Vorlesung Systemtheorie bertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises Stabilittsbewertung 1

Vorlesung Systemtheorie Übertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises / Stabilitätsbewertung 1. Juli 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten der Regeleinrichtung w e x Regeln GR(s) z 1 y Regelstrecke GS(s) z 2 x Messen GM(s) = 1 Beschreibung der Kenngrößen • w Führungsgröße • e Regeldifferenz • y Stellgröße • z 1 Versorgungsstörgröße • z 2 Laststörgröße • x Regelgröße Juli 2003 Systemtheorie Beschreibung Übertragungsglieder: • GR Übertragungsfunktion Regler • FR Frequenzgang Regler • Gs Übertragungsfunktion Strecke • Fs Frequenzgang Strecke Blatt 11. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Verhalten des Regelkreises Führungsverhalten: • Auswirkung einer Sollwert-/Führungsgrößenänderung auf die Regelgröße z=0 w x e - Regeln GR(s) y x Regelstrecke GS(s) x x Messen GM(s) = 1 Störgrößenverhalten: • Auswirkung einer Änderung der Versorgungs- oder Laststörgröße auf die Regelgröße Z 1 Z 2 Regeln Regelstrecke w=0 x xw x e - GR(s) y GS(s) Messen GM(s) = 1 Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regelkreisgleichungen Führungsverhalten: Störübertragungsverhalten: Juli 2003 Systemtheorie nur W(s) wirkt auf den Regelkreis nur Z 1(s) wirkt auf den Regelkreis nur Z 2(s) wirkt auf den Regelkreis Blatt 11. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regelkreisgleichungen Führungsverhalten: Störübertragungsverhalten: Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regelkreisgleichungen Aus folgt für die Regeldifferenz: Da die Übertragungsfunktion immer aus einem Zähler- und Nenner. Polynom bestehen, ist auch folgende Schreibweise möglich: Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse des Führungsübertragungsverhaltens Quelle: Wendt, Taschenbuch der RT Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse des Störübertragungsverhaltens Versorgung Wendt, S. 194 5. 1. 3 Quelle: Wendt Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnisse des Störübertragungsverhaltens Last Wendt, S. 195 5. 1. 4 Quelle: Wendt Taschenbuch der Regelungstechnik Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Berechnungsbeispiel Folgende Größen sind bekannt: KR = 4, KP = 2, TS = 5 s, KI = 1 s-1 Zum Zeitpunkt t=0 werden folgende Größen aufgeschaltet: • Führungsgröße: Sprung mit Amplitude 2 • Störgröße 1: Sprung mit Amplitude 1 • Störgröße 2: Sprung mit Amplitude 0. 5 Gesucht sind: • Anfangswert der Regelgröße x(t) • Endwert der Regelgröße x(t) • stationärer Wert der Regeldifferenz e(t) Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösungen: x(0) x( ) e( ) = 0. 5 = 2. 25 = -0. 25 Bewertung: • Führungsübertragungsverhalten führt dazu, dass Sollwert 2 sicher erreicht wird. • Störübertragungsgröße mit Wert 1 wird mit Faktor 1/Kp gedämpft. • Bei Einsatz eines I-Reglers würde die Störung komplett beseitigt werden. (Überprüfen durch Ersetzen von GR(s) = KIR/s) Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Statisches Verhalten Regelkreis Grenzwertsätze x( ) = lim(s. X(s)) für s->0 x(0) = lim(s. X(s)) für s-> Ziel der Regelung: Regelgröße wird auf Führungssollwert angepaßt Störungen werden ausgeglichen GW(s) = G 0/(1+ G 0) = X(s)/W(s) 1 GZ(s) = GS/(1+ G 0) = X(s)/Z(s) 0 Damit folgt für Beide Forderungen sind nicht mit jedem Regler vollständig zu erfüllen. Ergebnisse ist vom eingesetztem Regler abhängig. Wir wissen: Juli 2003 Systemtheorie Bei Einsatz eines P-Reglers verbleibt eine stationäre Regelabweichung von e( ) = 1/(1+G 0(0)) Bei Einsatz eines I-Reglers gilt e( ) = 0 Blatt 11. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ausregelbarkeit von Störungen Quelle: Wendt, Taschenbuch der Regelungstechnik Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ausregelbarkeit von Störungen S. 198 Wendt oben Quelle: Wendt, Taschenbuch der Regelungstechnik Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Statisches Verhalten Regelkreis Beispiel: Regelkreis bestehend aus P-Regler mit PTn-Glied Fall 1: Nur Sollwertaufschaltung mit W(s) = 1/s und Z 1(s) = 0 x( ) = lim(s. X(s)) = lim(s. GW(s)) = KPKS/(1+KPKS) < 1 Fall 2: Nur Störgrößenaufschaltung mit W(s) = 0 und Z 1(s)= 1/s x( ) = lim(s. X(s)) = lim(s. GZ 1(s)) = KS/(1+KPKS) < 1 Überlagerung von Stör- und Führungsverhalten: Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Führungsverhalten an Beispielen (P-Regler mit PT 2) Blockschaltbild / Wirkungsplan des Regelkreises GS(s) = Ks/{ (1+s. T 1)(1+s. T 2)} = Ks / (1 +s(T 1+T 2) +s. T 1 T 2) GR(s) = Kp Schreibweise des Nennerpolynoms: Koeffizientenvergleich liefert: Es gilt: Für alle D > 1 gilt: Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 16 s 2 + 2 D os + o 2 D = (T 1+T 2)/(2 T 1 T 2) o 2 = 1/(T 1 T 2) D > 1 für alle T 1 T 2 kein schwingendes System © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Führungsverhalten an Beispielen (P-Regler mit PT 2) Ergebnis der Rückführung GW(s) Gw(s) = Ks. Kp / (1 + Ks. Kp +s(T 1+T 2) +s. T 1 T 2) Neue Kreisfrequenz: om. R 2 = (1 + Ks. Kp)/(T 1 T 2) > oo. R 2 Neue Dämpfung: Do. R = (T 1+T 2)/(2 T 1 T 2) = (T 1+T 2)/(2 oo. R) 2 Dm. R om. R = 2 Do. R oo. R Dm. R = Do. R oo. R/ om. R = Do/ (1 + Ks. Kp) Ein System 2. Ordnung mit Do. R > 1 (nicht schwingfähig) kann durch die Rückführung in ein schwingfähiges System (D<1) übergehen, wenn das Produkt aus Ks. Kp groß genug wird. Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele Mathlab Simulation von Regelstrecken und Regelkreisen mit MATLAB/SIMULINK Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3: Juli 2003 Systemtheorie PT 2 -Glied mit und ohne Rückführung Reduzierung der Dämpfung durch Rückführung stationäre Regelabweichung bei Rückführung PT 2 -Glied mit P und I-Regler Erhöhung P-Anteil führt zu Reduzierung stationären Regelabweichung P-Regler bei PT 2 immer stabil I-Regler keine Regelabweichung Instabilität bei I-Regler möglich PT 3 -Glied mit P und I-Regler P-Regler kann instabil werden I-Regler kann instabil werden Blatt 11. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stabilität Feststellungen: • Rückgeführte Systeme können instabil werden • Instabilität führt zu schwingenden Systemantworten mit ständig ansteigenden Amplituden • Neigung zur Instabilität hängt offenbar von den Kenngrößen Regelstrecke und Parametrierung des Reglers ab Definition der Stabilität: Ein LTI-System heißt stabil, wenn seine Gewichtsfunktion asymptodisch gegen Null abklingt mit lim g(t) für t-> =0. Geht die Gewichtsfunktion betragsmäßig mit wachsendem t gegen , ist das System instabil. Als grenzstabil bezeichnet man Systeme, deren Gewichtsfunktion betragsmäßig für wachsende t gegen einen endlichen Wert läuft. Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stabilität Für Regelungsaufgaben besteht Forderung nach stabilen Systemen. Ein Regelkreis muß auf jede beschränkte Eingangssignal mit einem eingegrenzten Ausgangssignal verlaufen. Beispiele: PT 1 -Glied mit G(s) = K/(1+s. T) -> g(t) = K/T e-t/T Grenzwert für t -> : 0 I-Glied mit G(s) = K/s -> g(t) = K Grenzwert für t-> : K Doppel I-Glied mit G(s) = K/s 2 -> g(t) = Kt Grenzwert für t -> : Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stabilität ist eine Eigenschaft der Gewichtsfunktion, somit von G(s) ist häufig eher bekannt als g(t). Daher ist das Kriterium der Stabilität in der s-Ebene zu übertragen. G(s) = Z(s)/N(s) mit N(s) = ao + a 1 s +. . . + ansn = an(s-s 1)(s-s 2). . (s-sn) Linearfaktoren (s-si) im Nenner können in den Zeitbereich zugeführt Werden z. B. Partialbruchzerlegung. Beispiel: G(s) = K/(s-a) <-> g(t) = K eat G(s) = K/(s+a) <-> g(t) = K e-at Verlauf instabil Verlauf ist stabil Damit sind die Lage der Polstelle ein Kriterium für Bewertung der Stabilität. Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Stabilität P(s) = N(s) = ao + a 1 s +. . . + ansn = 0 Für die Stabilitätsbeurteilung genügt es, die Lage der Polstellen zu Untersuchen: Es gilt: Stabil, wenn alle Pole in der linken s-Halbebene liegen Grenzstabil, wenn sich mindestens einfacher Pol auf der imaginären Achse sich befindet und keine mehrfachen Pole auf der Imaginärachse auftreten. Instabil, wenn Pole in der rechten s-Halbebene liegen oder mindestens ein mehrfacher Pol auf der s-Achse liegen Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Stabilität Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 23 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Algebraisches Stabilitätskriterium nach Hurwitz Es ist das charakteristische Polynom P(s) gebildet aus 1 + G RGS zu bilden und wie folgt zu untersuchen: Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für Hurwitz-Kriterium System 2. Ordnung : P(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 D 1 = a 1 > 0 D 2 = a 1 a 2 wegen a 3 = 0 Ergebnis: System 2. Ordnung stabil für • Koeffizienten a 0, a 1, a 2 > 0 • alle Koeffizienten sind von Null verschieden System 3. Ordnung : P(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + a 3 s 3 D 1 = a 2 > 0 D 2 = a 1 a 2 - a 1 a 2 > 0 D 3 = a 0 D 2 > 0 Ergebnis: System 3. Ordnung stabil für • Koeffizienten a 0, a 1, a 2, a 3 > 0 • alle Koeffizienten sind von Null verschieden • Determinaten D 1 bis D 3 sind positiv Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übungsbeispiel Quelle: Walter, Kompaktkurs Regelungstechnik Juli 2003 Systemtheorie Blatt 11. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel