Vorlesung Regelungstechnik 1 Zusammenfassung der Ergebnisse aus der

Vorlesung Regelungstechnik 1 Zusammenfassung der Ergebnisse aus der Systemtheorie 29. Oktober 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Inhalte der Systemtheorie: Eingangsgrößen Zeitliches Verhalten technischer Systeme math. Methoden und Beschreibungen Systeme für technische Aufgabenstellung Umformen, Transport, Speichern Von Materie, Energie, Information (DIN 19222) Ausgangsgrößen Ein System wird beschrieben durch physikalische Eingangsgrößen. Das System wird aufgrund seines Systemsverhaltens hierauf reagieren. Die Reaktion ist mit den einstellenden Ausgangsgrößen messbar. Die Beschreibung des Systemverhaltens erfolgt durch math. Gleichungen (Differentialgleichungen) und beschreiben die physikalischen Abhängigkeiten in dem System. Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Inhalte der Vorlesung Systemtheorie (1) w e x Regeln GR(s) z y Regelstrecke GS(s) x Messen GM(s) Themen & Inhalte der Vorlesung Systemtheorie: F Verhalten elementarer Übertragungsglieder für Regelstrecken und Regler (PTn, I, IT 1, PTt, PID, PI, P, PD-Regler) F Beschreibung des Übertragungsverhaltens mit verschiedenen math. Methoden (Dgl. , Übertragungsfunktion, Bode-Diagramm, PN, Zeit. Verläufe in Form von Sprung- und Gewichtsfunktionen) F Mathematische Hilfsmittel (Laplace-Transformation, Grenzwertsätze, Referenztabellen) Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Inhalte der Vorlesung Systemtheorie (2) Themen & Inhalte der Vorlesung Systemtheorie: F Voraussetzung LTI-Systeme (Superpositionsprinzip und Zeitinvarianz) F Übertragungseigenschaften geschlossener Regelkreise mit Führungsund Störübertragungsverhalten F Stabilitätskriterien (algebraische und graphische Verfahren) Hurwitz, Routh, NYQUIST-Kriterium in der Ortskurven- und Frequenzgangdarstellung F Untersuchung der Stabilität im Bodediagramm für Regelkreise mit Angabe der Amplituden- und Phasenreserve F Aufstellen von Differentialgleichungen für technische Systeme (Feder-Masse-Systeme) F Bestimmung von Zeitverhalten mit Anregung von Sprungs- und Gewichtsfunktionen technischer Systeme im Frequenzbereich Anwendung der Laplace-Rechenregeln für Transformation und Rücktransformation Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Hilfsmittel zur Darstellung regelungstechnischer Strukturen Schematische Darstellung des Übertragungssystems als Blocksymbol. ua(t) = f(ue(t), g(t)) Zeitfunktionen: Eingangsfunktion ue(t) Systemeigenschaften g(t) Systemantwort ua(t) g(t) G(s) Wirkungs- und Signalflußplan: Verkettung von Übertragungsblöcken mit Verknüpfung von Eingangsund Ausgangsgrößen. Mehrfachgrößen / Mehrfachsysteme zulässig / abhängig von der Aufgabenstellung Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungsformen für einen Übertragungsblock Mögliche Beschreibungsformen g(t) G(s) • Differentialgleichung mit Verknüpfung der Ein- und Ausgangsgrößen im Zeitbereich • Sprungantwort des Systems Darstellung des Systemverhaltens, in dem man das System mit einer einfachen Anregungsfunktionen beaufschlagt. • Übertragungsfunktion Darstellung des Verhältnis der Ausgangs- zu Eingangsgrößen im Frequenz- (bzw. s-Bereich der Laplace-Transformierten) • PN-Diagramm Basis Übertragungsfunktion / Darstellung der Pole- und Nullstellen Aussagen über Stabilität, Verlauf im Zeit- und Frequenzbereich • Amplitudenund Phasengang Arbeiten im Bodediagramm / Liefert Aussagen über Stabilität Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungsformen von Übertragungssystemen g(t) G(s) Differentialgleichung dmy/dtm + am-1 dm-1 y/dtm-1 +. . + a 0 y = bndnu/dt + bn-1 dn-1 u/dtn-1 +. . + b 1 du/dt + bou Übertragungsfunktion G(s) = (sm + am-1 sm-1 +. . . + ao)/(sn + bn-1 sn-1 +. . . + bo) Pol- & Nullstellenverteilung Bodediagramm/Ortskurve Amplituden- & Phasengang Oktober 2002 / Regelungstechnik G(s) = k(s-sn 0)(s-sn 1). . . (s-snm)/[(s-spo)(s-sp 1). . (s-spn)] G(s) -> G(j ) mit |G(j )| und ( ) G(j ) -> Re{G(j )} + j. Im{G(j )} ( ) = arctan(Im{G(j )}/Re{G(j )}) Blatt 2. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für diese Beschreibungsformen PT 1 -Glied Differentialgleichung (Dgl. ) • Aufbau nach bekannten physikalischen Gesetzmäßigkeiten • Lösung der Gleichung mathematisch möglich mit Ansatz, wenn ue(t) = uo ist. Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungsformen für PT 1 -Glied Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (1) Mögliche Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (Systemen): • Verzweigung • Summationselement • Inversion • Multiplikation Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (2) Mögliche Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (Systemen): • Division • Kettenschaltung • Parallelschaltung • Indirekte und direkte Gegenkopplung (Rückkopplung für Regelkreis) Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten des Regelkreises Führungsverhalten: • Auswirkung einer Sollwert-/Führungsgrößenänderung auf die Regelgröße z=0 w x e - Regeln GR(s) y x Regelstrecke GS(s) x x Messen GM(s) = 1 Störgrößenverhalten: • Auswirkung einer Änderung der Versorgungs- oder Laststörgröße auf die Regelgröße Z 1 Z 2 Regeln Regelstrecke w=0 x xw x e - GR(s) y GS(s) Messen GM(s) = 1 Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten im Regelkreis (direkte) Gegenkopplung Führungsübertragungsverhalten: Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten im Regelkreis (direkte) Gegenkopplung Störübertragungsverhalten Versorgungsstörgöße: Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten im Regelkreis (direkte Gegenkopplung) Störübertragungsverhalten Laststörgröße: Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Berechnungsbeispiel (1) Es gelten folgende Beziehungen: Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Berechnungsbeispiel (2) Führungsübertragungsfunktion: Stationäre Regelabweichung: Störübertragungs. Verhalten z 1: Störübertragungsverhalten z 2: Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten im Regelkreis (indirekte Gegenkopplung) Führungsverhalten: Störgrößenverhalten Versorgung Störgrößenverhalten Last Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten im Regelkreis (indirekte Gegenkopplung) Es gilt insgesamt für die Ausgangsgröße X(s) eine Überlagerung aus Führungsgrößen- und Störgrößenverhalten: Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für Regelkreis mit indirekter Gegenkopplung Es gelten folgende Größen: Quelle: Wendt Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung Übertragungsfunktionen: Führungsübertragungsfunktion: Störübertragungsgfunktion: Bleibende Regelabweichung: Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übersicht Ein Ergebnis der stationären Betrachtung von Regelkreisen (indirekt oder direkt) zeigt, das jeweils der Faktor 1+Go(s) für die Bestimmung der Führungs- bzw. Störübertragungsfunktion im Nenner immer auftritt. Für die stationäre Regelabweichung bei Führungsübertragungsverhalten gilt: Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stationäre Regelfehler Mit den Grenzwertsätzen der Laplace-Transformation kann die stationäre Regelabweichung für t-> bestimmt werden. Folgende stationäre Regelfehler werden für verschiedene Eingangs. Signale betrachtet: Zeitverläufe der Eingangssignale: Quelle: Unbehauen Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stationäre Regelfehler höherer Ordnung Quelle: Unbehauen Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Plausibilitätsprüfungen der tabellarischen Zusammenstellung G 0 enthält keine integrierende Elemente: Für w(t) = Sprungfunktion Für w(t) = Rampe oder Parabel Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Plausibilitätsprüfungen der tabellarischen Zusammenstellung G 0 enthält ein integrierendes Elemente: Für w(t) = Sprungfunktion Für w(t) = Rampe Für w(t) = Parabel Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Plausibilitätsprüfungen der tabellarischen Zusammenstellung G 0 enthält zwei integrierende Elemente: Für w(t) = Sprungfunktion Für w(t) = Rampe Für w(t) = Parabel Oktober 2002 / Regelungstechnik Blatt 2. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel