Vorlesung Nicht lineare Regelungen Zweipunkt und DreipunktRegelkreise 5

Vorlesung Nicht lineare Regelungen Zweipunkt- und Dreipunkt-Regelkreise 5. Februar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Lösungsstrategie • Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. • Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Einund Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. (Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardübertragungsverhalten? ) • Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertragungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) eingetragen und es werden die definierten Bereiche markiert. • Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sind die Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Grundtypen nicht linearer Funktionen Folgende Grundtypen sind unterscheidbar: • Analytische Funktionen Funktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x 2 Funktionen sind stetig und differenzierbar. Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich. • Stückweise lineare Funktionen Unstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung. Zweipunktregler (ideal) Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen • Mehrdeutige Funktionen Nicht eindeutige Verläufe (z. B. Hysterese, Umkehrspanne) Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Stückweise lineare Funktion Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Übersicht nicht linearer Funktionen • Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler) • Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler) • Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße) • Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße) • Elemente mit Begrenzung (Sättigung) • Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung • Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Zweipunktregler mit PT 1 -Strecke Wirkungsplan mit Zweipunktregler: • Eingang des Zweipunktreglers ist die Regeldifferenz e = w-x • Für e > 0 gilt: Sollwert ist größer als Istwert der Regelgröße. Stellgröße yh wirkt auf Strecke und führt zum Ansteigen von x • Für e < 0 gilt: Istwert ist größer als Sollwert. Stellgröße 0 wirkt auf Strecke und führt zum Abfallen von x. • Schaltendes Verhalten mit Variation Tein/Taus bei Änderung von w Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Verhalten des Zweipunktregelkreises mit PT 1 -Strecke: • Schwankungsbreite ist nur abhängig von der Schaltdifferenz des Zweipunktreglers • Variation des Sollwertes bei gleichen Stellgrößenwerten yh und 0 Auswirkung auf die Einschalt-/Ausschaltverhältnis w groß -> Einschaltdauer steigt / Ausschaltdauer sinkt w klein -> Einschaltdauer sinkt / Ausschaltdauer steigt • Variation der Schaltdifferenz kleine Schaltdifferenz -> kleine Schwankungsbreite große Schaltdifferenz -> größere Schwankungsbreite • Variation der Zeitkonstanten Regelstrecke kleine Zeitkonstante -> hohe Schaltfrequenz große Zeitkonstante -> niedrige Schaltfrequenz Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Einfluss der Zeitkonstanten der Regelstrecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Einfluss der Schaltdifferenz des Zweipunktreglers Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Verhalten des Zweipunktregelkreises mit PT 1 -Strecke: • Variation der Zeitkonstanten Regelstrecke kleine Zeitkonstante -> hohe Schaltfrequenz große Zeitkonstante -> niedrige Schaltfrequenz Bei verzögerungsarmen Regelstrecken sind Zweipunktregler nicht immer geeignet. • Abschätzung der Schalthäufigkeit Die Stellgröße yh ist für eine Leistungsreserve von 100% ausgelegt. Erreichbare Regelgröße bei Anliegen von yh ist somit 2 w. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Berechnung der Schaltfrequenz Annahme Leistungsüberschuß 100 % w : = xmax/2 Verhältnisgleichheit Winkel α w xmax / 2 TS = 2 xsd / T f. S : = 1/T f. S = ¼ xmax/xsd 1/TS Herleitung Regelgröße: X(t) Zeitpunkt t 1: x(t=t 1) t 1 = xmax/2 = ½ Ks yh = TS ln(2) Anstieg im Punkt x(t 1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts dx(t 1)/dt = Ks yh / TS e-t 1/Ts = Ks yh / 2 TS = xmax / 2 TS Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel = Ksyh(1 -e-t/Ts) Blatt 12. 11 Oktober 2001

Beispiel Bügeleisen mit Zweipunktregler Bestimmung der Schalthäufigkeit Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregelkreis mit Totzeitelement Berechnung eines Zweipunktregelkreises mit Totzeitelement und PT 1 Strecke Zahlenwerte: w = 0. 5 Zweipunktregler mit yh = 1, ymin = 0, xsd = 0 Totzeitelement Tt = 0. 1 s Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Verlauf mit Simulink. Simulation Kennwerte wie vor Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Kennwerte wie vor, jedoch Erhöhung von yh auf 4 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Kennwerte wie vor, jedoch Reduzierung von yh auf 0. 75 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Verhalten des Zweipunktregelkreises mit PTn-Strecke: • Ersatzsystem für PTn-Strecke mit PT 1 -System und Totzeitelement möglich • Wirkungsplan/Regelkreis mit Totzeitelement • Zeitverhalten Bild 6 -7, Samal, S. 330 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Verhalten des Zweipunktregelkreises mit PTn-Strecke: • Größe der Schwankungsbreite Bild 7 -7, Samal, S. 333 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Verhalten des Zweipunktregelkreises mit PTn-Strecke: • Variation der Leistungsreserve auf das Zeitverhalten keine Leistungsreserve (bis 100 %)-> vorgegebener Sollwert wird nicht oder gerade erreicht doppelte Leistungsreserve (200%)-> Einschalt- und Ausschaltdauer sind gleich groß xm = w (keine Regelabweichung) Leistungsreserve (zwischen 100 und 200%) Einschaltdauer größer als Ausschaltdauer xm < w (stationäre Regelabweichung) Leistungsreserve (> 200%) Einschaltdauer kleiner als Ausschaltdauer xm > w (stationäre Regelabweichung) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf Annahmen: • Zweipunktregler mit Xsd : = 0 • Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG • Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite Tein/T = ¾ ΔX Fallbeispiele: Stellbereich 100% • Dauereinschaltung • Sollwert = x. Max / Endwert w • Stellgröße ausreichend für Erreichen von w Stellbereich 125% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4 • xpa positiv • Sollwert > xm / Endwert 1, 25 w Stellbereich 200% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1 • xpa = 0 • Sollwert = xm / Endwert 2 w Tein/T = ½ Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Stellbereich 500% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4 • xpa negativ • Sollwert < xm / Endwert 5 w Tein/T = ¼ Blatt 12. 20 Oktober 2001

Ergebnisse Bleibende Regelabweichung des Zweipunktregelkreises: Stationäre Regelabweichung: • Bei Fahrweise mit Leistungsreserve von 100 % Regeldifferenz 0. • Mit steigender Leistungsreserve oberhalb 100 % negative Regeldifferenz negativ (xm > w) • Mit steigender Leistungsreserve oberhalb 100 % nimmt Tanr ab. Auswahl Zweipunktregelkreis nach Anforderungen: • Kurze Anregelzeit • Geringe Regeldifferenz Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Schwankungsbreite Massnahmen zur Reduzierung der Schwankungsbreite: • Verringerung der Schaltdifferenz des Zweipunktreglers • Verkleinerung der Verzugszeit/Totzeit • Vergrößern der Streckenzeitkonstanten TS/Ausgleichszeit Tg • Reduzierung des Leistungsüberschusses (yh-Anpassung) • Fahrweise mit Grundlast (ymin > 0) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Fahrweise mit Grundlast Berechnung eines Zweipunktregelkreises mit Totzeitelement und PT 1 Strecke Zahlenwerte: w = 0. 5 Zweipunktregler mit yh = 1, ymin = 0. 25, xsd = 0 Totzeitelement Tt = 0. 1 s Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse Mit Grundlast gleiches Anstiegsverhalten für Anschaltung / Abfallverhalten langsamer /Anstiegsverhalten kürzer im eingeschwungenen Zustand Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Varianten Zweipunktregelkreise Regelkreise (PT 1 -Strecke) mit schaltendem Zweipunktregler: • Mit Schaltdifferenz / ohne Schaltdifferenz • Mit Totzeit Regelstrecke / ohne Totzeit Regelstrecke • Mit Grundlast / ohne Grundlast Allgemeiner Betrachtungsfall berücksichtigt alle Variationsmöglichkeiten: • Mit Schaltdifferenz (xd 1 und xd 2, beide unterschiedlich groß) • Mit Totzeit Regelstrecke • Mit Grundlast Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zeitverhalten für PT 1: Totzeit Schaltdifferenz & Grundlast Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (1) Zeitbetrachtung: Fall 1: Fall 2: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (2) Zeitbetrachtung: Fall 3: Wert bei Umschaltungpunkt der Stellgröße t=ts 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (3) Zeitbetrachtung: Fall 4: Wegen der Totzeit wirkt y 2 noch um Tt länger, so dass gilt: Fall 5: fallende Regelgröße Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (4) Zeitbetrachtung: Fall 6: Umschaltzeitpunkt der Stellgröße von y 1 auf y 2: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (5) Zeitbetrachtung: Fall 7: Durch die Totzeit fällt die Regelgröße weiter ab: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gleichungen für den allgemeinen Fall (6) Zeitbetrachtung: Fall 8: Berechnung des Umschaltzeitpunktes ts 3: t 3 = ts 3+Tt Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Grundlast / Dreipunktregelkreis Vorteile Fahrweise mit Grundlast: • Reduzierung Schwankungsbreite Nachteile Fahrweise mit Grundlast: • Einstellung der Grundlast und schaltenden Leistung (z. B. 125 % und 75%) führen zu höheren Anregelzeiten • Fahrweise mit verschiedenen Sollwerten eingeschränkt Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Dreipunktregelkreis Fahrweise mit Dreipunktregler: Bild 15 -7, Samal, S. 351 Bild 16 -7, Samal, S. 352 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Dreipunktregelkreis Nachteil Zweipunktregelverhalten: • Regelmäßiges Umschalten zwischen Maximal- und Minimalleistung • Reduzierung mit Dreipunktregler mit I und PTn-Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regelkreisverhalten mit Dreipunktregler Stellgröße yd Stellgröße y Regelgröße x Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 36 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Schaltende Regler mit innerer Rückführung Schaltende Regler mit Rück. Führung verhalten sich wie quasistetige Regelkreise Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 12. 37 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel