Vorlesung Regelungstechnik 1 Nicht lineare Regelungen ZweipunktRegelkreise 28

Vorlesung Regelungstechnik 1 Nicht lineare Regelungen Zweipunkt-Regelkreise 28. Januar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Lösungsstrategie • Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. • Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Einund Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. (Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardübertragungsverhalten? ) • Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertragungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) eingetragen und es werden die definierten Bereiche markiert. • Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sind die Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Anwendungsbeispiel w e y x Folgender Fall ist zu untersuchen: • Nichtlineares System mit Sättigungsbereich • Sprungfunktion Sollwert w 1(t) = 2 überlagert mit w 2(t) = -4 für t > 5 s • Bestimmen Sie den Verlauf von x(t), e(t), Kennliniendurchlauf für den Zeitraum 0 bis 10 sec. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt voneinander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andere Werte als bei gemeinsamer Berücksichtigung Bild 14. 1 -5, Wendt, S. 710 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14. 1 -7, Wendt, S. 711 Führungsverhalten Superposition Gleichzeitige Berücksichtigung von w Und z Störübertragungssverhalten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bei linearen Systemen können bei Reihen. Schaltung von Systemen die Übertragungssysteme getauscht werden. Bild 14. 1 -8, Wendt, S. 711 Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschen Ergebnissen Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14. 1 -9, Wendt, S. 711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Grundtypen nicht linearer Funktionen Folgende Grundtypen sind unterscheidbar: • Analytische Funktionen Funktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x 2 Funktionen sind stetig und differenzierbar. Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich. • Stückweise lineare Funktionen Unstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung. Zweipunktregler (ideal) Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen • Mehrdeutige Funktionen Nicht eindeutige Verläufe (z. B. Hysterese, Umkehrspanne) Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Stückweise lineare Funktion Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Übersicht nicht linearer Funktionen • Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler) • Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler) • Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße) • Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße) • Elemente mit Begrenzung (Sättigung) • Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung • Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke Betrachtung einer PT 1 -Strecke mit • Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT 1 -Strecke ohne Totzeit • Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT 1 -Strecke mit Totzeit • Variation der Schaltdifferenz • Variation der Stellgröße • Variation der Streckenzeitkonstanten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Funktionsweise des Zweipunktreglers Beispiel stetiger Regler: P-Regler y(t) : = KP * e(t) = KP * [w(t)-x(t)] kontinuierlicher Bereich y Beispiel unstetiger Regler: Zweipunktregler w y diskreter Wertebereich • y = 0 für x > xob • y = yh für x < xun • Schaltdifferenz xsd yh aus ein yh x aus ein xsd Kennlinienfunktion y(t) : = f(x(t)) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Funktionsweise des Zweipunktreglers 250 Verlauf P-Regler Verhalten P-Regler 200 150 e(t) 100 50 y(t) 0 250 Verhalten Zweipunktregler 0 20 40 60 80 100 120 Verlauf Zweipunktregler 200 150 x(t) 100 50 y(t) 0 0 20 40 60 80 100 120 -50 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Zweipunktregler mit PT 1 -Strecke Wirkungsplan mit Zweipunktregler: • Eingang des Zweipunktreglers ist die Regeldifferenz e = w-x • Für e > 0 gilt: Sollwert ist größer als Istwert der Regelgröße. Daher muss die Stellgröße yh auf die Regelstrecke einwirken (Energie zuführen) • Für e < 0 gilt: Istwert ist größer als Sollwert. Die Stellgröße wird auf 0 gesetzt. Es wird keine Energie mehr in die Regelstrecke zugeführt. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Kennlinie des Zweipunktreglers Kennlinie über x: Kennlinie über e: yh y w y yh aus ein yh x e aus ein xsd Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregelkreis / Zeitverlauf t = 0 / Startwert: 0°C neuer Sollwert w : = 450°C w z Regelstrecke Zweipunktregler y y x ein KS : = 2, 83°C/m 3/h TS : = 10 min yh : = 300 m 3/h xsd : = 6°C (± 3°C) Ofen KS; TS aus x Zeitverlauf: xob für y : = yh gilt: x(t) = 850°C(1 -e-t/Ts) solange bis x(t) : = xob (453°C) t 1 = -TS ln(1 -453/850) = 7, 61 min t 3 = TS ln((850 -447)/(850 -453)) = 0, 15 min xun für y : = 0 gilt: x(t‘) = 850°C(e-t‘/Ts) solange bis x(t) : = xun (447°C) t 2 = TS ln(453/447) = 0, 13 min yh yh t 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Ergebnis: • pendelnde Regelgröße zwischen xob& xun • Regelgenauigkeit Schaltdifferenz • Wert yh ist höher als für w erforderlich • Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich • vorhandene Leistungsreserve t 2 t 3 Blatt 11. 19 Oktober 2001

