VEKTOR DAN SKALAR BESARAN FISIKA BESARAN POKOK DAN

VEKTOR DAN SKALAR BESARAN FISIKA ( BESARAN POKOK DAN TURUNAN) DAPAT DIBAGI MENJADI 2 KELOMPOK: 1. BESARAN VEKTOR contoh: s=perpindahan, v=kecepatan, a=percepatan, F=gaya, p=tekanan, B=medan magnet dst 2. BESARAN SKALAR contoh: m=massa, t=waktu, t=suhu, N=jumlah zat, E=energi, W=usaha dst Skalar : besaran yang punya nilai saja Jika m 1=25, 5 kg dan m 2=15, 0 kg Contoh: m=10 kg t=10 K Hitung R jika R=m 1+m 2 t=10 detik W=100 joule Penyelesaian m 1=25, 5 kg m 2=15, 0 kg + R =40, 5 kg Vektor : besaran yang punya nilai dan arah Contoh: s=10 m(α=90 o) atau s=10 m( ke utara) v=100 m/s (α =0 o) atau v=100 m/s(ke timur) Jika V 1=4 m/s(0 o) dan V 2=3 m/s(90 o) Hitung R jika R=V 1+V 2 Penyelesaian: V 1=4 m/s(0 o) V 2=3 m/s(90 o) + R = 5 m/s(53 o)

Sifat-sifat besaran vektor 1. Dapat dilukis sebagai garis lurus berarah ( tanda panah) Arah vektor Vektor ditulis secara umum : V=|V|(αo) n a tu sa 5 = V α=60 o Ditulis : Dilukis Panjang garis menyatakan besar Kemiringannya menyatakan arah V=5 m/s (α=60 o) Besar vektor Artinya: Besar vektor : |V|=5 m/s Arah vektor : α=60 o terhadap sb X positip 2. Sebuah vektor dapat di uraikan menjadi dua vektor saling tegak lurus F=|F|(α ) Diurai Menjadi Di uraikan menjadi dua Fx dan Fy Fx= |F|cos α Fy=|F| sin α 3. Vektor dapat dipindah-pindah asal besar dan arah vektor tetap

4. Dua buah vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama. Dua buah vektor dikatakan berlawanan bila besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. 5. Arah vektor dapat dinyatakan dengan sudut(α) dan indek x dan y dengan tanda + dan – Fx=+| F | misal Fx = +5 N Fx= -|F| misal Fx = - 10 N Fy=-6 N Penyelesaian vektor secara matematis 3 tahap: 1. Menuliskan persamaan vektor 2. Melukiskan vektor variabel dan vektor hasil (poligon/jajaran genjang/ analitis) 3. Penyelesaian aljabar vektor (baik nilai vektor maupun arah vektor) dengan menghitung panjang garis dan besar sudut garis itu

Penjumlahan vektor ada 3 Cara: 1. Poligon : Menumpuk vektor secara berurutan, hasilnya garis hubung pangkal vektor awal dan ujung vektor akhir 2. Jajaran genjang : Menggabung pangkal-pangkal vektor, membentuk jajaran genjang dengan sisi vektor-vetor itu sendiri, Hasilnya adalah diagonal panjang jajaran genjang 3. Analitis : Menguraikan tiap vektor menjadi dua, di sumbu x dan di sumbu y, jumlahkan vektor secara poligon di setiap sumbu yaitu ΣFx dan ΣFy. Hasilnya adalah jumlahkan secara jajaran genjang ΣFx dan ΣFy , Ingat : Penyelesaian berhitung vektor: Langkah 1: menuliskan persamaan Langkah 2: Melukis(poligon/jajaran genjang/analitis) Langkah 3: Menghitung panjang garis= sebagai hasil

