Vorlesung Regelungstechnik 1 Elementare bertragungsglieder fr Regeleinrichtungen und

Vorlesung Regelungstechnik 1 Elementare Übertragungsglieder für Regeleinrichtungen und Regelstrecken 5. November 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Inhalte der Vorlesung Systemtheorie (1) w e x Regeln GR(s) z y Regelstrecke GS(s) x Messen GM(s) Themen & Inhalte der Vorlesung Systemtheorie: F Verhalten elementarer Übertragungsglieder für Regelstrecken und Regler (PTn, I, IT 1, PTt, PID, PI, P, PD-Regler) F Beschreibung des Übertragungsverhaltens mit verschiedenen math. Methoden (Dgl. , Übertragungsfunktion, Bode-Diagramm, PN, Zeit. Verläufe in Form von Sprung- und Gewichtsfunktionen) F Mathematische Hilfsmittel (Laplace-Transformation, Grenzwertsätze, Referenztabellen) November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Inhalte der Vorlesung Systemtheorie (2) Themen & Inhalte der Vorlesung Systemtheorie: F Voraussetzung LTI-Systeme (Superpositionsprinzip und Zeitinvarianz) F Übertragungseigenschaften geschlossener Regelkreise mit Führungsund Störübertragungsverhalten F Stabilitätskriterien (algebraische und graphische Verfahren) Hurwitz, Routh, NYQUIST-Kriterium in der Ortskurven- und Frequenzgangdarstellung F Untersuchung der Stabilität im Bodediagramm für Regelkreise mit Angabe der Amplituden- und Phasenreserve F Aufstellen von Differentialgleichungen für technische Systeme (Feder-Masse-Systeme) F Bestimmung von Zeitverhalten mit Anregung von Sprungs- und Gewichtsfunktionen technischer Systeme im Frequenzbereich Anwendung der Laplace-Rechenregeln für Transformation und Rücktransformation November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Thema heute Überblick und Zusammenfassung der Ergebnisse Systemtheorie: „Elementare Übertragungsglieder für Regeleinrichtungen und Regelstrecken“. Gliederung und Unterscheidungsmerkmale von Übertragungssystemen: • Nichtlineare und lineare Übertragungsglieder Nichtlineare z. B. Dreipunktregler, Übertragungsverhalten in Kennlinienform • Lineare Übertragungsglieder Es gilt das Superpositionsprinzip (Überlagerung) Unterscheidung in zeitvariante und zeitinvariante Systeme sowie in rationale und nichtrationale Systeme November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Gliederungstafel Übertragungssysteme Quelle: Wendt November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beurteilung der Übertragungseigenschaften Lineare Systeme: Systemverhalten kann über Dgl eindeutig beschrieben werden Bei zeitinvarianten Systemen sind die Parameter (Koeffizienten) konstant. Bei zeitvarianten Systemen sind die Paramter (Koeffizienten) Zeitabhängig und veränderlich, so dass die Lösung der Gleichung vom Zeitpunkt der Betrachtung abhängig ist (Verschiebungsprinzip gilt nicht). LTI-System: Für alle LTI-Systeme können die Verfahren der Laplace-Transformation und die Darstellung im Frequenzgang angewandt werden. November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Nomenklatur der LTIÜbertragungselemente Regelstrecken bzw. Regelelemente: • P = proportional wirkendes Element • PT 1 = proportional & zeitverzögernd wirkendes Element, 1. Ordnung • PT 2 = proportional & zeitverzögernd wirkendes Element, 2. Ordnung • PTn = proportional & zeitverzögernd wirkendes Element, n. Ordnung • D = differentiell wirkendes Element • DT 1 = differentiell & zeitverzögernd wirkendes Element, 1. Ordnung • PDT 1 = proportional-Differentiell & zeitverzögernd wirkendes PPT 1 Element, 1. Ordnung • I = integrierendes Element • IT 1 = integrierendes & zeitverzögernd wirkendes Element, 1. Ordnung • PI = proportional-integrierendes Element • PD = proportional-differentiell wirkendes Element • PID = proportional-integrierendes-differentiell wirkendes Element November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

P-Element (Regelstrecken- oder Regelelement) Dgl. : Übertragungsfunktion: Frequenzgangfunktion: Interpretation: November 2002 / Regelungstechnik KP heißt Proportionalbeiwert des Übertragungselementes. Sie ist konstant und entspricht einer Signalverstärkung. Bei Regler nennt man den Übertragungsbeiwert KR Blatt 3. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

P-Element in Kurvendarstellung Quelle: Walter November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 1 -Element (Regelstrecke) Dgl. : Übertragungsfunktion: Frequenzgangfunktion: Interpretation: November 2002 / Regelungstechnik Das PT 1 -Glied reagiert auf eine sprungförmige Anregung zeitverzögert mit der Zeitkonstanten T 1. Der Endwert ist um den Übertragungsbeiwert KP verstärkte Eingangswert. Blatt 3. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 1 -Element in Kurvendarstellung Quelle: Wendt November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Dgl. : Interpretation: 0: D: K P: November 2002 / Regelungstechnik Kennkreisfrequenz (Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems) Dämpfung des Systems Proportionalbeiwert des Systems Blatt 3. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Übertragungsfunktion: Pol-Nullstellen: nur Polstellen / charakteristische Gleichung: Fallunterscheidung: D>1: zwei verschiedene reelle Lösungen D=1: zweifache gleiche Lösung 0<D<1: komplexe Lösungen, stabil D=0: komplexe Lösungen, grenzstabil -1<D<0: komplexe Lösungen, instabil November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) 0 < D < 1: Pole mit Imaginäranteil Schwingfähiges System (stabil) (PTS 2 -Glied) D=1: doppelte Polstelle bei o= 1/T 2 (aperiodischer Grenzfall PT 2 -Glied) D>1: zwei einfache reelle Polstellen (Kriechfall PT 2 -Glied) D=0: Realteil 0: stabiles schwingfähiges System ohne Dämpfung -1 < D < 0: schwingfähiges System instabil Quelle: Unbehauen November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) D>1: zwei einfache reelle Polstellen (Kriechfall PT 2 -Glied) D=1: doppelte Polstelle bei o= 1/T 2 (aperiodischer Grenzfall PT 2 -Glied) 0 < D < 1: Pole mit Imaginäranteil Schwingfähiges System (stabil) (PTS 2 -Glied) D=0: Realteil 0: stabiles schwingfähiges System ohne Dämpfung -1 < D < 0: schwingfähiges System instabil Quelle: Wendt November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 1: D>1 (aperiodisches Verhalten, Kriechfall) Übertragungsfunktion: Sprungantwort: November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 2: D=1 (aperiodischer Grenzfall) Übertragungsfunktion: Sprungantwort: November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 3: 0<D<1 (schwingendes Verhalten: PT 2 S-Glied) Übertragungsfunktion: Sprungantwort (Laplace-Korrespondenztabelle): November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 3: 0<D<1 (schwingendes Verhalten: PT 2 S-Glied) Umformung der Sprungantwort: Umformungen: November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Interpretation der Sprungantwort: • Zeitverlauf der Einhüllenden wird bestimmt durch die Dämpfung D. Je kleiner D betragsmäßig ausfällt, umso langsamer wird die Schwingung abklingen. • Die Schwingfrequenz ist gegenüber der Eigenkreisfrequen des ungedämpften Systems reduziert. • Zeitabstand zweier aufeinanderfolgender Maxima oder Minima oder Extremwerte ist immer konstant. • Das maximale Überschwingen MP ist nur abhängig von der Dämpfung. • Die Anregelzeit (das erstmalige Erreichen der Eingangsamplitude) ist abhängig von der Schwingfrequenz. • Die Einstellzeit ist abhängig von Dämpfung und Eigenkreisfrequenz (Unterschied Sprungantwort zur Anregungsamplitude) November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Wendt November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Meyr, Aachen November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Bestimmung der Zeitpunkte für Auftreten von Extremwerten: Ergebnis herleiten über Durchführung der Ableitung. Damit können die Zeitpunkte für die Lage der Extremwerte bestimmt werden: Das erste Maximum liegt bei k=1. Damit ergibt sich: November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Bestimmung / Abschätzung der Einstellzeit Hier ist die Einhüllende als bestimmende Größe zu betrachten: November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Meyr, Aachen November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Interpretation: • Forderung nach schnellen Ausgleichsvorgängen (kurze Einstellzeit) und minimales Überschwingen sind nicht gleichzeitig erreichbar. • Bei schwingfähigen Systemen 2. Ordnung ist über die Wahl der Dämpfung und unter Berücksichtigung der ungedämpften Eigenkreisfrequenz das Übertragungsverhalten einzustellen. • Dominantes Polpaar Ein konjugiert komplexes Polpaar dominiert das Systemverhalten für zusammengesetzte Systeme mit mehreren Pol- und/oder Nullstellen, wenn gilt: Andere einfache Pole liegen weit links hiervon Wenn ein anderer einfacher Pol in der Nähe und in Kombination mit einer Nullstelle liegt. November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, D>1, nicht Schwingfähig: Kenngrößen D=5 0=10 PN-Diagramm: sp 1 = -1 sp 2 = -100 November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, D=1, nicht Schwingfähig: Kenngrößen D=1 0=10 PN-Diagramm: sp 1 = -10 sp 2 = -10 November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, 0<D<1, schwingfähig: Kenngrößen D = (0. 05, 0. 1, 0. 2, 0. 3, 0. 5, 0. 7) 0=1 November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung Schwingfähiges System mit Variation der Dämpfung Lage der Pole& Nullstellen Kenngrößen D = (0. 05, 0. 1, 0. 2, 0. 3, 0. 5, 0. 7) 0=1 November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in der Kurvendarstellung Amplitudengang: Überschwingamplitude ist von der Dämpfung D abhängig. November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Fallunterscheidung Amplitudengang Maximumbestimmung Bildung der Ableitung |G(j )| und Bestimmung der Nullstellen. Ergebnis liefert: Maximum stellt sich ein bei Quelle: Wendt November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PTn-Element (Regelstrecke) PTn-Elemente höherer Ordnung können insgesamt auf Multiplikation Von PT 2 -Gliedern mit PT 1 -Gliedern zurückgeführt werden. Die Behandlung von PTn-Gliedern mit Bestimmung von Sprungantwortverhalten und Systemidentifizierung von gemessenen Sprungantworten wird in der Vorlesungsreihe PROZESSANALYSE gegeben. November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1) November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2) November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (3) © Übetragungsglieder 1 - 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag November 2002 / Regelungstechnik Blatt 3. 36 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel