MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES II Equations

MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES II. Equations Différentielles des systèmes linéaires l Tarik AL ANI l Laboratoire A 2 SI - Groupe ESIEE 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 0

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 1 Equations différentielles partielles et Ordinaires Une propriété commune à toutes lois fondamentales de la physique est que certaines quantités peuvent être définies par des valeurs numériques. Les lois physiques définies des relations entre ces quantités fondamentales et qui sont représentées habituellement par des équations. Une des classes de ces équations sont les équations différentielles. Définition II. 1: Une équation différentielle est n ’importe qu’elle égalité algébrique qui incluse des dérivées. Exemple II. 1 a Oscillateur harmonique de l ’exemple I. 21 12/29/2021 C ’est une équation différentielle linéaire à coefficients constants T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 1

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 1 Equations différentielles partielles et Ordinaires (suite) Définition II. 2: Une Equation Différentielle Partielle (EDP) est une égalité incluant un ou plusieurs variables dépendantes ou un ou plusieurs variables indépendantes toutes avec des dérivées partielles des variables dépendantes par rapport aux variables indépendantes. Exemple II. 1 b Equation de diffusion d ’une certaine quantité dans un corps 12/29/2021 est la variable dépendante qui représente la concentration d ’une certaine quantité à un certain indépendante variable (temps t) et à un certaine variable indépendante ( position du corps x) T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 2

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 1 Equations différentielles partielles et Ordinaires (suite) Définition II. 3: Une Equation Différentielle Ordinaire (totale) (EDO) est une égalité incluant une ou plusieurs variables dépendantes, une variable indépendante et une ou plusieurs dérivées de la variable dépendante toutes avec des dérivées partielles des variables dépendantes par rapport à la variable indépendante. Exemple II. 2 où 12/29/2021 , i=0, 1, …, n sont des constants. y(t) et x(t) sont des variables dépendantes et t est une variable indépendante T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 3

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 2 Equations différentielles non stationnaires et stationnaires Définition II. 4: Une EDP ou une EDO non stationnaire (ou variable dans le temps) est une équation différentielle dans laquelle un ou plusieurs termes dépend explicitement de la variable indépendante t. Définition II. 5: Une EDP ou une EDO stationnaire (ou constante dans le temps) est une équation différentielle dans laquelle aucun terme dépend explicitement de la variable indépendante t. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 4

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 2 Equations différentielles non stationnaires et stationnaires (suite) Exemple II. 3 sont des coefficients. Si tous ces coefficients sont des constants, alors cette EDO est une EDO stationnaire. Si une tous ou partie de ces coefficient est dépendant de t, alors cette EDO est une EDO non stationnaire 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 5

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 3 Equations différentielles linéaires et non linéaires Définissons d ’abord que veut dire un terme d ’une équation différentielle. Définition II. 6: Un terme d ’une équation différentielle consiste des produits et des quotients des fonctions explicites de la variable indépendante t, et des fonctions des variables dépendantes et leurs dérivées. Définition II. 7: Un terme linéaire est une fonction de premier ordre des variables dépendantes et leurs dérivées. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 6

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 3 Equations différentielles linéaires et non linéaires (suite) Définition II. 8: Une EDP ou une EDO linéaire est une équation différentielle constituée de sommes des termes linéaires. Définition II. 9: Une EDP ou EDO non linéaire est une équation différentielle contenant des termes fonction en puissance, produits, ou transcendantales de variables dépendantes. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 7

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 3 Equations différentielles linéaires et non linéaires (suite) Exemple II. 4 Equation de diffusion dans un corps Les termes Exemple II. 5 sot de premier ordre sont des coefficients ou des fonctions dépendants du temps t 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 8

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 4 Notion de linéarité et superposition Définition II. 10: Un système linéaire possède les propriétés suivantes: – Une entrée produit une sortie – Une entrée tous les couples d ’entrées constants. et , et pour et tous les couples de Les systèmes linéaires sont souvent représentés par des équations différentielles linéaires. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 9

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 4 Notion de linéarité et superposition (suite) Définition II. 11 Principe de superposition: La réponse d ’un système linéaire correspondant à plusieurs entrées agissants simultanément est égale à la somme des réponses pour chaque entrée agissant seule: 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 10

