Le disequazioni Disuguaglianze numeriche I simboli e esprimono

Le disequazioni Disuguaglianze numeriche I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze. ESEMPI 4 < 12 5 > − 3 • ab Il numero a è maggiore del numero b • a≤b Il numero a è minore di b o uguale a b • a≥b Il numero a è maggiore di b o uguale a b • aa • a≤b equivale a b≥a 1

Le disequazioni • a3 9− 4<3− 4 infatti 9 > − 1 1 > 1 b a a e b concordi ESEMPI infatti − 3 < − 2 − 1 1 >− 3 2 − 3 < 5 − 1 1 < 3 5 2

Le disequazioni • a − 3 6 2 > − 3 • a b c con infatti 12 > − 18 c negativo ESEMPI 8 (− 2) < − 3 (− 2) infatti − 16 < 6 8 > − 3 Caso particolare: -12 < 3 Se c=− 1 a −b 12 > − 3 3

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche Una disequazione è una relazione della forma A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x) nella quale si chiede per quali valori della variabile x l’espressione A(x) assume valori maggiori oppure minori dell’espressione B(x). • Risolvere una disequazione significa determinare i valori di x per i quali l’espressione A(x) assume valori maggiori (o minori) dell’espressione B(x). • Una disequazione è in forma normale se è scritta nel seguente modo: E(x) > 0 oppure E(x) < 0. • Dominio: insieme dei valori che può assumere la variabile x • Insieme delle soluzioni: tutti i valori della variabile x che rendono vera la disequazione • Disequazioni equivalenti: disequazioni con lo stesso insieme di soluzioni • Grado di una disequazione intera in forma normale: grado di E(x) 4

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche • Disequazione intera: disequazione in cui A(x) e B(x) sono polinomi. ESEMPIO x + 3 > 2 x – 4 1 x x+ >1 3 4 • Disequazione frazionaria: disequazione in cui le frazioni algebriche contengono l’incognita al denominatore. ESEMPI 1 > 3 x + 1 x x > x+1 4 3 È frazionaria È intera 5

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche • L’insieme delle soluzioni è di solito un insieme di numeri reali che può essere rappresentato graficamente sulla retta. • Tutti gli insiemi rappresentati sulla retta reale da semirette o da segmenti vengono detti intervalli. ESEMPIO La disequazione x − 2 ≥ 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono maggiori o uguali a 2: 2 La disequazione x − 3 < 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono minori di 3: 3 6

Le disequazioni Rappresentazione delle soluzioni Intervallo Scrittura algebrica ILLIMITATO APERTO x>a ILLIMITATO CHIUSO x≥a ILLIMITATO APERTO x<a ILLIMITATO CHIUSO x≤a LIMITATO APERTO a<x<b LIMITATO CHIUSO a≤x≤b LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX a<x≤b LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX a≤x<b Rappresentazione sulla retta reale a a a b a b 7

Le disequazioni Principi di equivalenza Primo principio. Se ai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione C(x) avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) è equivalente a A(x) + C(x) > B(x) + C(x) Conseguenza. Si possono spostare termini da un membro all’altro cambiando loro il segno: ESEMPIO 5 x – 4 > 2 x + 7 è equivalente a 5 x – 2 x > 7 + 4 8

Le disequazioni Principi di equivalenza Secondo principio. Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo k, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) e k>0 è equivalente a k A(x) > k B(x) Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo k, la disequazione che si ottiene è equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso: A(x) > B(x) e k<0 è equivalente a k A(x) < k B(x) Conseguenza. Si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio. ESEMPI 3 x + 3 > 6 − 10 x + 5 > − 15 dividendo per 3 è equivalente a dividendo per − 5 è equivalente a x+1>2 2 x − 1 < 3 9

Le disequazioni Principi di equivalenza Conseguenza. Si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per − 1. ESEMPIO − 6 x + 3 < 4 − 5 x diventa 6 x − 3 > 5 x − 4 Conseguenza. Se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il m. c. m. fra i denominatori. ESEMPIO x− 1 2 + 3 x − 4 3 > 1 6 x diventa 6 3(x − 1) + 2(3 x − 4) 3(x – 1) + 2(3 x – 4) > x 6 6 continua 10

Le disequazioni Principi di equivalenza ATTENZIONE! L’ultima conseguenza non può essere applicata alle disequazioni frazionarie per eliminare i denominatori. ESEMPIO x+1 x − >0 x− 1 x Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x 2 > 0 11

Le disequazioni Disequazioni lineari intere Disequazione lineare intera: disequazione intera di primo grado. Procedura risolutiva • Si eseguono le operazioni indicate e si eliminano gli eventuali denominatori. • Si trasportano tutti i termini contenenti la x al primo membro e gli altri al secondo e si riducono poi gli eventuali termini simili. • Si ottiene una disequazione ridotta in forma normale del tipo ax > b oppure ax < b. • Se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a ricordando di cambiare il verso della disuguaglianza se a < 0. • Se a = 0 la disequazione si riduce a una disguaglianza che può essere vera o falsa, determinando così un insieme di soluzioni uguale a R o all’insieme vuoto. NOTA Se a < 0 conviene prima cambiare segno e verso alla disequazione. 12

Le disequazioni Disequazioni lineari Schema riassuntivo – Risoluzione ax > b b a a>0 x> a<0 b x< a a=0 b/a b≥ 0 S= b<0 S=R 0>b 13

Le disequazioni Disequazioni lineari ESEMPIO 2(x − 1) + 3 x > 7(2 x – 1) • Svolgiamo i calcoli: 2 x − 2 + 3 x > 14 x – 7 5 x − 2 > 14 x – 7 • Separiamo i termini con l’incognita dai termini noti: 5 x − 14 x > – 7 + 2 − 9 x > – 5 • Cambiamo segno e verso: 9 x < 5 • Dividiamo per il coefficiente di x: x< • Rappresentiamo la soluzione sulla retta dei numeri: 5 9 5/9 14

Le disequazioni Disequazioni frazionarie Procedura risolutiva • Dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro • Si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i calcoli in modo da arrivare alla forma A(x) B(x) >0 oppure A(x) B(x) <0 • Si studiano separatamente i segni di A(x) e di B(x) • Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella • Si costruisce il segno della frazione • Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso 15

Le disequazioni Disequazioni frazionarie ESEMPIO x+2 2 x >1− x+3 • Trasportiamo tutti i termini al primo membro: • Riduciamo tutto allo stesso denominatore: • Svolgiamo i calcoli al numeratore x ≠ − 3 x+2 2 x >0 − 1+ x+3 2 x – (x + 3) + x + 2 >0 x+3 2 x – 1 >0 x+3 continua 16

Le disequazioni Disequazioni frazionarie ESEMPIO • Segno del numeratore: 2 x – 1 > 0 se 1 x> 2 − + R 1 2 • Segno del denominatore: x+3>0 se − x>− 3 1 − 3 • Costruiamo la tabella dei segni: • Calcoliamo il segno della frazione: • Scriviamo le soluzioni: 2 − − + + + − + x<− 3 ∨ x> 1 2 17

Le disequazioni Disequazioni non lineari Disequazione non lineare: disequazione del tipo A(x) > 0 o A(x) < 0 con grado di A(x) > 1 Procedura risolutiva (nel caso A(x) scomponibile in fattori di 1° grado): • Si scompone il polinomio A(x) in fattori di primo grado • Si studia il segno di ogni fattore • Si costruisce la tabella dei segni • Si determina il segno del polinomio in ogni intervallo individuato • Si individua l’insieme delle soluzioni 18

Le disequazioni Disequazioni non lineari ESEMPIO x 2 – 4 x + 3 < 0 (x − 1) (x – 3) < 0 • Scomponiamo il trinomio con la regola del trinomio caratteristico: • Studiamo il segno di ogni fattore: 3 1 (x – 1) > 0 se x>1 − + + (x – 3) > 0 se x>3 − − + • Calcoliamo il segno del polinomio: + − + • Scriviamo le soluzioni: 1<x<3 19

Le disequazioni Sistema di disequazioni in una incognita: insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che devono essere verificate contemporaneamente. Insieme delle soluzioni: Intersezione degli insiemi soluzioni delle disequazioni che viene trovata con la tabella delle soluzioni. ESEMPIO 1 x− 1>0 2 3 x – 1 > 0 x>2 Risolvendo le due disequazioni si ottiene il sistema: x> 1 3 S 1 S 2 1 Rappresentiamo gli insiemi S 1 e S 2 nella tabella delle soluzioni e determiniamo la loro intersezione: 3 2 S 1 S 20