Vorlesung Regelungstechnik 2 Einfhrung Zustandsregelung Normalformen der Zustandsgleichungen

Vorlesung Regelungstechnik 2 Einführung Zustandsregelung Normalformen der Zustandsgleichungen 25. Juni 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zustandsraum Allgemeines: • Methoden der klassischen Regelungstechnik basieren auf die Beschreibung von Übertragungssystemen für jeweils eine Eingangs- und Ausgangsgröße. • Die Lösung erfolgt für zeitinvariante und lineare Systeme unter Anwendung der Laplace-Transformation in der s-Ebene. Die zugrundeliegende Differentialgleichung wird in eine algebraische Gleichung überführt. • Zustandsbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibungsform im Zeitbereich, die für mehrere Ein- und Ausgangsgrößen sowie auch für zeitvariante und nicht lineare Systeme angewendet werden kann. • Zustandsgrößen erlauben zudem die Berechnung von inneren Größen, welche den Zustand eines Systems und nicht nur sein Ein- Ausgangsverhalten beschreiben. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Bild 2. 1. 1, Seite 2, Gerhard Bild 2. 1. 2, Seite 3, Gerhard Ersatzschaltbild und Systemtechnisches Bild Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Mathematisches/physikalisches Modell durch Bilanzierung und Anwendung grundlegender Gesetze. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Signalflussplan Bild 2. 1. 3 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Übertragungsfunktion zur Beschreibung des Ein- und Ausgangsverhaltens: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Zustandsgrößendarstellung Bei der Zustandsgrößendarstellung werden die inneren Systemgrößen betrachtet. Die Systemgrößen kennzeichnen den Systemzustand. Die kleinste Anzahl der Systemgrößen xi(t) heißen Zustandsgrößen. Voraussetzung ist: • Eingangsgrößen sind bekannt sowie die • Anfangswerte der Systemgrößen. Die Anzahl der Zustandsgrößen gibt die Ordnung des Systems an. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Allgemeine Zustandsgrößendarstellung Festlegungen: Anzahl der Eingangsgrößen: p Anzahl der Ausgangsgrößen: q Anzahl der Zustandsgrößen: n Damit liegt die Struktur fest, über welche Gleichungssysteme diese Abhängigkeit beschrieben wird. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Allgemeine Zustandsgrößendarstellung: Es gelten allgemein folgende lineare Zustandsdifferentialgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Vereinfachte Schreibweise der Zustandsdifferentialgleichung durch Einführung von Matrizen und Vektoren: Einsetzen in die Zustandsdifferentialgleichung liefert dann folgende Darstellung -> Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel und Gegenüberstellung Vektorielle Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung graphische Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung Beispiel System 3. Ordnung jeweils eine Ein- und Ausgangsgröße: -> n = 3 -> p = 1, q = 1 Aufbau der Vektoren/Matrizen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung für einfache Systeme Einfache Systeme mit nur einer Eingangs- und Ausgangsgröße ergibt sich folgende vereinfachte Zustandsgrößenbeschreibung: Für nicht sprungfähige Systeme ist d=0 Bild 2. 1. 5 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Beispiel Gleichstrommaschine: Allgemeine Form für Übertragungssysteme: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Für allgemeinen Fall mit n=m gilt: Bild 2. 2. 1 Zustandsgröße x 1 Festlegung der weiteren Zustandsgrößen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Herleitung der Gleichungen Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Sonderfall • n = 1 • Zählergrad kleiner Nennergrad m < n -> n = 0 -> d = 0 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Aufstellen von Zustandsgleichungen Signalflussplan: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Gleichstrommaschine Aufstellen der Zustandsgleichung nach der Regelungsnormalform: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 23 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übungen Anwendungsbeispiele mit Aufstellen der Zustandsgleichungen nach • Regelungsnormalform (Phasenvariablen, Frobenius-Normalform, Steuerungsnormalform, 1. Standardform) • Physikalischen Variablen Festlegung der Zustandsgrößen nach sinnvollen physikalischen Größen Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen der Zustandsgleichung Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen der Zustandsgleichung Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen Betrachtungsfall • Systeme mit Einund q = 1, p = 1 • Zählergrad -> d = 0 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 jeweils einem Ausgangssignal < Nennergrad Blatt 7. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen der Zustandsgleichung Mathematische Lösung Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Der Ausdruck (s. E-A)-1 wird in der sogenannten Transitionsmatrix (s) zusammengefasst. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall a: skalarer Fall (bedeutet: es ist nur eine Zustandsgröße definiert) Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall b: vektorieller Fall Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Lösung im Zeitbereich Fall b: vektorieller Fall Lösung der Rücktransformation der Transitionsmatrix Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Interpretation der gefundenen Lösung: Die Lösung besteht aus 2 Termen. • 1. Term entspricht homogener Lösung (alle Eingangssignale 0). • 2. Term entspricht partikulärer Lösung (ohne Anfangszustand) • Lösung momentaner Systemzustand ist nur vom Anfangszustand und der Transitionsmatrix abhängig Für alle t > to kann der Zustand über die Transitionsmatrix ermittelt werden. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 32 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung der Zustandsgleichung Interpretation der gefundenen Lösung: Die Lösung besagt: Die Ausgangsgröße ist nur vom Anfangszustand der Zustandsgrößen x(to) sowie der Eingangsgrößen abhängig. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Gegeben sei Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Lösung im Zeitbereich wird rückge. Führt auf eine Reihenentwicklung Blatt 7. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Lösung: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 35 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Lösung: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 36 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung Alternative Lösung durch Bestimmung der Rücktransformierten von Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 37 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Weitere Darstellungsformen der Zustandsgleichungen 1. Darstellungsform Regelungsnormalform 2. Darstellungsform Darstellung nach physikalischen Variablen 3. Darstellungsform Darstellung mit Hilfe entkoppelter Variablen 4. Darstellungsform Beobachtungsnormalform Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 38 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Darstellung mit Hilfe entkoppelter Variablen Ausgangspunkt für die Bestimmung ist die Darstellung der Übertragungsfunktion nach Durchführung der Partialbruchzerlegung wie folgt: Übertragungsfunktion nur mit Einfachpolen Bild 2. 2. 2, Gerhardt Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 39 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Darstellung mit Hilfe entkoppelter Variablen Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 40 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Darstellung mit Hilfe entkoppelter Variablen Ausgangspunkt für die Bestimmung ist die Darstellung der Übertragungsfunktion nach Durchführung der Partialbruchzerlegung wie folgt: Übertragungsfunktion nur mit Mehrfachpolen Bild 2. 2. 3, Gerhardt Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 41 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Darstellung mit Hilfe entkoppelter Variablen Zustandsgleichungen: Bild S. 14, Gerhardt Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 7. 42 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel