Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitaler Regelkreis 14 Mai 2003

Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitaler Regelkreis 14. Mai 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regelungstechnik 2 Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2 Digitale Regelung • Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale • Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen • Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler, Halteglieder) • Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente P, I, D und Kombinationen hiervon • PID-Regelalgorihtmen • Einstellregeln für digitale Regelkreise • z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im Frequenzbereich • Stabilität von digitalen Regelkreisen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übergang vom zeitkontinuierlichen zum zeitdiskreten Signal Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandler in ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandlet x(t) -> x(k. T) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandler in ein kontinuierliches Signal gewandelt y(kt) -> y(t) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden. Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgeräten beeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größen in analoge Größen vorzunehmen. Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folge der Stellwerte y(k. T) aus der Folge e(k. T). April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Beschreibung des digitalen Regelkreises: • Im Zeitbereich Bestimmung von w(k), e(k), y(k) <-> y(t), x(t) <-> x(k) Bestimmung von rekursiven Algorithmen zur Bestimmung von x(k+1) = f(x(k), . . . ) Für den Regelalgorithmus werden Eigenschaften von P, I und D-Anteilen • Im Bestimmung von W(z), Bestimmung von Übertragungsfunktionen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 6 Frequenzbereich E(z), Y(z) Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis in diskreter Darstellung Bestimmungsgleichungen: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Herleitung digitaler Regelalgorithmen: • Betrachtungsfall quasikontinuierliche Regelung durch Einschränkung der Abtastzeit T << Systemzeit geschlossener Regelkreis (T <= 0. 1 Systemzeit) • Bei dieser Annahme ist davon auszugehen, dass sich der Signalverlauf von Abtastwert zu Abtastwert sich nicht stark verändert. • Dimensionierung aus der analogen Regelungstechnik können übernommen werden. Liegen Parameterwerte des analogen Reglers GR(s) vor, dann müssen diese nur in den diskreten Bereich umgesetzt werden. • Allgemeiner Fall ist der PID-Regler. Alle Regler lassen sich hieraus ableiten. Das Regelverhalten lässt sich hieraus im Zeit- und Frequenzbereich angeben. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Additiver PID-Regler: April 2003 / Regelungstechnik 2 Überführung in den zeitdiskreten Bereich mit folgenden Näherungen: Blatt 2. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung des diskretisierten Stellsignals des Reglers basierend auf der analogen PID-Reglerdefintion: Hinweis: Die diskrete Überführung des I-Elementes ist unterschiedlich möglich. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Basisalgorithmen für digitale Regelungen Integralalalgorithmus Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen approximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung) April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Basisalgorithmen für digitale Regelungen Typ 1 KI = 1 s-1 T= 1 s Typ 2 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Basisalgorithmen für digitale Regelungen April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung des diskretisierten Stellsignals des Reglers basierend auf der analogen PID-Reglerdefintion: Hinweis: Die diskrete Überführung des I-Elementes ist unterschiedlich möglich. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung eines rekursiven Algorithmus für u(k): April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Bestimmung der z-Transformation des allgemeinen diskreten PID-Reglers April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten PReglers Nur proportionaler Anteil ist wirksam: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten IReglers Nur integraler Anteil ist wirksam: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten IReglers – Herleitung Nur integraler Anteil ist wirksam: Berechnung für Typ I April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten PIReglers Proportionaler und integraler Anteil ist wirksam: Berechnung für Typ I April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten DReglers Nur differenzierbarer Anteil ist wirksam: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung des diskreten PDReglers Kein integraler Anteil ist wirksam: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Betrachtung des digitalen Regelkreises Digitale Regelkreis mit Kombination von diskreter und analoger Signalverarbeitung. Wirkungsweise des Halteelementes vor Regelstrecke Bezeichnung: Halteglied 0. Ordnung (Zero Order Hold = ZOH) Bild 2. 2. 2, Unbehauen, S. 106 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Mathematische Betrachtung des Halteelementes Andere Halteglieder Sind ebenfalls möglich z. B. Trapezverlauf April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Halteglied ist vor Regelstrecke positioniert. Damit ergibt sich folgende Anordnung Bild 2. 4. 2 Unbehauen, S. 121 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis Mathematische Betrachtung Bestimmung der z-Transformierten der analogen Regelstrecke mit Halteglied 0. Ordnung: Übungsaufgabe 2. 1 bis 2. 3 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Tabellenauszug zur z- und Laplace-Transformation April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Tabellenauszug zur z- und Laplace-Transformation April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

System mit Totzeit Gegeben ist ein System G(s) mit einer Totzeit Tt. Zeitverhalten der Sprungantwort führt zu einer um Tt verschobenen Sprungantwort gegebenüber einem System ohne Totzeit. Im zeitdiskreten würde also die Antwort auch eine verschobene Folge als Systemantwort darstellen. Die Größe der Verschiebung ist hier vom Verhältnis der Totzeit zur Abtastzeit abhängig. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

System mit Totzeit Beispiel Übung 2. 5 b April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Quasistationärer diskreter Regelkreis mit Auslegung des Reglers im nach bekannten analogen Einstellkriterien und anschließender Übertragung in diskrete Darstellung. Bild 5 -31, Gassmann, S. 448 Vorgabe für Reglereinstellung: • Kompensation der Zeitkonstanten • Proportional wirkendes Stellglied • Gesamtzeitkonstante des resultierenden Regelkreises soll 10 -mal kleiner als die Streckenzeitkonstanten betragen. April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Lösung: April 2003 / Regelungstechnik 2 Konkrete Werte: TN=T 1=0. 2 sec KP = 5 s-1 K 1 = 0. 8 sec T 1 = 0. 2 sec Blatt 2. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Lösung: Konkrete Werte: TN=T 1=0. 2 sec T = 0. 02 sec Bestimmung der Reglerkennwerte für diskreten PI-Regler: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Digitaler Regelkreis mit Reglerauslegung Wie sieht die Gesamtführungsübertragungsfunktion des Systems aus? April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Diskreter PI-Regler: Analoge PT 1 -Strecke: Für den Fall Tt = T µ=1 April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: Dimensionierung für analogen Fall: April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 36 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises mit Einsetzen der Regler Parameter: Näherung April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 37 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeiner Fall: PI mit PT 1 Strecke mit Totzeit Vereinfachung des Übertragungsfunktion: Damit vereinfacht sich die Führungsübertragungsfunktion: System 2. Ordnung April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 2. 38 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel