Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitaler Regelkreis 28 Mai 2003

Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitaler Regelkreis 28. Mai 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bild 11. 7 -1, Wendt, S. 530 Digitaler Regelkreis mit Übertragungsfunktion für Regler und Regel. Strecke mit z-Transformierten. Alle aus der analogen Regelungstechnik bekannten Berechnungsverfahren sind übertragbar • Gesamtführungsübertragungsfunktion / Störübertragungsfunktion • Endwerttheoreme / Reglerauslegung • Gilt für quasikontinuierliche Regelung, wenn Tab << Systemzeit ist Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Beschreibung des digitalen Regelkreises: • Im Zeitbereich Bestimmung von w(k), e(k), y(k) <-> y(t), x(t) <-> x(k) Bestimmung von rekursiven Algorithmen zur Bestimmung von x(k+1) = f(x(k), . . . ) Für den Regelalgorithmus werden Eigenschaften von P, I und D-Anteilen • Im Bestimmung von W(z), Bestimmung von Übertragungsfunktionen Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 3 Frequenzbereich E(z), Y(z) © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung eines rekursiven Algorithmus für u(k): Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung digitaler Regelalgorithmus Reglerart q 0 q 1 q 2 P-Regler I-Regler (Typ I) PD-Regler PI-Regler (Typ I) PID-Regler (Typ I) Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung digitaler Regelalgorithmus Tabelle 11. 2 -3, Wendt, S. 449 Quelle: Wendt Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstelung digitaler Regelalgorithmen Hinweise: • Zusätzlicher Koeffizient zur Kennzeichnung für Stellungs- oder Geschwindigkeitsalgorithmus • Unterschied zwischen Geschwindigkeits- und Stellungsalgorithmus S-Algorithmus G-Algorithmus • Unterschied zwischen Geschwindigkeits- und Stellungsalgorithmus abhängig von der Art der Regelstrecke G-Algorithmus, wenn Regelstrecke I-Anteil aufweist S-Algorithmus, wenn Regelstrecke kein I-Anteil aufweist • Typ I / Typ II abhängig von der Diskretisierung des I-Regelanteils Mit Typ I: Rechtecknäherung mit der linken Grenze Mit Typ II: Rechtecknäherung mit der rechten Grenze Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung der z-Transformierten von kontinuierlich arbeitenden Regelstrecken Bild 2. 4. 2 Unbehauen, S. 121 Halteelement 0. Ordnung: z-Transformierte Regelstecke: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Mathematische Betrachtung Bestimmung der z-Transformierten der analogen Regelstrecke mit Halteglied 0. Ordnung: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Tabellenauszug zur z- und Laplace-Transformation Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Tabellenauszug zur z- und Laplace-Transformation Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

System mit Totzeit Gegeben ist ein System G(s) mit einer Totzeit Tt. Zeitverhalten der Sprungantwort führt zu einer um Tt verschobenen Sprungantwort gegebenüber einem System ohne Totzeit. Im zeitdiskreten würde also die Antwort auch eine verschobene Folge als Systemantwort darstellen. Die Größe der Verschiebung ist hier vom Verhältnis der Totzeit zur Abtastzeit abhängig. Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

