Vorlesung Regelungstechnik 2 Zustandsregelung 9 Juli 2003 Hochschule

Vorlesung Regelungstechnik 2 Zustandsregelung 9. Juli 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung graphische Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systemeigenschaften Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Wir kennen folgende Systemeigenschaften: • Stabilität von Systemen (setzen wir voraus) • Steuerbarkeit von Systemen • Beobachtbarkeit von Systemen Definition: Ein Übertragungssystem (in Zustandsgleichungen) ist steuerbar, wenn eine Eingangsvariable u so existiert, so dass die Zustandsvariable x(t) von einem beliebigen Anfangszustand x(to) in einen beliebigen Endzustand x(t. E) überführt werden kann. Die Steuerzeit t = t. E-to muss endlich sein. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Satz: Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig steuerbar, wenn der Rang der (n, np)-Steuerbarkeitsmatrix QS: gerade n ist, also r(QS) = n. Alternativ bedeutet das, das det QS 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systemeigenschaft der Beobachtbarkeit Die Eigenschaft Beobachtbarkeit liefert eine Aussage darüber, ob man mit den zur Verfügung stehenden Ausgangsgrößen, unabhängig von rein meßtechnischen Problemen, alle Informationen aus dem System entnehmen kann, die zum Entwurf einer Regeleinrichtung erforderlich sind. Definition Ein lineares zeitinvariantes System ist dann vollständig beobachtbar, wenn der Anfangszustand x(t 0) aus dem Verlauf des Ausgangsvektors v(t) innerhalb eines endlichen Zeitintervalls t-t 0 bestimmt werden kann. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen? Satz: Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig beobachtbar, wenn der Rang der (n, nq)-Beobachtbarkeitsmatrix QB: gerade n ist, also r(QB) = n. Alternativ bedeutet das, das det QB 0 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen? Beispiel Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übungsbeispiele Überprüfung ob die Zustandsgleichung mit den Matrizen vollständig Steuerbar und beobachtbar ist. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übungsbeispiele Überprüfung ob die Zustandsgleichung mit den Matrizen vollständig Steuerbar und beobachtbar ist. Lösung für Überprüfung der Steuerbarkeit Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übungsbeispiele Überprüfung ob die Zustandsgleichung mit den Matrizen vollständig Steuerbar und beobachtbar ist. Lösung für Überprüfung der Beobachtbarkeit Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zustandsregelung Problemstellung: Gegeben sei ein lineares zeitinvariantes System in Zustandsdarstellung. Eigenschaften: • Mit A, B, C konstant und vom Typ (n, n), (n, p), (q, n) • Anfangszustand x(to)=0 • System ist steuerbar, d. h. das System kann innerhalb einer Zeit tb in einen beliebigen Zustand xb gebracht werden. Bei einer Regelung heißt das, das die Ausgangsgröße auf den Sollwert gebracht wird. • Aufgabe für Regelung • Rückführung der Zustandsgrößen erforderlich. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zustandsregelung Bild 12. 3 -2, Wendt, S 597 Die Zustandsgrößen werden über die Matrix R zurückgeführt. R ist eine Konstante (p, n)-Matrix mit p = Anzahl der Steuergrößen (Eingangsgrößen) und n die Anzahl der Zustandsvariablen. Matrix R entspricht einem proportional wirkenden Regler. Der Regler liegt hier in der Rückführung. Alternativ kann der Regler auch an der gewohnten Stelle positioniert werden. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zustandsregelung Aufstellen der Gleichungen Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zustandsregelung Die Systemmatrix der Zustandsregelung ist A+BR. Die Aufgabe der Regelung ist es, die Werte der Matrix R so zu bestimmen, dass ein gewünschtes Verhalten des Regelkreises erzeugt wird. Es gibt verschiedene Verfahren: • Polvorgabe (Thema heute) • Entwurf auf endliche Einstellzeit • Modale Regelung Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Klassische Regelungstechnik • Bestimmung der Führungsübertragungsfunktion. Dynamisches Verhalten und Systemstabilität wird bestimmt durch die Lage der Pole von GW(s). Zur Untersuchung der Stabilität werden die Nullstellen der charakteristischen Gleichung P(s) = 0 bestimmt. Liegen Polstellen nahe an der imaginären Achse, dann beeinflussen diese überwiegend das Zeitverhalten. Zustandsregelung: • Führungsübertragungsfunktion ist von den Systemmatrizen und der Regler Matrix R abhängig • Für die Angabe ist die Inverse der Transitionsmatrix des zustandsgeregelten Systems zu bilden. Für die Dynamik und Stabilität bestimmende Teil ist vom Nenner (Determinate) abhängig. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Herleitung des Verfahrens: • Die Zustandsgleichungen sollen in Form der Regelungsnormalform vorliegen. Allgemeiner Fall wird betrachtet Zähler- und Nennergrad sind gleich, so dass an ungleich 1 ist. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Herleitung des Verfahrens: • Die neue Systemmatrix kann zusammengefasst werden. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Herleitung des Verfahrens: • Bestimmung der Determinaten im Rahmen der Inversen-Matrixbestimmung Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 23 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Formulierung des Verfahrens Bestimmung der charakteristischen Gleichung und Bestimmung der Polstellen für den allgemeinen Fall: Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Formulierung des Verfahrens Polvorgabe Verfahren: • Das Verfahren der Polvorgabe besteht darin, die konstante Reglermatrix R so zu wählen, dass die Eigenwerte (Polstellen) sp 1, sp 2 bis spn des geschlossenen Regelkreises vorgegebene Lagen in der s-Ebene einnehmen. • Das Verfahren sagt nichts darüber aus, wie die Pole sinnvollerweise zu wählen sind. Das ist letztlich Aufgabe der Auslegung und der formulierten und zu realisierenden Anforderungen an den Regelkreis Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Betrachtung an einem Beispiel für System 2. Ordnung: • Zustandsgleichungen mit Reglerrückführung Bild 12. 3 -3, Wendt, S. 600 Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Betrachtung an einem Beispiel für System 2. Ordnung: • Lösung der Determinate für Führungsübertragungsfunktion Fallunterscheidungen für Lage der Pole: • Die Lage der Pole der resultierenden Übertragungsfunktion sind von den Systemeigenschaften und von den Reglerkennwerten abhängig. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglereinstellung auf Polvorgabe Fallunterscheidungen für Lage der Pole: • Die Lage der Pole der resultierenden Übertragungsfunktion sind von den Systemeigenschaften und von den Reglerkennwerten abhängig. • Fall 1: r 1 und r 2 = 0 Pole entsprechen genau den Polen der Regelstrecke • Fall 2: r 1 =0 Rückführung der inneren Zustandsvariablen Wurzelortskurve: Verlauf der Polstelle bei Variation von r 2 • Fall 3: r 2 =0 Rückführung der äußeren Zustandsvariablen Wurzelortskurve: Verlauf der Polstelle bei Variation von r 1 • Fall 4: Rückführung beider Zustandsvariablen Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen Lösung für keine Rückführung Lösung für Rückführung der inneren Zustandsgröße Lösung für Rückführung der äußeren Zustandsgröße Lösung für Rückführung beider Zustandsgrößen Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen Variation der Rückführungswerte r 1 und r 2: • Die Variation der Rückführwerte kann über die Wurzelortskurven bestimmt werden. • Variation von r 1 liefert folgende Wurzelortskurve Bild 12. 3 -4 Lutz, Wendt, S. 602 • Variation von r 2 liefert Bild 12. 3 -5 Lutz, Wendt, S. 602 folgende Wurzelortskurve • Erfahrung Bei Beschränkung auf einzelne Rückführungen von Zustandsgrößen geben sich Einschränkungen in der Vorgabe der Pole. Nur wenn alle Zustandsgrößen zurückgeführt werden, können alle Pole frei gewählt werden. Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Gegeben ist das Zustandsgrößensystem Das System soll über einen Zustandsregler auf die Postellen – 3 und -1 - j und -1+j. Bestimmen Sie die Rückführungswerte der Matrix R Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Gegeben ist die Übertragungsfunktion Lösen Sie folgende Aufgaben: • Stellen Sie die Übertragungsfunktion als Zustandsgleichungen in der Regelungsnormalform dar • Bestimmen Sie die Polstellen des Systems • Das System soll über Zustandsregler eingestellt werden. Eine Polstelle liegt bei – 10. Die anderen sind so zu bestimmen, dass eine Ausregelzeit von 1 sec und ein maximales Überschwingen von 4. 2% auftritt. • Bestimmen Sie die Rückführungswerte der Matrix R Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 32 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Vorfilter hilft, dass eine stationäre Regeldifferenz durch Einsatz von P-Regelanteilen kompensierbar ist. Bestimmung des Vorfilters Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Vorfilter Bestimmung des Vorfilters Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 9. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel