MATRIKS Trihastuti Agustinah 1 DEFENISI l l Susunan

MATRIKS Trihastuti Agustinah 1

DEFENISI l l Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: l l banyaknya baris dan kolom Matriks hanya memiliki 1 kolom vektor kolom Matriks hanya memiliki 1 baris vektor baris Notasi: l l matriks huruf besar kuantitas numerik dalam matriks huruf kecil 2

Notasi entry l l Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A aij Matriks Amxn: Notasi kompak [aij]mxn atau [aij] Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A)ij = aij 3

Notasi (lanj. ) l Notasi matriks baris dan kolom: l l l Huruf kecil cetak tebal Contoh: Matriks A dengan n-baris dan n-kolom l l Matriks bujursangkar orde-n Entri a 11, a 22, …, ann diagonal utama dari A 4

Operasi-operasi matriks (1) l Matriks A dan B adalah sama l l Ukuran sama Entri yang bersesuaian sama Jadi, A=B ↔ (A)ij=(B)ij atau aij=bij Contoh: l Jika x = 4, maka A=B 5

Operasi-operasi matriks (2) l l Ukuran matriks A dan B adalah sama Jumlah A+B l l l Matriks Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian Selisih A–B 6

Operasi-operasi matriks (3) l A: matriks dan c: skalar l Hasilkali c. A l l Matriks Perkalian tiap entri A dengan c 7

Contoh 1 8

Kombinasi linear l Matriks A 1, A 2, …, An berukuran sama l c 1, c 2, …, cn adalah skalar l Ekspresi disebut kombinasi linear dari A 1, A 2, …, An dengan koefisien c 1, c 2, …, cn 9

Contoh 2 l Matriks dari contoh 1 kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3 10

Hasilkali matriks l Matriks Amxr dan Brxn l Hasilkali AB: l Contoh: 11

Partisi matriks (1) l l Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil l menyisipkan garis vertikal atau horizontal l diantara baris atau kolom Contoh: 12

Partisi matriks (2) l Contoh: 13

Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1) l Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya l Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B 14

Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2) l Jika matriks baris dari A: a 1, a 2, …, am dan matriks kolom dari B: b 1, b 2, …, bn l Maka: dan 15

Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB: 16

Perkalian matriks: kombinasi linear l Cara alternatif perkalian matriks 17

Contoh 4 l Perkalian matriks: l Dengan kombinasi linear 18

Contoh 4 (lanj. ) l Perkalian matriks: l Dengan kombinasi linear 19

Sistem linear: bentuk matriks l Sistem persamaan linear l l m persamaan n unknown 20

Sistem linear (2) l Pers. matriks l Perkalian matriks 21

Sistem linear (3) l Notasi pers. matriks l Augmented matriks 22

Transpos l Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, AT adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A l Transpos matriks A bujursangkar: 23

Trace l l Matriks A bujursangkar Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama 24

Sifat-sifat operasi matriks l l Asumsi ukuran matriks berikut sesuai Operasi berikut adalah valid 25

Matriks nol l Matriks yang seluruh entrinya nol l Operasi matriks nol 26

Matriks identitas l Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol Notasi: I Jika ukuran diperhatikan: In l A matriks mxn, maka l l 27

Invers matriks l A dan B matriks bujursangkar berukuran sama Terdapat hubungan AB=BA=I Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A Contoh: matriks A dan B l Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A l l l 28

Sifat-sifat invers (1) l Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! l Perkalian A dengan invers A = matriks identitas l AA-1 = I atau A-1 A = I l A dan B berukuran sama l l AB dapat-dibalik (AB)-1 = B-1 A-1 29

Contoh 4 l Matriks: l Invers dari matriks tersebut l dan 30

Sifat-sifat invers (2) l Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila ad–bc≠ 0 l Rumus: 31

Pangkat dari matriks (1) l A matriks bujursangkar l l l A 0=I n>0 Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A: 32

Pangkat dari matriks (2) l Jika A dapat-dibalik, maka l A-1 dapat-dibalik dan (A-1)-1 = A l An dapat-dibalik dan (An)-1 = (A-1)n l k: skalar, matriks k. A dapat-dibalik dan l Contoh: l Dapatkan A-3 33

Sifat-sifat transpos l l Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: l ((A)T)T = A l (A B)T = AT BT l (k. A)T = k. AT l (AB)T = BTAT Jika A dapat-dibalik, maka AT juga dapat-dibalik (AT)-1 = (A-1)T 34

Matriks elementer l Matriks nxn disebut matriks elementer: diperoleh dari matriks identitas In melalui satu operasi baris elementer l Contoh matriks elementer dan operasinya l Kalikan kedua dari I 2 dengan -3 l Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I 4 35

Matriks elementer l Contoh matriks elementer dan operasinya l Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I 3 pada baris pertama l Kalikan baris pertama dari I 3 dengan 1 36

Note: Operasi baris elementer: l Kalikan baris dengan konstanta tidak nol l Pertukarkan dua baris l Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya 37

Perkalian matriks dengan matriks elementer l l Matriks elementer E: hasil operasi baris pada Im A: matriks mxm EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A Contoh: matriks 38

Perkalian matriks dengan matriks elementer l l Matriks elementer E: l Tambahkan 3 kali baris pertama dari I 3 pada baris ketiga l Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A Matriks EA: 39

Metode membalik matriks (invers) l l Cara mendapatkan invers dari matriks A l Lakukan operasi baris elementer reduksi A menjadi I l Lakukan operasi yang sama pada I Prosedur: l Bentuk matriks: [A | I] l Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I l Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A-1] 40

Prosedur: invers matriks l Contoh: dapatkan invers dari 1. Bentuk matriks [A : I] 2. Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga 41

Prosedur: invers matriks 3. Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga 4. Kalikan baris ketiga dengan -1 5. Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama 42

Prosedur: invers matriks 6. Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama 7. Invers A: 43

Matriks tidak dapat-dibalik l l Matriks Anxn tidak dapat-dibalik l Tidak dapat direduksi menjadi In l Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol l Komputasi dihentikan Contoh: 44

Matriks diagonal l Matriks bujursangkar Entri nondiagonal utama bernilai nol Dnxn: l Ditulis juga dalam bentuk: l l 45

Matriks diagonal l Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol Invers matriks diag. l Pangkat matriks diag. : l 46

Perkalian matriks dengan matriks diag. l Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian l Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian 47

Matriks segitiga (triangular) l Lower triangular l Upper triangular 48

Matriks simetris l Matriks bujursangkar l A = AT l Jika dan hanya jika aij = aji l Contoh: 49

Hasilkali matriks l Matriks Amxn dan ATnxm l Hasilkali AAT (berukuran mxm) dan ATA (berukuran nxn) l matriks bujursangkar l simetris l Contoh: l Dapatkan AAT dan ATA 50

51