System mit Totzeit Beispiel Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Quasistationärer diskreter Regelkreis mit Auslegung des Reglers im nach bekannten analogen Einstellkriterien und anschließender Übertragung in diskrete Darstellung. Bild 5 -31, Gassmann, S. 448 Vorgabe für Reglereinstellung: • Kompensation der Zeitkonstanten • Proportional wirkendes Stellglied • Gesamtzeitkonstante des resultierenden Regelkreises soll 10 -mal kleiner als die Streckenzeitkonstanten betragen. Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Lösung: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Konkrete Werte: TN=T 1=0. 2 sec KP = 5 K 1 = 0. 8 T 1 = 0. 2 sec Blatt 4. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Lösung: Konkrete Werte: TN=T 1=0. 2 sec T = 0. 02 sec Bestimmung der Reglerkennwerte für diskreten PI-Regler: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Wie sieht die Gesamtführungsübertragungsfunktion des Systems aus? Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Diskreter PI-Regler: Analoge PT 1 -Strecke: Für den Fall Tt = T µ=1 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: Dimensionierung für analogen Fall: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 19 PI-Regler als Kompensationsregler Nach Tabelle Bestimmung von qo und q 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises mit Einsetzen der Regler Parameter: Näherung Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Vereinfachung des Übertragungsfunktion: Damit vereinfacht sich die Führungsübertragungsfunktion: System 2. Ordnung Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Tabellen für z-Transformierte von Regelstrecken Tabellen für Bestimmung von z-Transformierten für Regelstrecken Tabelle 11. 5 -10, S. 503, Wendt Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel PT 2 -System Bestimmen Sie die z-Transformierte einer PT 2 -Regelstrecke mit einem Halteelement 0. Ordnung: Folgende Konstanten sind gegeben: Übungsaufgaben RT 2 2. 5 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 23 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung Näherung: Genaue Rechnung: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln für digitale Regelkreise Digitaler Regelkreis ist ein quasikontinuierlich arbeitender Regelkreis, wenn Tab so gewählt ist, dass die Unterschiede im Regelverhalten zwischen digitaler und analoger Regelung gering sind. Bestimmung der Abtastzeit aus den Kenngrößen der Regelstrecke: Bild 11. 3 -1, Wendt, S. 450 Tabelle 11. 3 -1, Wendt, S. 450 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln für digitale Regelkreise Bestimmung der Abtastzeit aus den Kenngrößen der Regelstrecke: Quelle: Wendt Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bestimmung der Abtastzeit Beispiel Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln mit Berücksichtigung der Abtastzeit Einstellung nach Takahashi auf Basis nach Einstellregeln von Ziegler& Nichols (RT 1). Bild 11. 3 -3, Wendt, S. 456 Tabelle 11. 3 -3, Wendt, S. 457 Tabelle 11. 3 -4, Wendt, S. 457 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln mit Berücksichtigung der Abtastzeit Einstellung nach Takahashi auf Basis nach Einstellregeln von Ziegler& Nichols (RT 1). Bild 11. 3 -3, Wendt, S. 456 Tabelle 11. 3 -3, Wendt, S. 457 Tabelle 11. 3 -4, Wendt, S. 457 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln mit Berücksichtigung der Abtastzeit Einstellung nach Takahashi auf Basis nach Einstellregeln von Ziegler& Nichols (RT 1). Bild 11. 3 -3, Wendt, S. 456 Tabelle 11. 3 -3, Wendt, S. 457 Tabelle 11. 3 -4, Wendt, S. 457 Wenn die Kennwerte aus dem Bodediagramm von der Regelstrecke abgeleitet werden. Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einstellregeln mit Berücksichtigung der Abtastzeit Randbedingung: Berechnung der Reglerkoeffizienten: • Bestimmung nach Tabellenvorschrift Basis ist die Berechnung des I-Anteils nach der Trapezregel Koeffizienten-Bestimmung: Tabelle 11. 3 -5, Wendt, S. 457 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Bestimmung eines PI-Reglers nach Takahashi: • Bestimmung der Kennwerte der Regelstrecke Tu = 3. 8629 s Tg = 40 s T 95 = 73. 5 s • T = 0. 8 s • KR = 7. 72 TN = 14. 2 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 32 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Bestimmung eines PI-Reglers nach Takahashi: • KR = 7. 72 TN = 14. 2 • Bestimmung der digitalen Regler-Parameter Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Vergleich analoger und digitaler Regelkreis Beispiel 11. 5 -22, Wendt, S. 516 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung der Übertragungsfunktionen: Bestimmung der Sprungantwort: Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 35 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Wie sieht der Kurvenverlauf aus? • Bildung der Rücktransformierten von X(z) • Alternative Lösung mit Untersuchung des analogen Regelkreises mit Bestimmung der Führungsübertragungsfunktion, Sprungantwort und anschließender Digitalisierung der analogen Sprungantwort Systemverhalten des Regelkreises: PT 2 -S System Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 36 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 37 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Störübertragungsfunktion Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 38 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Berechnung von digitalen Regelkreisen Übungsaufgabe RT 2 2. 3 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 39 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufgabe RT 2 2. 3 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 40 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufgabe RT 2 2. 3 Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 41 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Diskussion Stabililtät / Pol-Lage in der z-Ebene Es gilt: Die Übertragungsfunktion Gz(z) ist dann stabil, wenn alle Poel zi innerhalb des Einheitskreises der z-Ebene liegen, d. h. wenn gilt |zi|< 1 für i = 1, 2, 3, . . Für einfache Pole zi auf dem Einheitskreis ist das System grenzstabil. Begründung: z-Ebene <-> s-Ebene z = es. T = + j mit s = + j z = e ( + j )T = e T ej T mit |z| = e T und Phase = T G(s) ist dann stabil, wenn alle Pole in der linken Halbebene liegen ( <0) Für < 0 folgt: e T < 1 d. h. wenn |z| < 1 erfüllt für z-Werte innerhalb EK Für > 0 folgt: e T > 1 d. h. wenn |z| > 1 erfüllt für z-Werte außerhalb EK Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 42 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele Gz(z) = z/(z-a) Mai 2003 / Regelungstechnik 2 g(k) = ak Bild 2. 4. 4. Unbehauen 2, S. 133 Blatt 4. 43 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenhang s- und z-Ebene Durchlauf dem Kreisbogen wiederholt sich mit T = 2 Für = const in s-Ebene führt zu Kreisen in z-Ebene. Für = const in s-Ebene führt zu Geraden die durch den Ursprung der z-Ebene gehen. Quelle: Unbehauen RTII Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 44 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung s- und z. Ebene mit Zeitverläufen Quelle Unbehauen RT II Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 45 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für Polstellenverteilung und zugehörigem Zeitverhalten Quelle Meyr, RT& ST Mai 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 4. 46 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel