TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M. Pd Disusun oleh : Kelompok 7 Kelas 3 A 2 Endar Alviyunita Ahmat Sehari Kunikatus Sangadah Nur Lailatus Shofiah

Transformasi Linier dari Rn ke Rm • Jika pada suatu fungsi f dengan Rn sebagai domain dan Rm sebagai kodomain (m dan n mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa fungsi f memetakan Rn ke Rm dengan notasi f: Rn → Rm • Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T, maka T: Rn → Rm yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut: W 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn W 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn. . . Wm = am 1 x 1 + am 2 x 2 +. . . + amnxn

u Dalam notasi matriks W = AX

Pengertian Transformasi Linier Secara Umum Jika T : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika: i. T (u+v) = T (u) + T (v) untuk semua vektor u dan v di V ii. T (ku) = k. T (u)untuk semua vektor u didalam V dan semua skalar k

Contoh-contoh Transformasi Linier 1 . Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol. Misalkan T: V → W dengan T(x) = (0) adalah pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 ϵ W ke setiap vektor v ϵ V. Untuk sebarang vektor u, v ϵ V, maka diketahui T( u+v) = 0 T(u+v) = 0 + 0 T(u+v) = T(u) + T(v) T(ku) = 0 T(ku) = k. T(u) Oleh karena itu, T transformasi linier

2. Pemetaan Identitas Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v ke dirinya sendiri. Pemetaan T : V → V yang didefinisakan oleh T(v) = V, biasanya dinotasikan oleh I. Perhatikan pemetaan identitas I : V → V, dengan T(x, y) = x, y yang memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang vektor u, v ϵ V kita mempunyai I(u+v) = u + v = I(u) + I(v) Ambil u ϵ V dan k skalar, maka I(ku) = k l. u I(ku) = k I (u) Jadi, I transformasi linier.

3. Pemetaan Konstan Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan T : V → W yang didefinisikan oleh T(u) = c. Dengan u ϵ V dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan merupakan suatu transformasi linier. Bukti: Misalkan T : R 2 → C adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (x, y) dengan v = (x, y) di R 2 dan C ϵ R. Tunjukkan apakah T merupakan suatu transformasi linier! Misalkan u = (x 1, y 1) dan v = (x 2, y 2) T (u + v ) = T ((x 1, y 1) + (x 2, y 2)) = T (x 1 +x 2, y 1 + y 2) = ((x 1+x 2), (y 1+y 2)) = ((x 1, y 1) + (x 2, y 2))

4. Pemetaan dari R 2 ke R 2 Misalkan T : R 2 → R 2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (2 x, y) dengan v = (x, y) di R 2 Bukti : T : R 2 → R 2 T(v) = (2 x, y) Misalkan u (i) T(u+v) = (x 1, y 1) dan v =( x 2, y 2 ) = T((x 1, y 1) + ( x 2, y 2 )) = T(x 1+ x 2, y 1+ y 2) = (2(x 1+ x 2 ) (y 1+ y 2) = ((2 x 1, y 1 ) + (2 x 2, y 2 )) = T(u)+T(v) (ii) T(ku)= T(k x 1 k y 1 ) = (k 2 x 1, k y 1 ) = k (2 x 1, y 1) = k T(u)

5. Pemetaan dari R 3 ke R Periksa linearitas transformasi, T: R 3→ R dengan T(x, y, z) = (x+y+z) Penyelesaian : T: R 3→ R T(x, y, z) = (x+y+z) Misalkan u = (x 1+y 1+z 1) dan v= (x 2+y 2+z 2)

T(u+v)= T((x 1, y 1, z 1) + (x 2, y 2, z 2)) = T(x 1+ x 2, y 1+ y 2, z 1+ z 2) = x 1+ x 2, y 1+ y 2, z 1+ z 2 = T (x 1+y 1+z 1) + T (x 2+y 2+z 2) = T(u)+T(v) T(ku) = T(kx 1 + ky 1 + kz 1) = kx 1 + ky 1 + kz 1 = k(x 1+y 1+z 1) = k. T(u) Dengan demikian, T transformasi linier

6. Pemetaan dari R ke R 2 Periksa linearitas transformasi, T : R→R 2 dengan T(x+y) = (x, y) Misalkan x+y = 8 maka x+y = 8 →(1, 7) →(2, 6) → (. . . , . . . ) Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T bukan merupakan suatu transformasi linear.

Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka v 1 dan v 2 sebarang pada V dan skalar c 1 dan c 2 sebarang, kita memperoleh Dan secara lebih umum, jika v 1 v 2. . . Vn adalah vektor-vektor pada V dan c 1 c 2. . . Cn adalah skalar maka T(c 1 v 1 + c 2 v 2 +. . . + Cn Vn )= c 1 T (v 1) + c 2 T (v 2) +. . . + Cn T (Vn ). . . (1)

Teorema 8. 1. 1 Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka : T(0) = 0 T(-v) = -T(v) untuk semua v pada V T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w pada V

Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada V karena 0 v = 0, kita memperoleh (a) T(0) = T(0 v) = 0 T(v) = 0 (b) T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v) Akhirnya, v-w = v+ (-1) w sehingga, (c) T(v-w) = T(v+(-1)w) = T(v) + (-1) T (w) = T(v) –T(w)

Kernel dan Jangkauan 1. Kernel dari transformasi Misal T : V → W merupakan transformasi linear, maka kernel (Inti/Ruang nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor oleh T. Kernel dari transformasi T dinotasikan dengan Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan transformasi T yang diberikan oleh gambar 1 berikut: Dari gambar nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan sebab kedua vector dan dipetakan terhadap vektor nol.

Jangkauan dari transformasi • Misal T : V → W merupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan CONTOH

� Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka : (i) Kernel dari T adalah subruang dari V (ii)Jangkauan dari T adalah subruang dari W � Bukti : � Berdasarkan teorema 1, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan � dan adalah vektor-vektor didalam ker(T), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka: �

. �Definisi 2 �Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T); dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A. �Karnel T adalah ruang pemecahan sehingga : �Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A) �Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan ) �Teorema 4 (Teorema dimensi) �Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka:

kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank. �Dengan + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus dimana �Dan T : V → W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax = 0) = n �Contoh soal: �Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear yang didefinisikan dengan.

Representasi Matriks dari Tranformasi Linear �Misalkan adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W, bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan adalah basis baku untuk dan misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang dibentuk oleh sebagai vektor-vektor kolomnya, maka A disebut sebagai matriks penyajian (representasi matriks).

, CONTOH

� TERIMAKASIH