Programmazione lineare Disequazioni lineari e Sistemi di Disequazioni

Programmazione lineare : Disequazioni lineari e Sistemi di Disequazioni lineari www. matematicapovolta. it

INTRODUZIONE George Dantzig Le disequazioni sono molto utilizzate nella programmazione lineare (ricerca del costo minimo, del massimo guadagno, del reddito massimo che può essere guadagnato in determinate condizioni, e così via). Molte procedure per risolvere problemi di programmazione lineare furono progettate nel 1947 dal matematico americano George Dantzig, mentre si lavorava su un problema di allocazione delle risorse per l'aeronautica degli Stati Uniti al fine di minimizzare il costo totale. www. matematicapovolta. it

Programmazione lineare : Disequazioni lineari e Sistemi di Disequazioni lineari Come si può esprimere questa situazione? Se ogni quaderno costa 2 Є ed ogni penna costa 1. 50 Є , come esprimi la spesa che puoi fare , se disponi di 100 Є ? www. matematicapovolta. it

Definizione: Una disequazione lineare con due variabili “x” e “y” si può scrivere nella forma: ax+by+c < 0 (può essere >, ≥, ≤ , < ) Dove a b sono costanti, con a b non entrambi uguali a zero. Geometricamente, la soluzione di una disequazione linare in x , y consiste in tutti i punti (x; y) del piano, le cui coordinate soddisfano la disuguaglianza. Corrisponde ad una regione del piano cartesiano. www. matematicapovolta. it

1. Grafico di una disequazione lineare y Si rappresenta y = mx +b graficamente la retta y=mx+b 2. La rappresentazione grafica di y >mx+b è la regione del piano che sta sopra la retta y =mx+b. 3. La rappresentazione grafica di y <mx+b è la regione del piano che sta sotto la retta y =mx+b. y > mx +b y < mx +b x Se la disuguaglianza contiene > oppure < , allora si considerano tutti i punti della retta come parte della regione soluzione. www. matematicapovolta. it

Esempio: Determina la regione che rappresenta soluzione congiunta della disequazione : la 2(2 x-y)<2(x+y)-4 Soluzione : y La disequazione è equivalente a: y > x/2 +1 1 4 x-2 y < 2 x +2 y – 4 y > x/2 +1 x -2 www. matematicapovolta. it

Esempio: Rappresentare graficamente soluzioni della disequazione l’insieme delle 2 x+3 y 6 Guida per la Soluzione: • Rappresenta graficamente la retta 2 x +3 y= 6 • Scegli alcuni punti del piano e controlla se soddisfano la disequazione. www. matematicapovolta. it

3 (-1, 1) -3 -2 2 . -1 2 x + 3 y 6 . 1 0 1 2 (3, 1) 3 -1 (-1, 1) 2(-1) +3(1) 6 (3, 1) 2(3) +3(1) > 6 fa parte del grafico non fa parte del grafico www. matematicapovolta. it

Sistema di disequazioni Insieme congiunto di due o più disequazioni La soluzione di un sistema di due o più disequazioni consiste nell’insieme di tutti i punti le cui coordinate soddisfano tutte le diseguaglianze date. Geometricamente è la regione del piano che contiene tutte soluzioni delle disequazioni date. www. matematicapovolta. it

Rappresentare graficamente la regione del piano che rappresenta la soluzione del sistema di disequazioni: y -2 x +10 y x-2 www. matematicapovolta. it

Soluzione : y y = x-2 - y = -2 x +10 Ricorda: Una linea retta continua è inclusa nella soluzione, mentre una linea tratteggiata non lo è www. matematicapovolta. it

ESERCIZI: 1. Rappresenta graficamente l’insieme congiunto delle soluzioni del sistema di disequazioni: 2 x - y > 3 x y 2 y - 3 > 0 Un azionista prevede di investire al massimo $ 30. 000 in due investimenti A e B. L'azione A è attualmente valutata a $ 165 e l’azione B in $ 90 per azione. L'azionista acquista x azioni di A e y azioni di B: rappresenta graficamente la regione del piano XY che corrisponde alle possibili strategie di investimento (soluzione) www. matematicapovolta. it

Lo studio non è lavoro, ma la forma più gloriosa di gioco (Luciano De Crescenzo) www. matematicapovolta. it