NUMERE NATURALE LECIA NR 2 Prof FLORESCU NICOLAE

NUMERE NATURALE LECŢIA NR. 2 Prof. FLORESCU NICOLAE

LECŢIA nr. 2 (3 ore) Şirul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea şi ordonarea numerelor naturale La sfârşitul lecţiei, elevul va fi capabil: w 1. 1 să scrie şi să citească numere naturale 2. 3 să descopere, să recunoască, să asocieze si să completeze succesiuni de numere asociate după reguli date sau identificate prin observare w 3. 1 să identifice informaţiile esenţiale dintr-un enunţ matematic prezentat în diferite forme w 3. 2 să prezinte clar, corect şi concis, oral sau în scris, metodele şi/sau operaţiile utilizate în rezolvarea unei probleme w 4. 1 să-şi formeze obişnuinţa de a exprima printr-un enunţ matematic anumite probleme practice w

Tipuri de exerciţii: w w w 1. 1. - Exerciţii de reprezentare a numerelor naturale pe axa numerelor 2. 3. - Reprezentarea numerelor naturale ca şir, cu identificarea regulii sale de formare şi cu evidenţierea caracterului sau infinit 3. 1. - Exerciţii de comparare a două numere naturale folosind simbolurile de egalitate şi de inegalitate: =, , , <, > - Utilizarea exprimărilor , , cuprinse între”, , , cel mult egal”, , , cel puţin egal “ în contexte variate 3. 2. - Rezolvarea unor probleme de numărare bazate pe scrierea, citirea, compararea şi ordonarea numerelor naturale 4. 1. - Exerciţii de recunoaştere a unei reguli de formare a unor succesiuni de numere naturale şi completarea acestora cu termeni potriviţi

Reprezentarea numerelor naturale pe axă 1. Desenaţi o axă a numerelor naturale şi apoi reprezentaţi pe ea punctele corespunzătoare numerelor: 0, 1, 3, 4, 7. Notaţi punctele reprezentate cu literele O, A, C, D, respectiv G. Rezolvare: Vom desena o dreaptă, pe aceasta vom fixa punctul O numit “origine”, corespunzător numărului natural 0 şi punctul A corespunzator numărului natural 1. Luând apoi segmentul OA ca unitate de măsura vom aşeza în continuare, ăn sensul de la O spre A, celelalte numere, iar punctele corespunzătoare le vom nota cu literele date.

Reprezentarea numerelor naturale pe axă 2. Desenaţi pe o axă a numerelor naturale punctele A(1), B(2), E(5), F(6), K(11). Rezolvare: Am învăţat că A(1) înseamnă punctul A căruia pe axa numerelor îi corespunde numărul natural 1 (are coordonata 1). Inseamnă că punctul A se va reprezenta la distanţa de o unitate de măsură faţă de punctul O (originea axei). La fel vom judeca pentru fiecare dintre celelalte puncte şi vom obţine reprezentarea:

Reprezentarea numerelor naturale pe axă 3. Precizaţi coordonata fiecaruia din punctele: O, A, D, H, M care sunt desenate pe axa alăturată. Rezolvare: Am învăţat că: “fiecare numar reprezentat pe axă este coordonata punctului cu care corespunde”. Cu alte cuvinte “numărul corespunzător fiecarui punct reprezentat pe axă este coordonata acelui punct”. Punctul O (originea), prin definiţie corespunde cu numarul 0. Deci coordonata lui O este zero. Se mai scrie O(0). Punctul A corespunde cu numărul 1. Deci coordonata lui A este 1. Se mai scrie A(1). Pentru celelalte puncte, numărând unităţile de măsură cuprinse între O şi fiecare punct, aflăm coordonatele acestora. Astfel obţinem: D(4); H(8); M(13).

Reprezentarea numerelor naturale pe axă 4. Precizaţi poziţia relativă a numărului 27 faţă de numărul 127, atunci când acestea sunt aşezate pe axa numerelor naturale. Rezolvare: Am învăţat că: atunci când două numere care nu sunt egale sunt reprezentate pe o axă, întotdeauna numărul mai mic este aşezat la stânga celui mare. Rezultă că: deoarece 27 < 127, înseamnă că atunci când numerele naturale 27 şi 127 vor fi reprezentate pe o axă, 27 se va afla la stânga numărului 127.

Reprezentarea numerelor naturale pe axă 5. Completaţi: Pe axa numerelor a) 107 se află la … lui 701; b) 920 se află la … lui 902. Rezolvare: a) Deoarece 107 < 701, rezultă că pe axa numerelor 107 se află la stânga lui 701. b) Deoarece 920 > 902, rezultă că pe axa numerelor 920 se află la dreapta lui 902.

Şirul numerelor naturale 1. Scrieţi, în ordine crescătoare, numerele naturale nenule care sunt cel mult egale cu 15. Rezolvare: Număr natural nenul înseamnă număr natural diferit de zero. In cazul acesta cel mai mic număr natural nenul este 1. Cel mai mare număr natural care este “cel mult egal” cu 15, este 15. In ordine crescătoare înseamnă să începem cu cel mai mic număr permis şi să continuăm până ajungem la cel mai mare număr permis de exerciţiu. Numerele care trebuie scrise sunt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Şirul numerelor naturale 2. Scrieţi, în ordine descrescătoare, numerele naturale cel puţin egale cu 23 şi cel mult egale cu 36. Rezolvare: - “numere naturale cel puţin egale cu 23” înseamnă că cel mai mic număr permis de exerciţiu este 23. - “numere naturale cel mult egale cu 36” înseamnă că cel mai mare număr permis de exerciţiu este 36. - “ordine descrescătoare” înseamnă că trebuie să începem cu numărul cel mai mare şi apoi să scriem toate numerele naturale mai mici decât el, până ajungem la cel mai mic număr permis de exerciţiu. Numerele care trebuie scrise sunt: 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23.

Şirul numerelor naturale 3. Câte numere din şirul numerelor naturale sunt mai mici decât 275 ? Rezolvare: Cel mai mare număr natural care este “mai mic decât 275” este numarul 274. De la 1 la 274 sunt 274 de numere, dar cel mai mic numar natural este 0. Inseamnă că de la 0 la 274 sunt 274 + 1 = 275 de numere naturale. Răspuns: In şirul numerelor naturale sunt 275 de numere mai mici decât 275.

Şirul numerelor naturale 4. Câte numere naturale sunt cuprinse între numerele 172 şi 639 din şirul numerelor naturale ? Rezolvare: - Numere “cuprinse între 172 si 639” înseamnă numere “mai mari ca 172 şi mai mici ca 639”. - Cel mai mic număr, care este mai mare ca 172, este 173. Inseamnă că există 172 de numere naturale nenule care nu sunt mai mari ca 172 - Cel mai mare număr, care este mai mic decât 639, este 638. Inseamnă că sunt 638 de numere naturale nenule care sunt mai mici decât 639. - “ 638 – 172 = 466” şi deci există 466 de numere naturale “cuprinse între numerele 172 si 639”.

Şirul numerelor naturale 5. Câte numere naturale sunt mai mari decât 179 ? Rezolvare: Primul număr natural, care este mai mare decât 179, este 180. După aceea, toate numerele naturale care urmează după 180 sunt şi ele mai mari decât 179. Şirul numerelor naturale este infinit. Deci, există o infinitate de numere naturale care sunt mai mari decât 179.

Şirul numerelor naturale 6. Câte numere naturale de 3 cifre sunt mai mari sau cel puţin egale cu 146 ? Rezolvare: - Cel mai mic număr natural de trei cifre, care este “mai mare sau cel puţin egal” cu 146, este 146. Rezultă că există 145 de numere care “nu sunt mai mari sau cel puţin egale” cu 146. - Cel mai mare numar natural de trei cifre este 999. Observăm că acest număr este mai mare decât 146. - Aflăm câte numere naturale de trei cifre sunt mai mari sau cel puţin egale cu 146: “ 999 – 145 = 854”. Răspuns: Există 854 de numere naturale de trei cifre care sunt mai mari decât 146.

Şirul numerelor naturale 7. Aflaţi câte cifre se folosesc pentru a pagina o carte ştiind că suma numerelor corespunzătoare ultimelor două pagini este egală cu 359. Rezolvare: -Intâi trebuie să aflăm ce număr are ultima pagină a carţii. Privind în orice carte, observăm că numerele corespunzătoare ultimelor două pagini sunt două numere naturale consecutive. -Dacă ştim că suma a două numere naturale consecutive este 359, putem scrie relaţia: a + (a +1) = 359, unde cu “a” am notat cel mai mic dintre cele două numere consecutive. -Rezolvăm această “ecuaţie”: 2 a + 1 = 359 => 2 a = 359 – 1 => 2 a = 358 => a = 358 : 2 => a = 179. -Deci: ultima pagină a cărţii are numărul 179 + 1 = 180.

