IV Lineare Algebra 10 Lineare Gleichungssysteme Und jeder

IV. Lineare Algebra

10. Lineare Gleichungssysteme

Und jeder Punkt dieser Ebene erfüllt die Gleichung.

Falls d = 0 gilt, so enthält die Ebene den Ursprung.

Die Schnittmenge kann leer sein.

Die Schnittmenge kann eine Gerade oder eine Ebene sein.

Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die drei Normalenvektoren linear unabhängig voneinander sind.

Ein n-dimensionaler Vektorraum V wird durch eine Basis aus n linear unabhängigen Vektoren { V 1, V 2, . . . , Vn } aufgespannt, d. h. jeder Vektor V V kann durch eine Linearkombination der Basisvektoren ausgedrückt werden:

Besitzt eine Basis n Elemente, so besitzt auch jede andere Basis n Elemente. In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es also höchstens n linear unabhängige Vektoren, d. h. die Darstellung von V ist eindeutig. Beweis. Sei und V = a 1 V 1 + a 2 V 2 +. . . + an. Vn mit ai V = a'1 V 1 + a'2 V 2 +. . . + a'n. Vn mit a'i eine weitere Darstellung für V, so folgt: 0 = (a 1 - a'1)V 1 + (a 2 - a'2)V 2 +. . . + (an - a'n)Vn i: ai = a'i.

Eine Gleichung a 1 V 1 + a 2 V 2 +. . . + an. Vn = d mit ai, d in der nicht alle Koeffizienten (Koordinaten) ai verschwinden, vermindert die Zahl der frei wählbaren Koeffizienten um einen von n auf n - 1. Spätestens nachdem n - 1 Koeffizienten gewählt wurden, ist der n-te durch die Gleichung festgelegt. Der so eingeschränkte Vektorraum H besitzt nur noch n - 1 Dimensionen. Man bezeichnet H als Hyperebene im Vektorraum V.

Definition. U ist Unterraum des Vektorraums V über , falls U abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation ist. V, V' U, a, b : a. V + b. V' U. Insbesondere gehört also der Nullvektor 0 zum Unterraum. Enthält eine Hyperebene den Nullvektor, so ist sie ein Unterraum. Als Beispiel für eine Hyperebene betrachten wir das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum mit den Koordinaten (x | y | z | t) wo t die Zeit-Koordinate bezeichnet. Die Gleichung t = 0 ergibt einen Schnappschuss des Raums zur Zeit 0.

10. 1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn = b 2. . . . am 1 x 1 + am 2 x 2 +. . . + amnxn = bm (S) Definition. Eine Lösung L des Gleichungssystems S ist ein Vektor C= so dass die Gleichungen a 11 c 1 + a 12 c 2 +. . . + a 1 ncn = b 1 a 21 c 1 + a 22 c 2 +. . . + a 2 ncn = b 2. . . . am 1 c 1 + am 2 c 2 +. . . + amncn = bm durch das n-Tupel seiner Elemente ck erfüllt sind.

Die Menge aller Lösungen der k-ten Gleichung Sk nennen wir L(Sk). Die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems S nennen wir L(S). Dann ist L(S) = L(S 1) L(S 2) . . . L(Sm)

10. 2 Elementaroperationen (E 1) Vertauschen von zwei Zeilen, Si und Sj. Beweis. Kommutativität der Durchschnittsbildung . (E 2) Multiplikation der i-ten Zeile Si mit einer Konstante k , k ≠ 0. Beweis. Die i-te Zeile ai 1 x 1 + ai 2 x 2 +. . . + ainxn = bi (Si) wird damit zu kai 1 x 1 + kai 2 x 2 +. . . + kainxn = kbi (k Si) Sei nun C eine Lösung von (Si), so ist C auch Lösung von (k Si) und umgekehrt.

(E 3) Addition der mit k multiplizierten j-ten Zeile k Sj zur i-ten Zeile Si. Beweis. Jede Lösung C L(S) erfüllt die Gleichungen ai 1 c 1 + ai 2 c 2 +. . . + aincn = bi (Si) kaj 1 c 1 + kaj 2 c 2 +. . . + kajncn = kbj , (k Sj) also erfüllt sie auch die Gleichung (ai 1 + kaj 1)c 1 + (ai 2 + kaj 2)c 2 +. . . + (ain + kajn)cn = bi + kbj (Si+k Sj)

10. 3 Gaußsches Eliminationsverfahren Die drei Elementaroperationen (E 1) Vertauschen von Si und Sj (E 2) Multiplizieren von Si mit k ≠ 0 (E 3) Ersetzen von Si durch Si + k Sj mit i ≠ j können beliebig oft hintereinander ausgeführt werden, ohne die Lösungsmenge des Gleichungssystems zu ändern. Damit lässt sich jedes Gleichungssystem in eine einfache Form bringen und, wenn es lösbar ist, lösen.

3 x 1 - 9 x 2 + 6 x 3 = 3 (1) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3)

(1)/3 3 x 1 - 9 x 2 + 6 x 3 = 3 (1) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 (1’)

(1)/3 3 x 1 - 9 x 2 + 6 x 3 = 3 (1) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 (1’) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2’) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3’)

(1)/3 3 x 1 - 9 x 2 + 6 x 3 = 3 (1) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 (1’) 5 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 (2’) 6 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 = 1 (3’) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 (1’’) (2’) – 5 (1’’) 19 x 2 -15 x 3 = -7 (2’’)

1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 (3’’) 20 x 2 -15 x 3 = -5 (2’’) 19 x 2 -15 x 3 = -7 (1’’’) (2’’’) (3’’’) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 1 x 2 (2’’’) - (3’’’) =2 (2 IV) -15 x 3 = -45 (3’’’) - 19 (2 IV) 1 x 1 - 3 x 2 + 2 x 3 = 1 1 x 2 -(3 V)/15 (1 V)+3(2 V)-2(3 V) (1 IV) 1 x 1 1 x 2 (1 V) =2 (2 V) 1 x 3 = 3 (3 V) =1 (1 VI) =2 (2 VI) 1 x 3 = 3 (3 VI) (3 IV)

Obere Dreiecksform: 1 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +. . . + a 1 nxn = b 1 0 x 1 + 1 x 2 + a 23 x 3 +. . . + a 2 nxn = b 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 +. . . + a 3 nxn = b 3. . . . 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +. . . + 1 xn = bm Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung: m = n. Reduzierte Normalform: cn 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +. . . + 0 xn = c 1 x 1 = c 1 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 +. . . + 0 xn = c 2 x 2 = c 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 +. . . + 0 xnx=3 c=3 c 3. . . . 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +. . . +xn 1 x = cnn =

Sie können nun jedes lösbare lineare Gleichungssystem lösen: Elementaroperationen anwenden, Normalform herbeiführen, xn aus der letzten Zeile ablesen, in vorletzte einsetzen, System rekursiv lösen. fertig! oder: Elementaroperationen anwenden, reduzierte Normalform herbeiführen, Werte der xi ablesen, fertig! Aber weshalb bei allen Umformungen die Platzhalter xi mitschleppen? Ein lineares Gleichungssystem wird ebenso eindeutig durch die Systemmatrix der Koeffizienten und Konstanten beschrieben