RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah Vektor pada Rn Definisi

RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.

Vektor pada Rn • Definisi Ruang-n – Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real • Notasi: Rn – n = 2 pasangan terurut; – n = 3 triple terurut – n = 1 satu bilangan real (notasi: R 1 atau R) • 2 interpretasi geometris tripel terurut (a 1, a 2, a 3): – Titik: a 1, a 2, a 3 sebagai koordinat – Vektor: a 1, a 2, a 3 sebagai komponen vektor

Interpretasi tripel terurut

Operasi standar • Dua vektor u=(u 1, u 2, ···, un) dan v=(v 1, v 2, ···, vn) pada Rn – Sama u=v; u 1= v 1, u 2= v 2, ···, un= vn – Jumlah: u+v = (u 1+v 1, u 2+v 2, ···, un+vn) – Perkalian skalar: ku=(ku 1, ku 2, ···, kun) • Vektor nol Notasi: 0 0 = (0, 0, ···, 0)

Sifat-sifat aritmatika • Jika u=(u 1, u 2, ···, un), v=(v 1, v 2, ···, vn) pada Rn – Negatif: -u = (-u 1, -u 2, ···, -un) – Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v 1 -u 1, v 2 -u 2, ···, vnun) • Teorema: (k, l: skalar) § v+ u = u +v k(l u) = (kl) u § u + (v+w) = (u +v) + w k(u +v) = k u + kv § u + 0 = 0+ u = u (k+l) u = ku+lu § u +(- u)= 0 u - u = 0 1 u = u

Ruang n-Euclidean • Misal u=(u 1, u 2, ···, un), v=(v 1, v 2, ···, vn), w=(w 1, w 2, ···, wn) adalah vektor pada Rn dan k skalar • Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean: u·v = (u 1 v 1 + u 2 v 2 + ··· + unvn) • 4 sifat penting inner product u·v = v·u (u+v)·w = uw + vw (ku)·v = k(u·v) v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

Contoh 1 • Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18 • Cara penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa (3 u+2 v)·(4 u+v) = (3 u)·(4 u+v) + (2 v)·(4 u+v) = (3 u)·(4 u) + (3 u)·v + (2 v)·(4 u) + (2 v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

Norm dan jarak • Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u 1, u 2, ···, un): • Definisi jarak (distance) antara titik u=(u 1, u 2, ···, un) dan v=(v 1, v 2, ···, vn):

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz • Vektor u=(u 1, u 2, ···, un), v=(v 1, v 2, ···, vn) pada Rn • Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz: atau

Sifat-sifat norm dan jarak • Jika u dan v adalah vektor dan k skalar ü ||u|| ≥ 0 ü ||u|| = 0 iff u =0 ü ||ku|| = |k| ||u|| perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dr vektor sebesar k ku u u+v v u ü ||u +v|| ≤ ||u||+||v|| jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut

Vektor ortogonal • Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff u·v=0 • Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga u+v u • Teorema Phytagoras ||u+v||2=||u||2+||v||2 v

Ruang Vektor Real • Definisi ruang vektor V: – himpunan objek di mana dua operasi berikut didefinisikan pada V • jumlah dari pasangan objek dalam V • perkalian objek dengan skalar • Jika aksioma –aksioma untuk ruang vektor terpenuhi oleh seluruh objek u, v, w dalam V dan skalar k dan l, maka • V disebut ruang vektor • objek dalam V disebut vektor.

Aksioma-aksioma • Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u + v juga objek dalam V – u+v=v+u – u +(v +w) = (u+ v) + w • Objek 0 dalam V disebut vektor nol untuk V – 0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V • Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u – u + (- u) = (- u) + u = 0 • Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V – k(u +v) = ku + kv – k(l u) = (kl) u – 1 u = u

Bukti • Misal

Subspace (subruang) • Definisi: – Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V • Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W subspace dari V iff – Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W – Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

Contoh 1: subruang • Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v W adalah subruang dari R 3 u+v v ku u W • Garis melalui origin adalah subruang u+v u v W u ku W

Subruang dari R 2 dan R 3 • Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang: – Subruang V – Vektor nol dalam V subruang nol (zero subspace) • Subruang dari R 2 Ø Ø Ø {0} Garis melalui origin R 2 • Subruang dari R 3 Ø Ø {0} Garis melalui origin Bidang melalui origin R 3

Kombinasi linear dari vektor • Vektor w adalah kombinasi linear dari v 1, v 2, , vr dan k 1, k 2, , kr jika • Untuk r = 1: Ø Ø w = k 1 v 1 Kombinasi linear vektor tunggal v 1 • Vektor v=(a, b, c): kombinasi linear dari vektor basis standar

Contoh 2 • Vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) Tunjukkan bahwa ü w=(9, 2, 7): kombinasi linear dari u dan v ü w´=(4, -1, 8): bukan kombinasi linear • w kombinasi linear dari u dan v bila w = k 1 u + k 2 v (9, 2, 7) = k 1(1, 2, -1) + k 2(6, 4, 2) (9, 2, 7) = k 1+6 k 2, 2 k 1+4 k 2, -k 1+2 k 2 k 1 + 6 k 2 = 9; 2 k 1 + 4 k 2 = 2; -k 1 + 2 k 2 = 7 → k 1=-3; k 2=2 Maka w = -3 u + 2 v

Rentangan (spanning) • Jika v 1, v 2, , vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka – Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v 1, v 2, , vr adalah subruang V – W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v 1, v 2, , vr • Jika S = {v 1, v 2, , vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka – Subruang W dari seluruh kombinasi linear v 1, v 2, , vr disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut – W= span (S) atau W= span {v 1, v 2, , vr}

• Jika v 1 dan v 2 adalah vektor di R 3 dengan titik awal pada origin – Span{v 1, v 2} yang berisi seluruh kombinasi linear k 1 v 1 + k 2 v 2: bidang melalui origin yang ditentukan oleh v 1 dan v 2 • Jika v merupakan vektor di R 2 atau R 3 – Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv: garis yang ditentukan oleh v span{v 1, v 2} z k 1 v 1+ k 2 v 2 kv v 2 v v 1 x span{v} z k 1 v 1 y y x

Contoh 3 • Tunjukkan bahwa v 1 = (1, 1, 2), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (2, 1, 3) merentang ruang vektor pada R 3 • Tentukan vektor semu b=(b 1, b 2, b 3) sebagai kombinasi linear b = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 (b 1, b 2, b 3) = k 1(1, 1, 2) + k 2(1, 0, 1)+k 3(2, 1, 3) k 1 + k 2 + 2 k 3 = b 1 k 1 + k 3 = b 2 2 k 1 + k 2 + 3 k 3 = b 3 ü Sistem linear konsisten iff matriks koefisien A dapat diinverskan ü det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan ü v 1, v 2 dan v 3 tidak dapat merentang pada R 3

Kebebasan linear • Himpunan vektor S = {v 1, v 2, , vr} • Persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 + + krvr = 0 • Jika hanya ada satu solusi – k 1= 0, k 2 = 0, , kr = 0 – S adalah himpunan bebas linier (linearly independent) • Jika ada solusi yang lain – S disebut himpunan takbebas linear

Contoh 4 • Tunjukkan bahwa v 1 = (1, -2, 3), v 2 = (5, 6, -1), v 3 = (3, 2, 1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear • Persamaan vektor dalam komponen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0 k 1(1, -2, 3) + k 2(5, 6, -1)+k 3(3, 2, 1)=(0, 0, 0) (k 1+5 k 2+3 k 3, – 2 k 1+6 k 2+2 k 3, 3 k 1– k 2 +k 3) = (0, 0, 0) • Persamaan untuk tiap komponen k 1 + 5 k 2 + 3 k 3 = 0 – 2 k 1 + 6 k 2 + 2 k 3 = 0 3 k 1 – k 2 + k 3 = 0

Contoh 4 (cont. ) • Solusi sistem k 1= t/2; k 2 = -t/2; k 3 = t • Solusi nontrivial • v 1, v 2 dan v 3: himpunan takbebas linear • Eksistensi solusi nontrivial ü Determinan matriks koefisien sama dengan nol ü Matrik tsb tidak dapat diinverskan

Interpretasi geometri dari kebebasan linear z z z v 2 v 1 v 1 y y v 2 x (c) bebas linier (b) takbebas linier z y x x (a) takbebas linier z z v 1 v 3 v 2 y x v 2 v 1 (a) takbebas linier v 2 y v 3 v 1 x (b) takbebas linier x (c) bebas linier y

Basis • Definisi: – Jika V adalah ruang vektor – S = {v 1, v 2, , vn}: himpunan vektor dalam V – S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut • S adalah bebas linear • S merentang V (S spans V) • Teorema: – Jika S = {v 1, v 2, , vn}: basis untuk ruang vektor V – Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

Basis • Bukti: v = c 1 v 1+ c 2 v 2+ + cnvn dan v = k 1 v 1+ k 2 v 2+ + knvn • Kurangkan kedua persamaan 0 = (c 1– k 1)v 1+ (c 2 – k 2)v 2+ + (cn – kn)vn • Solusi: c 1= k 1, c 2 = k 2, , cn = kn • Kedua ekspresi untuk v adalah sama

Dimensi • Definisi: – Ruang vektor tak nol V disebut dimensi berhingga – Bila V berisi himpunan vektor-vektor berhingga {v 1, v 2, , vn} yang membentuk sebuah basis – Jika tidak terdapat himpunan vektor tersebut, V disebut dimensi tak berhingga • Teorema: – Jika V adalah ruang vektor dimensi berhingga dan {v 1, v 2, , vn} merupakan basis • Tiap himpunan yang memiliki vektor > n takbebas linear • Himpunan vektor < n tidak dapat merentang V

Dimensi • Catatan: – Bila S = {v 1, v 2, , vn} adalah basis untuk V – Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S – Basis untuk Rn memiliki n vektor – Basis untuk R 3 memiliki 3 vektor – Basis untuk R 2 memiliki 2 vektor – Basis untuk R 1 memiliki 1 vektor – Jumlah vektor dalam basis = jumlah dari dimensi

Contoh 5 • Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut: 2 x 1 + 2 x 2 – x 3 + x 5 = 0 – x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 + x 5 = 0 x 1 + x 2 – 2 x 3 – x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0

• Augmented matriks: • Reduksi eselon baris: • Bentuk reduksi dalam persamaan: x 1+ x 2+ x 5 = 0 x 3+ x 5 = 0 x 4 = 0

• Solusi: x 1 = –s –t; x 2 = s; • Dalam bentuk vektor: x 3 = –t; x 4 =0; x 5 = t;

• Vektor yang merentang ruang solusi: • Vektor v 1, v 2: bebas linear • {v 1, v 2}: basis • Ruang solusi: dua dimensi

Ruang baris, kolom dan nul • Jika A matriks m×n: – subruang Rn direntang oleh vektor baris disebut ruang baris dari A – subruang Rm direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom dari A – ruang solusi dari sistem homogen dari persamaan Ax = 0 yang merupakan subruang Rn disebut ruang nul dari A • Teorema: – Sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A

Contoh 6 • Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A:

Contoh 6 (cont. ) • Solusi sistem: x 1 = 2; x 2 = – 1; x 3 = 3 • Sistem konsisten b merupakan ruang kolom A • Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A

Basis untuk ruang baris, kolom dan nul • Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks • Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: – Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol) basis untuk ruang baris – Vektor kolom dengan leading 1 basis untuk ruang kolom

Contoh 7 • Matriks: • Basis untuk ruang baris: • Basis untuk ruang kolom:

Rank dan nullity • Rank: dimensi dari ruang baris dan ruang kolom • Notasi: rank(A) • Nulitas(nullity): dimensi dari ruang nul • Notasi: nullity(A) • rank(A)=dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom AT) • rank(A) + nullity(A) = n • Jumlah var. leading + jumlah var. bebas = n

Nilai maksimum dari rank • Jika A matriks m×n: – rank(A) = jumlah var. leading dalam solusi Ax = 0 – nullity(A) = jumlah parameter dalam solusi Ax = 0 – Vektor baris terletak pada Rn ruang baris berdimensi n – Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom dimensi m – Ruang baris = ruang kolom – m n, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n • Nilai maksimum rank: – rank(A) min(m, n)