1. Penjumlahan vektor a. Secara grafis / poligon Diketahui : Panjang resultan ( R) diukur dengan mistar dan arah resultan dapat diukur dengan busur derajat atau rumus segitiga b. Secara jajaran genjang Diketahui : Besar/panjang R (resultan) dapat dicari dengan persamaan cosinus : Resultan R diukur dengan mistar atau rumus segitiga TABEL NILAI Sinα, Cosα, Tgα

c, . Penjumlah analitis R=a+b ay by a b α θ ax bx by ΣFy=ay+ by R ay ax bx ΣFx=bx +ax Menghitung panjang atau nilai R: Phitagoras R 2= ΣFx 2+ΣFx 2

Ingat : 1. Rumus segitiga untuk Poligon γ a b α β c 2. Rumus jajaran Genjang a R β θ α b 3. Rumus analitis: F 1=|F 1|(α); F 2=|F 2|(β) ; F 3=|F 3|(γ) F |F| θ Fx F 1 |F 1| α |F 1|cosα F 2 |F 2| β |F 2|cos β F 3 |F 3| γ |F 3|cosγ ΣFx ΣFy Jumlah Fy

Contoh 1: Hitungng R secara metematik Ljika R=a+b ; jika a = 4 cm(00) dan b=4 cm(120 o) Jawab : Cara 1: Poligon sebab hanya 2 vektor Langkah 1: Persamaan : R=a+b Langkah 2: Lukis poligon b=4 R @ 60 o 120 o a=4 Cara 2: Jajaran Genjang, sebab juga 2 vektor Langkah 1: Persamaan : R=a+b Langkah 2: Lukis jajaran genjang Langkah 3: Hitung panjang R b=4 R 2=a 2+b 2+2. a. bcos 120 o =42+42+2(4)(4)(-1/2) =16 R=4 cm (60 o) Langkah 3: Hitung panjang garis R R 2=a 2+b 2 -2. a. bcos 60 o =42+42 -2(4)(4)(1/2) =16 R=4 cm (60 o) R 120 o a=4

Contoh 2: Hitung a+b+c; Jika a = 4 cm(00) dan b=6 cm(120 o) c=8 cm(-60 o) Jawab: Langkah 1: R=a+b+c Langkah 2: Tabel F |F| @ Fx=|F| cos@ Fy=|F| sin@ F 1 4 0 o 4 cos 0=4 4 sin 0=0 F 2 6 120 o 6 cos(120 o)=-3 6 sin 120=5, 1 F 3 8 -600 8 cos(-60 o)=4 8 sin(-60 o)=-6, 8 ΣFx=5 ΣFy= - 1, 7 Jumlah Langkah 3: Lukis @ ΣFy= - 1, 7 R ΣFx=5 tg@=1, 7/5 @=18, 8 Langkah 4: Hitung Jadi R = 5, 25 cm(-18, 8 o) karena di kuadran ke IV

Contoh 3: Hitung dan lukis a+b+c c b a α R = a+b+c |R| = (72+52)1/2 = V 74 Berdasarkan segitiga siku-siku alas 7 tinggi 5 tg@=5/7 sehinga @=35, 5 o jadi R=V 74 (35, 5 o)

Jawab : Pindahkan b diujung a dan c di ujung b, hubungan pangkah a ke ujung c; Garis hubung itu =R c b R 5 a 7 R = a+b+c |R| = (72+52) = V 74 Berdasarkan segitiga siku-siku alas 7 tinggi 5 tg@=5/7 sehinga @=35, 5 o jadi R=V 74 (35, 5 o)

Kuis: Diskusikan untuk 1 kelompok Lukis penjumlahan vektor-vektor a+b+c dengan : 1. Poligon, 2. Jajaran genjang 3. Analitis dari ketiga vektor dibawah ini: Jika: a= 4 cm(60 o) b= 2 cm (120 o) c= 8 cm (210 o) PR 1: Hitung besar dan R jika R= V 1+V 2+V 3+V 4+V 5+V 6 Jika V 1= 12 m/s(0) , V 2=8 V 2(45), V 3 =10 m/s(90), V 4=12 m/s(180) V 5=12 m/s(270) dan V 6 =8 V 2 m/s (225)

Contoh 1: Hitung R jika R= F 1+F 2+F 3+F 4+F 5+F 6, Jika vektor dari F 1 = 10 V 2 N(135) F 4 = 20 N(90) F 2 = 8 V 3 N (30) F 5 = 10 V 3 N ( 150) F 3 = 10 N (270) F 6 = 10 V 2 N ( -45) F α Fx =|F| cosα Fy =|Fy)sinα F 1=10 V 2 135 10 V 2(-1/2 V 2)=-10 10 V 2 (1/2 V 2)=10 F 2=8 V 3 30 8 V 3(1/2 V 3) = 12 8 V 3(1/2) = 4 V 3=6, 8 F 3=10 270 10 (0) = 0 10 (-1) = -10 F 4=20 90 20 (0) = 0 20 (1) = 20 F 5=10 V 3 150 10 V 3(-1/2 V 3)=-15 10 V 3 (1/2) =5 V 3=8, 5 F 6=10 V 2 315 10 V 2(1/2 V 2)=10 10 V 2(-1/2 V 2)=-10 Jum Fx = -3 Fy= 25, 3 Fy R (-3)2+ (25, 3) 2 = V 634 α Fx R= θ = 180 -α = 180 -83, 24= 96, 76 Jadi R = V 634 (96, 76 o) Tg α=25, 3/(3) = 8, 44 α = 83, 24

Contoh 2: hitung R jika R =F 1+F 2+F 3 Dari gambar di bawah F 3=10 V 2 N(135) ubah F 1=10 V 2 N(45) F 1=10 V 2 N F 2=3 N 45 45 F 2=3 N(0) F 3=10 V 2 N Isikan tabel F @ Fx=|F| cos@ Fy=|F|sin@ F 1=10 V 2 45 10 V 2(1/2 V 2)=10 F 2=3 0 3(1) =3 3(0) =0 F 3=10 V 2 135 10 V 2(-1/2 V 2)-10 10 V 2(1/2 V 2)=10 Fx=3 Fy=20 Jadi: R=10 V 2(45 o)+10 V 2(135 o)+3(0 o) = V 409 (8, 1 o) R 2= 32+202 = 409 R = V 409 tg@=20/3 @ =81, 5 o Jadi R = V 409 N(81, 5 o) Fy=20 R @ Fx=3

PR 2: Hitung dan lukis besar R jika R=a+b+c+d+e e a b c d

VEKTOR SATUAN Kalian di kelas X telah mempelajari adalah VEKTOR POLAR yang penulisannya V=|V|(θ)o θ=disebut arah |V|= besar/nilai vektiir VEKTOR SATUAN adalah vektor yang nilainya =1 satuan (satuan meter, m/s, Newton, dst) Penulisnya: V = Vx i + Vy j + Vz k i, j, k = indeks vektor di sumbu x, y, z Vx, Vy, Vz=besar vektor/persamaan vektor di sumbu x, y, z Contoh 1: 4 Y(+) Vektor posisi partikel r = 3 i + 4 j + 5 k r Z(+) 5 3 X(+)

HUBUNGAN VEKTOR POLAR DAN VEKTOR SATUAN Di SMA hanya dibahas hubungan vektor satuan dua demensi dengan vektor polar Vektor polar: V=|V| (θ) Contoh: Jika diketahui vektor polar Lukiskan vektor satuan! Vektor satuan: V = Vx i + Vy j Hubungan F=10 N 60 o Jawab; F=10 N(60 o) jadi |F|=10 N dan θ=60 o Fx=10 N cos 60 o = 5 N Fy=10 N sin 60 o = 8, 5 N Jadi: F= 5 i+8, 5 j Kesimpulan Vektor satuan adalah komponen-komponen sebuah vektor di sumbu. X dan di sumbu. Y Fy=8, 5 N F Fx=5 N