Bemerkungen • Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges (w = 1, 2, . . . , 10) Schaltdifferenz 2 • Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen yh und 0. Yh ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann. (z. B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C erreicht werden kann. ) • Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünschter Sollwert erreicht wird. • Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang) mit gleicher Zeitkonstante • Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Varianten / Ergebnisse von Regelkreisen mit Zweipunktregler Wie verhält sich die Regelgröße x(t) in folgenden Fällen: • Vergrößerung (Variation) der Schaltdifferenz (xob, xun) • Vergrößerung (Variation) der maximalen Stellgröße yh + Symmetrischer Verlauf, wenn yh so gewählt wird, dass genau der doppelte Sollwert erreicht werden kann Einschaltdauer und Ausschaltdauer sind gleich groß. + kein schwingendes Verhalten, wenn yh so gewählt wird, dass der Sollwert nicht erreicht werden kann. Die Fahrweise ist ständig mit maximaler Stellgröße yh Ausschaltdauer ist Null. • Einseitige Veränderung der Schaltdifferenz (xob bzw. xun) • Variation der Zeitkonstanten der Regelstrecke • Variation der Regelstrecke mit Totzeitelement Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ausgangsfall Sollwert 100 Xob = 10 Xun = -10 e>10, wenn x < 90 e<-10, wenn x > 110 Yh = 1000 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation Schaltdifferenz Zweipunktregler Sollwert 100 Xob = 10 zu 20 Xun = -10 zu -20 e>10 (>20), wenn x < 90 (<80) e<-10 (<-20), wenn x > 110 (>120) Yh = 1000 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation Stellgröße yh (a) Sollwert 100 Xob = 10 Xun = -10 e>10: wenn x < 90 e<-10: wenn x > 110 Yh = 200 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation Stellgröße yh (b) Sollwert 100 Xob = 10 Xun = -10 e>10: wenn x < 90 e<-10: wenn x > 110 Yh = 150 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation Stellgröße yh (c) Sollwert 100 Xob = 10 Xun = -10 e>10: wenn x < 90 e<-10: wenn x > 110 Yh = 50 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation xob Sollwert 100 Xob = 0 Xun = -10 e>0: wenn x < 100 e<-10: wenn x > 110 Yh = 1000 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation xun Sollwert 100 Xob = 10 Xun = 0 e>10: wenn x < 90 e< 0: wenn x > 100 Yh = 1000 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Variation Streckenzeitkonstante Sollwert 100 Xob = 10 Xun = 0 e>10: wenn x < 90 e< 10: wenn x > 110 Yh = 1000 TSneu = 2 TSalt Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke - allgemeiner Fall Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zeitverhalten mit PT 1 -Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (1) Zeitbetrachtung: Fall 1: Fall 2: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (2) Zeitbetrachtung: Fall 3: Wert bei Umschaltungpunkt der Stellgröße t=ts 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (3) Zeitbetrachtung: Fall 4: Wegen der Totzeit wirkt y 2 noch um Tt länger, so dass gilt: Fall 5: fallende Regelgröße Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (4) Zeitbetrachtung: Fall 6: Umschaltzeitpunkt der Stellgröße von y 1 auf y 2: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 36 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (5) Zeitbetrachtung: Fall 7: Durch die Totzeit fällt die Regelgröße weiter ab: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 37 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (6) Zeitbetrachtung: Fall 8: Berechnung des Umschaltzeitpunktes ts 3: t 3 = ts 3+Tt Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 38 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung von einzelnen Fällen Unterschiede für Regelkreise: • ZPR mit xd 1 und xd 2 0, Grundlast y 1 = 0, y 2 0 • ZPR mit xd 1 und xd 2 = 0, Grundlast y 1 und y 2 0 • ZPR mit xd 1 und xd 2 = 0, Grundlast y 1 = 0 und y 2 0 Lösungen Lutz Wendt (Seite 822 bis 835) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 11. 39 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Optimierung des Zweipunktregelkreises Optimierung / Einflussgröße Massnahme Auswirkung Ergebnis Zu große Regelabweichung Xob / xun Einsatz Zweipunktregler mit reduzierter Schaltdifferenz Xsd Höhere Schaltfrequenz / Reduzierung der Reglerlebensdauer Zeitkonstante Regelstrecke TS Halbierung der Zeitkonstanten TS -> TS/2 kleine Zeitkonstante -> höhere Schaltfrequenz Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Blatt 11. 40 Oktober 2001

Berechnung der Schaltfrequenz Annahme Leistungsüberschuß 100 % w : = xmax/2 Verhältnisgleichheit Winkel α w xmax / 2 TS = 2 xsd / T f. S : = 1/T f. S = ¼ xmax/xsd 1/TS Herleitung Regelgröße: X(t) Zeitpunkt t 1: x(t=t 1) t 1 = xmax/2 = ½ Ks yh = TS ln(2) Anstieg im Punkt x(t 1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts dx(t 1)/dt = Ks yh / TS e-t 1/Ts = Ks yh / 2 TS = xmax / 2 TS Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel = Ksyh(1 -e-t/Ts) Blatt 11. 41 Oktober 2001

Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf Annahmen: • Zweipunktregler mit Xsd : = 0 • Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG • Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite Tein/T = ¾ ΔX Fallbeispiele: Stellbereich 100% • Dauereinschaltung • Sollwert = x. Max / Endwert w • Stellgröße ausreichend für Erreichen von w Stellbereich 125% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4 • xpa positiv • Sollwert > xm / Endwert 1, 25 w Stellbereich 200% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1 • xpa = 0 • Sollwert = xm / Endwert 2 w Tein/T = ½ Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Stellbereich 500% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4 • xpa negativ • Sollwert < xm / Endwert 5 w Tein/T = ¼ Blatt 11. 42 Oktober 2001