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 4 Notion de linéarité et superposition (suite) Définition II. 12 Un système est linéaire si sa relation entrée-sortie peut convolution: être décrit par l ’intégral x( Fig. II. 1 de y(t) ) t est une fonction représentant les propriétés physique du système appelée fonction de pondération. . 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 11

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 5 Causalité et systèmes physiquement réalisables Définition II. 13 Un système dans lequel le temps est une variable indépendante est dit causal si sa sortie dépend uniquement des valeurs de présent et celles de passé de la sortie. Autrement dit, la sortie y(t) dépend uniquement de l ’entrée. Cette définition implique qu’un système physique causal ne peut pas anticiper le future de ses entrées. Définition II. 14 Un système est dit physiquement 12/29/2021 réalisable s ’il est causal. Dans ce cas =0, les valeurs futures des entrées sont pondérées à zéro. T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE i. e. 12

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi linéaires Dans la réalité, aucun système physique peut être décrit exactement par une équation différentielle linéaire stationnaire. Cependant, beaucoup de systèmes peuvent être représentés sur une plage limitée de fonctionnement, ou par une approximation linéaire. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 13

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi linéaires (suite) Exemple II. 6 Considérons l ’oscillateur harmonique décrit en exemple I. 1. Si la force du ressort est une fonction non linéaire x, Fig. II. 2 a Dans ce cas l ’équation du mouvement (I. 1) est valable uniquement dans la plage kx 0 de linéarité [-x 0, +x 0 ]. i. e. le -x 0 déplacement x ne doit pas dépasser la valeur x 0. Fig. II. 2 a 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE x 0 x -kx 0 14

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi linéaires (suite) Exemple II. 7 Considérons de nouveau l ’oscillateur harmonique décrit en exemple I. 1. Supposons maintenant que le déplacement x dépasse la valeur x 0. Dans ce cas pour appliquer l ’équation du F 1 mouvement (I. 1), une approximation de -x 1 x 0 la courbe en fig. II. 1 par trois lignes x 0 x 1 droites est effectuée, Fig. II. 2 b. -F 1 Dans ce cas, le système d ’origine est représenté Fig. II. 2 b par un autre système quasi linéaire: – le système est décrit par l ’équation (I. 1)dans la plage de linéarité [x 0, +x 0 ] avec =kx et – le système est décrit par pour 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 15

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi linéaires (suite) Exemple II. 8 Considérons le pendule décrit en exemple I. 2. Si on s ’intéresse à des petits mouvements du pendule autour du point de fonctionnement , alors l ’équation du mouvement peut alors être linéarisée autour de ce point. Ceci peut être effectué en formant un développement par série de Taylor du terme non linéaire autour de point en gardant uniquement les premiers termes de premier degrée. L ’équation non linéaire est 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 16

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 6 Systèmes linéarisés et systèmes quasi linéaires (suite) Exemple II. 8 (suite) L ’équation linéaire est alors qui est valide pour des petites variation en 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE . 17

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 7 L ’Opérateur Différentiel (D) et l ’Equation Caractéristique Considérons l ’équation différentielle d ’ordre n 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 18

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 7 L ’Opérateur Différentiel (D) et l ’Equation Caractéristique Définition II. 15 D= est appelé l’Opérateur Différentiel d ’ordre n, n=1, 2, . . . Définition II. 16 Le polynôme en D suivant est appelé polynôme caractéristique. Définition II. 17 L ’équation en D suivante est appelée polynôme caractéristique. Cette équation possède n solutions D=D 1, D=D 2, …, D=Dn. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 19

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental Définition II. 18 Un ensemble de n fonctions de temps est dit linéairement indépendantes si l ’ensemble unique des constants pour lesquelles sont les constants. Exemple II. 9 Les fonctions t et t 2 sont linéairement indépendantes puisque c 1 t+c 2 t 2 =t(c 1 + c 2 t)=0 implique c 1 / c 2 = - t. Des constants qui permettent de satisfaire cette relation n ’existent pas. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 20

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental (suite) Définition II. 19 Une équation différentielle linéaire homogène d ’ordre n de la forme possède au moins un ensemble de n solutions linéairement indépendantes. Un ensemble quelconque parmi ces ensembles est dit ensemble fondamental. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 21

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental (suite) Propriétés : – cet ensemble n ’est pas unique, – A partir d ’un ensemble fondamental donné, autres ensembles fondamentales peuvent être générés par la méthode suivante : Soit un ensemble fondamental pour une équation différentielle d ’ordre n. Alors un ensemble de n fonctions peut être formé : est un ensemble de n 2 constants. Chaque est une solution de l ’équation différentielle. Cet ensemble de n solutions est un ensemble fondamental si 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 22

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental (suite) Exemple II. 10 Reprenons l ’équation du mouvement de l ’oscillateur harmonique (Exemple I. 1) Cette équation différentielle d ’ordre 2 possède un ensemble fondamental un deuxième ensemble fondamental est 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 23

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental (suite) Définition II. 20 En général, si l ’équation caractéristique possède des racines distinctes , alors l ’ensemble fondamental de l ’équation homogène est l ’ensemble des fonctions. Exemple II. 11 L ’équation différentielle possède l ’équation caractéristique D 2+3 D+2=0, ses racines sont D= D 1 = -1 et D= D 2 = -2. L ’ensemble fondamental de cette équation est 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 24

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 8 Indépendance linéaire et ensemble fondamental (suite) Définition II. 21 Si l ’équation caractéristique possède des racines répétées, alors pour chaque racine Di de multiplicité ni , il existe ni éléments de l ’ensemble fondamental de l ’équation homogène. Exemple II. 12 L ’équation différentielle possède l ’équation caractéristique D 2+2 D+1=0, ses racines sont D= D 1 = D 2 = -1. L ’ensemble fondamental de cette équation est 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 25

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants Définition II. 22 Problème de la valeur initiale Considérons la classe d ’équations différentielles de la forme sont des constants, x(t) est l ’entrée qui est une fonction supposée connue, et y=y(t) la sortie qui est la solution inconnue de cette équation. Si cette équation décrit un système physique, alors en général et n est appelé l ’ordre de l ’équation différentielle. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 26

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants Définition II. 22 Problème de la valeur initiale (suite) Pour spécifier complètement le problème tel qu’une solution unique y(t) peut être obtenue, il faut spécifier deux informations : – l ’intervalle du temps sur lequel une solution est désirée – un ensemble de n conditions initiales pour y(t) et ses premiers n-1 dérivées. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 27

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Pourquoi ? Cette restriction est une contrainte pratique puisque les plupart des systèmes physiques possèdent l ’effet de lissage (smoothing) sur les entrées. (lissage signifie que des variations à l ’entrée sont atténuées par la dynamique du système). Interprétation : La sortie y est liée à l ’entrée x par une dynamique incluant m dérivations et n intégrations de l ’entrée. Ainsi, pour obtenir un effet de lissage entre l ’entrée et la sortie, il doit y avoir au moins autant d ’intégrations que de dérivations, i. e. . 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 28

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Exemple II. 13 Un système décrit par Fig. II. 3 La sortie , x 1 1 la dérivation de x augment les variations, l l ’intégration de x diminue les variations. T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 3 4 t dx/dt l 12/29/2021 2 1 y(t) t Fig. II. 3 29

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) La solution de cette classe d ’équations est composée de deux réponses : réponse libre y. L(t) l réponse forcée y. F(t) l 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 30

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Définition II. 23 Réponse libre Cette réponse est la solution de l ’équation différentielle quand toutes les entrées x(t) sont identiquement nulle : La solution y. L(t) de ctte équation dépend uniquement des n conditions initiales. Si est un ensemble fondamental, alors la solution est Les constants ci sont obtenus en termes des conditions initiales à partir des n équations algébriques 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 31

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) L ’indépendance linéaire de y(t) garantie qu’une solution à ces équations peut être obtenue pour ci=1, 2, …, n. Exemple II. 13 La réponse libre de l ’équation différentielle avec les conditions initiales est déterminée en posant où sont des coefficients inconnus et est l ’ensemble fondamental de l ’équation différentielle (voir exemple II. 11). Puisque doit satisfaire les conditions initiales et Ainsi, 12/29/2021 et T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 32

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Définition II. 24 Réponse forcée Cette réponse est la solution de l ’équation différentielle quand toutes les conditions initiales sont identiquement nulles. L ’implication de cette définition est que la réponse forcée dépend uniquement de l ’entrée x(t). La réponse forcée pour une équation différentielle ordinaire à coefficients constants peut être définie par l ’équation de convolution est la fonction de pondération de l ’équation différentielle qui décrit un système causal. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 33

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Définition II. 25 Fonction de pondération d ’une équation différentielle ordinaire à coefficients constants Cette fonction est définie comme suit : où sont des constants et l ’ensemble des fonctions est un ensemble fondamental de l ’équation différentielle. est la réponse libre de l ’équation différentielle et ainsi requiert n conditions initiales pour une spécification complète. Ces conditions fixent les valeurs des constants. Les conditions initiales qui sont toutes des fonctions de pondération des équations différentielles linéaires doivent satisfaire 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE . 34

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Exemple II. 14 La fonction de pondération de l ’équation différentielle est Alors Si x(t)=1, alors 12/29/2021 et T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 35

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 9 Solution des équations linéaires ordinaires à coefficients constants (suite) Définition II. 26 Réponse totale réponse totale=réponse libre + réponse forcée Exemple II. 15 La réponse totale de conditions initiales 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE avec les 36

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 10 Réponses en régime permanent et en régime transitoire. Définition II. 27 Réponse en régime permanent Cette réponse est la partie de la réponse totale qui ne tend pas vers zéro quand t tend vers infini. C ’est la réponse libre. Définition II. 28 Réponse en régime transitoire Cette réponse est la partie de la réponse totale qui tend vers zéro quand t tend vers infini. C ’est la réponse forcée. Exemple II. 16 La réponse totale de l ’exemple II. 15 est La réponse en régime permanent est La réponse en régime transitoire est 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 37

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières Pour étudier les systèmes de contrôle et leurs équations différentielles, une famille particulière de fonctions appelées fonctions singulières est utilisée. Ces fonctions sont les suivantes : l fonction unité (fonction d ’Heaviside) l fonction de Dirac l fonction rampe. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 38

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 29 Fonction unité (fonction d ’Heaviside) Cette fonction est définie par 1 t Fig. II. 4 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 39

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 30 Fonction de Dirac Cette fonction est définie par où r(t) est une échelon unité. Parfois, en pratique, on utilise des fonctions tendent vers. Par exemple la fonction gaussienne t Fig. II. 5 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 40

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 31 Fonction rampe unité Cette fonction est définie par où r(. ) est une échelon unité. Parfois, en pratique, on utilise des fonctions tendent vers. Par exemple la fonction gaussienne 1 1 t Fig. II. 6 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 41

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 32 Réponse à une échelon unité Cette réponse est la sortie y(t) du système quand l ’entrée x(t)=r(t) (fonction unité) et toutes les conditions initiales sont nulles. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 42

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 33 Réponse Impulsionnelle Cette réponse est la sortie y(t) du système quand l ’entrée x(t) est une impulsion de Dirac et toutes les conditions initiales sont nulles. Propriété de fenêtrage : 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 43

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 11 Fonctions singulières (suite) Définition II. 34 Réponse à une rampe unité Cette réponse est la sortie y(t) du système quand l ’entrée x(t) est une fonction rampe unité et toutes les conditions initiales sont nulles. 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 44

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 12 Systèmes de deuxième ordre Ce système est très important puisque des systèmes d ’ordre plus élevés peuvent souvent être rapprochés par des systèmes de deuxième ordre. L ’équation différentielle de ce système est donnée par où est le coefficient d ’amortissement réduit est la fréquence naturelle du système non amorti (pulsation propre) En supposant que , l ’équation caractéristique est alors où est le coefficient d ’amortissement est la pulsation propre du système amorti est le constant du temps 12/29/2021 T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 45

Equations Différentielles des systèmes linéaires II. 12 Systèmes de deuxième ordre (suite) La fonction de pondération qui donne pour une entrée échelon unité où Fig. II. 7 montre la représentation paramétrique de la réponse à une échelon unité. L ’abscisse de la famille des courbes est un temps normalisé , et le paramètre définissant chaque courbe est le coefficient d ’amortissement réduit 12/29/2021 . T. ALANI - A 2 SI -Groupe ESIEE 46