Continuarea rezolvarii exerciţiului 7: Acum trebuie să aflăm câte cifre conţin toate numerele naturale nenule, care sunt cel mult egale cu 180. - Pentru aceasta vom face întâi următoarele observaţii: a) există 9 numere naturale (de la 1 la 9) care se scriu folosind câte o singura cifra. b) există numerele de la 10 la 99, adică 99 – 9 = 90 de numere naturale care se scriu folosind câte două cifre. c) există numerele naturale de la 100 la 180, adică 180 – 99 = 81 de numere naturale care se scriu folosind câte 3 cifre. - Totalizând: 1 9 + 2 90 + 3 81 = 9 + 180 + 243 = 432, obţinem: Răspuns: Pentru “paginarea” carţii s-au folosit 432 de cifre. Obs. : “Paginarea” cărţii înseamnă scrierea pe fiecare pagină a numărului de ordine corspunzător. -

Şirul numerelor naturale 8. Aflaţi de câte ori se foloseşte cifra 1 pentru a scrie toate numerele naturale mai mici decât 111. Rezolvare: Pentru a rezolva problema trebuie să aflăm: 1) De câte ori se foloseşte cifra 1 ca cifră a unităţilor; 2) De câte ori se foloseşte cifra 1 ca cifră a zecilor; 3) De câte ori se foloseşte cifra 1 ca cifră a sutelor. Obs. : Numerele mai mici decât 111 au cel mult trei cifre. Deci: 1) Numerele care au cifra unităţilor 1 şi sunt mai mici decât 111 sunt: 1, 11, 21, …, 101, adică 11 numere (tot atâtea câte numere naturale sunt de la 0 la 10). 2) Numerele mai mici ca 111, care au cifra zecilor 1 sunt: 16, 17, 18, 19, 110, adică 11 numere. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 3) Numerele mai mici ca 111, care au cifra sutelor 1 sunt: 100, 101, 102, …, 111, adică 12 numere. Răspuns: Pentru scrierea tuturor numerelor naturale mai mici decât 111 se foloseşte cifra 1 de 11 + 12 = 34 ori.

Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1. Comparaţi numerele: 12 şi 22; 32 şi 34; 25 şi 52; 173 şi 173; 9876 şi 9867. Rezolvare: A compara două numere date înseamnă a spune dacă primul dintre ele este “mai mic”, “egal” sau “mai mare” decât al doilea dintre numerele date. In acest caz obţinem următoarele rezultate: 12 < 21 (pentru că primul are prima cifra – a zecilor – mai mică decât prima cifră a celui de-al doilea); 32 < 34 (pentru că cele două numere au pimele cifre egale, dar primul are a doua cifră – a unităţilor – mai mică decât a celui de-al doilea); 173 = 173 (pentru că cele două numere au toate cifrele corespunzătoare egale); 9876 > 9867 (pentru că primele două cifre sunt respectiv egale, dar primul are a treia cifră mai mare decât a treia cifră a celuilalt; ultimele cifre nu mai contează).

Compararea şi ordonarea numerelor naturale 2. Inlocuiţi literele cu cifre astfel încât relaţiile următoare să fie adevărate: ______ a) 3 x > 36; _______ d) x 5 < 65; ______ b) 4 y < 45; ______ e) ab = 15; ______ c) x 5 ≥ 75; _______ f) 23 < xy ≤ 32. Rezolvare: a) Dacă cele două numere au acelaşi număr de cifre şi cifrele de ordinul cel mai mare (zecilor) sunt egale, atunci cifra unităţilor primului nr. (x) trebuie sa fie mai mare ca cifra unităţilor celuilalt număr (6). Rezultă că x=7, sau x=8, sau x=9. b) Dacă cele două numere au acelaşi număr de cifre şi cifrele de ordinul cel mai mare (zecilor) sunt egale, atunci cifra unităţilor primului nr. (y) trebuie sa fie mai mică decât cifra unităţilor celuilalt număr (5). Rezultă că y=4, sau y=3, sau y=2, sau y=1, sau y = 0.

Compararea şi ordonarea numerelor naturale ______ c) Pentru că x 5 ≥ 75 trebuie ca x ≥ 7, adică x=7 sau x=8, sau x=9. ______ d) Pentru că x 5 < 65 trebuie ca x < 6, adică x=5 sau x=4, sau x=3, sau x =2, sau x=1. Deoarece x este prima cifră a unui numar de două cifre, înseamnă că x nu poate fi egal cu 0. e) Două numere naturale sunt egale numai dacă au cifrele corespunzătoare (de acelaşi ordin) egale. Deci trebuie ca neapărat a=1 şi b=5. _____ f) Dacă 26 < xy ≤ 32, atunci x=2 sau x=3. Dacă x=2 => y=7, sau y=8, sau y=9. Dacă x=3 => y=0, sau y=1, sau y=2. Deci numărul căutat poate fi: 27, 28, 29, 30, 31, 32.

Exerciţii cu şiruri de numere w w w Inteligenţa este o capacitate de a învăţa, dar şi o capacitate de adaptare. Un papagal poate recita textul unei adunări, dar nu poate face adunarea în sine. Adaptabilitatea este o capacitate de rezolvare a problemelor. Adaptabilitatea presupune în primul rând capacitatea de a discerne între situaţii. Această capacitate va trebui folosită cu prioritate în rezolvarea tipului de exerciţii la care vom lucra acum.

Exerciţii cu şiruri de numere 1. a) Priviţi numerele 13, 24, 35 şi completaţi: la aceste numere, numărul zecilor este cu … mai … decât numărul indicat de cifra unităţilor. b) Calculaţi diferenţa dintre numerele 24 şi 13, apoi diferenţa dintre 35 şi 24. Completaţi: diferenţa dintre două numere consecutive ale şirului 13, 24, 35, este constant egală cu …. c) Continuaţi şirul: 13, 24, 35, …, …, …. Rezolvare: a) 3 -1 = 2; 4 -2 = 2; 5 -3 = 2. => La aceste numere, numărul zecilor este constant cu 2 mai mic decât numărul indicat de cifra unităţilor. b) 24 -13=11; 35 -24=11. => Diferenţa dintre două numere consecutive ale şirului 13, 24, 35, este constant egală cu 11. c) Continuarea şirului: 13, 24, 35, …, …, …. este: 46, 57, 68.

Exerciţii cu şiruri de numere 2. Completaţi şirurile următoare: a) 11, 22, 33, …, …, …. b) 30, 27, 24, …, …, …. c) 19, 10, 16, 15, 13, 20, …, …. d) 1, 4, 16, 64, …, …. Rezolvare: a) Observând că diferenţa dintre două numere consecutive ale şirului este 11, înseamnă că numerele următoare sunt: 44, 55, 66. b) Observăm că numerele din şir sunt în ordine descrescătoare şi că diferenţa dintre două numere consecutive este constant egală cu 3. => numerele care trebuie să urmeze sunt: 21, 18, 15. c) Observăm că numerele de pe locuri impare sunt în ordine descrescătoare din 3 în 3, iar numerele de pe locuri pare sunt în ordine crescătoare din 5 în 5. => Numerele următoare sunt 10, 25. d) Observăm că fiecare număr al şirului, în afară de primul, este de 4 ori mare decât numărul din faţa (stânga) lui. => Numerele care trebuie să urmeze sunt: 256, 1024.

Exerciţii cu şiruri de numere 3. In şirul de numere: 77, 80, 777, 780, 7707, 7780, 77777, 77780, există un număr de pe o poziţie pară care nu respectă regula de formare a şirului. Corectaţi-l. Rezolvare: Observăm că numărul 7780, situat pe poziţia a şasea (pară), nu este cu 3 mai mare dacât numărul din faţa (stânga) lui, aşa cum se întâmplă cu toate celelalte numere aflate pe poziţii pare. Deci el este greşit. Numărul corect de pe poziţia a şasea este: 7707 + 3 = 7710.

Exerciţii cu şiruri de numere 4. In grupul de două şiruri care urmează, completaţi termenul lipsă: 62, 57, 55, 52, 43, …. 5, 2, 3, 9, 10. Rezolvare: Trebuie observat că fiecare număr din primul şir, începând de la al doilea, este diferenţa numerelor din coloana anterioară. Astfel: 57 = 62 – 5; 55 = 57 – 2; 52 = 55 – 3; 43 = 52 – 9. Inseamnă că numărul cerut va fi : 43 – 10 = 30.

Exerciţii cu şiruri de numere 5. In grupul de trei şiruri care urmează completaţi termenul lipsă: 8, 16, 13. 5, 13, 10. 7, 15, …. Rezolvare: Trebuie observat că fiecare număr din şirul al doilea este cu 3 mai mic decât numărul corespunzator al primului şir şi fiecare număr din al treilea şir este cu 2 mai mare decât numărul corespunzator al şirului al doilea (sau cu 1 mai mic decât numărul corespunzator al primului şir). Conform primei observaţii, numărul care lipseşte din al treilea şir se obţine ca 10 + 2 = 12. Conform observaţiei din paranteză el se obţine ca 13 – 1 = 12. Deci oricum el este 12.

Exerciţii cu şiruri de numere 6. In grupul de trei şiruri care urmează completaţi termenul lipsă: 2, 7, 14, 20, 39, …. 3, 4, 2, 5, 8, 3. 2, 3, 4, 5, 1, 7. Rezolvare: Trebuie observat că fiecare număr din primul şir, începând de la al doilea, este suma numerelor din coloana anterioara. Astfel: 7 = 2 + 3 + 2; 20 = 14 + 2 + 4; 14 = 7 + 4 + 3; 30 = 20 + 5; 39 = 30 + 8 + 1. Inseamnă că numărul cerut va fi : 39 + 3 + 1 = 43.

Scrierea şi citirea numerelor naturale Acum vreau să vă văd şi pe voi rezolvând asemănător astfel de exerciţii. w Dacă nu aţi reţinut suficient de bine modul de lucru, puteţi reveni asupra acestei prezentări pentru a o studia mai cu atenţie. w