faudra au moins n couleurs. • LA METHODE : TROUVER LE PLUS GRAND SOUS-GRAPHE COMPLET. c b d a e g f

Critère du nombre minimum de couleurs • S’il existe un sous-graphe complet à n sommets alors il faudra au moins n couleurs. • LA METHODE : TROUVER LE PLUS GRAND SOUS-GRAPHE COMPLET. c b d a Le plus grand sous-graphe complet a 3 sommets e g f

PREMIER Critère du nombre maximum de couleurs • Si on trouve un coloriage possible d’un graphe avec N couleurs, alors le nombre chromatique est nécessairement inférieur ou égal à N. Nbre Chromatique ≤ 3 c Nbre Chromatique ≤ 4 b c b a a d e

SECOND Critère du nombre maximum de couleurs • Si le sommet de plus haut degré est r, alors le nombre chromatique est nécessairement inférieur ou égal à (r+1). Le plus grand des degrés est de degré 3 donc Nbre Chromatique ≤ 4 c Le plus grand des degrés est de degré 4 donc Nbre Chromatique ≤ 5 c b b a a d e

Si le sommet de plus haut degré est r, alors le nombre chromatique est nécessairement inférieur ou égal à (r+1). • Démonstration : il suffit de démontrer qu’avec (r+1) couleurs on arrive à colorier le graphe. (cela se fait sommet par sommet) • Cela prouvera que (r+1) couleurs suffisent. • Donc que le nombre chromatique est inférieur ou égal à ce nombre.

Si le sommet de plus haut degré est r, alors le nombre chromatique est nécessairement inférieur ou égal à (r+1). • Démonstration : il suffit de démontrer qu’avec (r+1) couleurs on arrive à colorier le graphe. Supposons que nous ayons une palette garnie de (r+1) couleurs. Pour chaque sommet du graphe on peut tenir le raisonnement suivant : ce sommet n’est pas adjacent à plus de r sommets et le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces sommets est donc inférieur ou égal à r. Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans la palette, avec laquelle nous pouvons colorer notre sommet. • Cela prouvera que (r+1) couleurs suffisent. • Donc que le nombre chromatique est inférieur ou égal à ce nombre.

Existe-t-il un algorithme de coloration ? • Bien que le nombre chromatique existe, il n’existe pas d’algorithme qui donne forcément ce nombre…d’où l’utilité de ce qui précède : on a ainsi un encadrement du nombre recherché. • Il existe un algorithme de coloration qui permet de donner une coloration possible, mais pas forcément la meilleure !

Algorithme de coloration de Welch et Powell : • • Cet algorithme couramment utilisé permet d’obtenir une assez bonne coloration d’un graphe, c’est à dire une coloration n’utilisant pas un trop grand nombre de couleurs. Cependant il n’assure pas que le nombre de couleurs utilisé soit minimum (et donc égal au nombre chromatique du graphe). Etape 1 : préliminaires Classer les sommets du graphe dans l’ordre décroissant de leur degré, et attribuer à chacun des sommets son numéro d’ordre dans la liste obtenue. On obtient une liste ordonnée de sommets X 1, X 2, . . Xn tels que degré (X 1) ≥ degré (X 2) ≥ … ≥ degré (Xn). Etape 2 : coloration En parcourant la liste dans l’ordre décroissant, attribuer une couleur non encore utilisée au premier sommet non encore coloré, et attribuer cette même couleur à chaque sommet non encore coloré et non adjacent à un sommet de cette couleur. Etape 3 : test et boucle S’il reste de sommets non colorés dans le graphe, revenir à l’étape 2. Sinon, la coloration est terminée.

Exemple 1 : utilisation de l’algorithme degré 4 a sommet 3 b 3 d 3 e 2 c 2 g 1 f c b Étape 2 : On commence donc par a puis on colorie dans la même couleur les sommets non adjacents à a : d a e g f

Exemple 1 degré 4 a sommet 3 b 3 d 3 e 2 c 2 g 1 f c b Étape 2 : On commence donc par a puis on colorie dans la même couleur les sommets non adjacents à a : c et f. d a e g f

Comme il reste des sommets non coloriés, on recommence l’étape 2 degré 4 a sommet 3 b 3 d 3 e 2 c 2 g 1 f c b d a Étape 2 : On continue donc par b e puis on colorie dans la même couleur les sommets non adjacents à b : g f

Comme il reste des sommets non coloriés, on recommence l’étape 2 degré 4 a sommet 3 b 3 d 3 e 2 c 2 g 1 f c b d a Étape 2 : On continue donc par b e puis on colorie dans la même couleur les sommets non adjacents à b : e. g f

Comme il reste des sommets non coloriés, on recommence l’étape 2 degré 4 a sommet 3 b 3 d 3 e 2 c 2 g 1 f c b d a Étape 2 : On continue donc par d et g e g f Et c’est fini !

Conclusion de l’algorithme : On a trouvé UNE coloration possible avec 3 couleurs. Le nombre chromatique est donc inférieur ou égal à 3. c b d a e g f

Exemple 1 : CONCLUSION Il faut au moins 3 couleurs, et 3 suffisent (cf dessin) c donc le nombre chromatique est exactement 3 b d a e g f

Conclusion de l’exposé : • Puisqu’il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre chromatique et un exemple de coloration minimum, on est obligé de cher un encadrement du nombre chromatique • Nombre minimum • Nombre maximum • On cherche alors UNE coloration possible, et on essaye de conclure

Exemple complet 1 : c Il existe un sous-graphe complet d’ordre 3 Donc il faut au moins 3 couleurs b d a e g f

Exemple complet : c Le plus haut degré est 4 (a) donc il ne faut pas plus de 5 couleurs b d a e g f

Exemple complet : • Conclusion : 3 ≤ Nbre chromatique ≤ 5

Exemple complet : On trouve (il existe) un coloriage avec seulement 3 couleurs donc le nombre chromatique est EXACTEMENT 3 c b d a e g f

Exemple complet : • Conclusion : Nbre chromatique = 3

Contre-exemple : • Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre chromatique h b c a Si on applique la méthode de coloration précédente… d f g e

Contre-exemple : • Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre chromatique h b c a d f g e

Contre-exemple : • Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre chromatique h b L’algorithme propose donc une solution en 3 couleurs alors que 2 suffisent… c a d f g e

Contre-exemple : • Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre chromatique h b c a en fait… 2 couleurs suffisent d f g e

Moralité : • Il faut définir : le nombre minimum de couleurs le nombre maximum de couleurs essayer un algorithme de coloration puis essayer de conclure.

Exemple complet 2 : h b c a d f g e

Exemple complet 2 : Minimum 4 couleurs car il existe un sous-graphe complet d’ordre 4 h b c a d f g e

Exemple complet 2 : Maximum 5 couleurs car le plus haut degré des sommets est 4 (par exemple c) h b c a d f g e

Exemple 2 : algorithme de coloration degré 4 b sommet 4 c 4 e 3 d h b c a d f g e 3 f 2 a 1 g 1 h

Exemple 2 : degré 4 b sommet 4 c 4 e 3 d h b c a d f g e 3 f 2 a 1 g 1 h

Exemple 2 : CONCLUSION Il faut au moins 4 couleurs, et 4 suffisent (cf dessin) h b donc le nombre chromatique est exactement 4 c a d f g e

Exemple 3 : à vous de jouer… h b c a d f g e

Solution : le nombre chromatique est trois g f e a d b c h Exemple 3 : à vous de jouer…

Exemple 4 : à vous de jouer… h i l b c a j d k f g e

Solution : le nombre chromatique est quatre g f e k a d b j c l i h Exemple 4 : à vous de jouer…

Solution : le nombre chromatique est quatre