Contoh 2: X(-) Vektor posisi partikel r = - 3 i - 4 j + 5 k -3 0, 0, 0 Z(+) 5 r -4 Y(-) Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Satuan Penjumlahan dan pengurangan vektor satuan dilakukan secara aljabar/sekalar menurut indeks vektor Contoh: Vektor a=3 i+4 j+5 K da vektor b=4 i-5 j+6 k; Jika c=a+b dan d=a-b tuliskan vektor c=. . ? Dan vektor d=…. ? Jawaban: c=a+b d=a-b =(3 i+4 j+5 k)+(4 i-5 j+6 k) =(3 i+4 j+5 k)-(4 i-5 j+6 k) =3 i+4 j+5 k+4 i-5 j+6 k = 3 i+4 j+5 k-4 j+5 j-6 k =7 i-j+11 k = -i+9 j-k

PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor dapat dikelompokkan menjadi 2 menurut jenis perkalian Perkalian silang/cross x Contoh: c=axb dan hasil kali c adalah vektor Perkalian titik/dot . Contoh; d=a. d dan hasil kali d adalah skalar 1. Perkalian vektor polar A=|A|(θA) dan B=|B|(θB); Jika C=Ax. B dan D=A. B Maka penyeleisaiannya: Contoh: F=10 N(30 o) dan R=5 m(90 o) a) C=|C|(θ=90 terhadap arah A dan B) Hitung T dan W jika a)T=Fx. R dan b)W=F. R Penyelesaian; Sudut apit F dan R adalah θ=60 o |C|=|A||B|sinθ dimana θ sudut apit vektor A dan B b) D=|D| adalah sebuah sekalar |D|=|A|B|cosθ a)|T| =|F||R|sinθ = 10 N. 5 m sin 60 o =50. ½ V 3 =42, 5 Nm T=42, 5 Nm (90 o terhadap arah F dan R) b)W=|F||R|cosθ =10 N. 5 m cos 60 o =25 Nm =25 Joule

Contoh: Perkalaian CROSS dan DOT vektor polar F=10 N(30 o) dan R=5 m(90 o) T Hitung T dan W jika a)T=Fx. R dan b)W=F. R Penyelesaian; Sudut apit F dan R adalah θ=60 o R a)|T| =|F||R|sinθ = 10 N. 5 m sin 60 o =50. ½ V 3 =42, 5 Nm T=42, 5 Nm (90 o terhadap arah F dan R) T=Fx. R F R b)W=|F||R|cosθ =10 N. 5 m cos 60 o =25 Nm =25 Joule F T 1= Rx. F

2. Perkalian CROSS dan Perkalian DOT Vektor Satuan Aturan: CROSS Contoh 1) ixi=jxj=kxk=0 F=(2 i+3 j+5 k)Newton dan R=(3 i-4 j+6 k)meter 2) ixj=+k Hitunglah a) T jika T=Rx. F dan b) W jika W=F. R 3) jxi=-k Disingkat 4) jxk=+i Penyelesaian: + 5) kxj=-I a) T=(3 i-4 j+5 k)x(2 i+3 j+5 k) ixjxkxixjxk 6) ixk=-j =(3 ix 2 i+3 ix 3 j+3 ix 5 k)+(-4 jx 2 i-4 jx 3 j-4 jx 5 k)+(5 kx 2 i+5 kx 3 j+5 kx 5 k 7) kxi=+j ={0 +9 k +15(-j)} +{-8(-k) -0 -20 i} +{10 j +15(-i)+0} =(-35 i-5 j-7 k)Nm Aturan DOT 1) i. j=j. i=i. k=k. i=j. k=k. j=0 2) i. i=j. j=k. k=1 b) W=(2 i+3 j+5 k). (3 i-4 j+5 k) =(3 i. 2 i+3 i. 3 j+3 i. 5 k)+(-4 j. 2 i -4 j. 3 j-4 j. 5 k)+(5 k. 2 i+5 k. 3 j+5 k. 5 k) =(6 +0 +0) +(0 -12 -0) +(0 +0 +25) = 19 Joule