RUANG VEKTOR 1 RV 1 PENDAHULUAN Ruang vektor

RUANG VEKTOR (1)

RV. 1. PENDAHULUAN • Ruang vektor dengan dimensi terhingga • Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor , melibatkan sembarang bagian (medan) K , yang elemennya disebut skalar. • Notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan berikutnya dalam bab ini (kecuali diberikan petunjuk khusus) adalah ; – – – V : yang vektor yang diketahui u, v, w : vektor-vektor di dalam V K : medan bilangan yang di ketahui a, b, c dan k : skalar-skalar di dalam K a A : Elemen a termasuk dalam himpunan A a, b A : elemen a dan b termasuk dalam himpunan A x A : untuk setiap x di dalam A A B : A adalah subhimpunan bagian dari B A B : Irisan A dan B A B : Gabungan A dan B : Himpunan kosong

RV. 2 RUANG VEKTOR • Definisi : misalkan V adalah suatu himpunan bukan kosong dengan dua operasi : (i) Penjumlahan vektor : untuk sembarang u, v V, jumlah u + v di dalam V (ii) Perkalian Skalar : untuk sembarang u V, k K, hasilkali ku V Maka V disebut ruang vektor (atas medan K )jika aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi untuk sembarang vektor u, v, w V [A 1 ] (u+v) + w = u + (v + w) [A 2 ] terdapat vektor di dalam V , yang dilambangkan dengan 0 dan disebut vektor nol, sedemikain rupa sehingga untuk sembarang V , u+0 =0+u=0 [A 3 ] untuk setiap u V, terdapat vektor di dalam V , yang dilambangkan dengan –u dan disebut negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 [A 4 ] u+v = v + u [M 1 ] k (u+v) = ku +kv , untuk sembarang skalar k K [M 2 ] (a + b)u = au + bu, untuk sembarang skalar a, b K [M 3 ] (ab)u = a(bu), untuk sembarang skalar a, b K [M 4 ] 1 u = u, untuk skalar 1 K

• Aksioma-aksioma di atas secara alami terbagi ke dalam dua himpunan. Empat aksioma bagian pertama [A 1…A 4] berhubungan hanya dengan struktur penjumlahan pada V, dan dapat diringkas dengan mengatakan V adalah kelompok komutatif dalam penjumlahan. Ini berarti : (a)Sembarang penjumlahan vektor-vektor v 1 + v 2 + … + vm tidak membutuhkan tanda kurung dan tidak bergantung pada urutan operasi penjumlahan (b) Vektor nol (0) adalah unik dan bentuk negatif (-u) dari vektor U , adalah unik (c) Hukum pembatalan: jika u + w = v + w, maka u = v Empat aksioma sisanya berkaitan dengan “tindakan” medan skalar K pada ruang vektor V TEOREMA : RV. 1 : Misalkan V adalah ruang vektor atas medan K. (i) (iii) (iv) untuk sembarang skalar k K dan 0 V, k 0 = 0. Untuk 0 K dan sembarang vektor u V, 0 u = 0 Jika ku = 0, di mana k K dan u V, maka k = 0 atau u = 0. Untuk sembarang k K dan sembarang u V, (-k)u = k(-u) = -ku

Contoh-Contoh Ruang Vektor 1. Ruang Vektor K n – K adalah sembarang medan. Notasi K n merupakan ruang vektor atas dengan menggunakan operasi berikut : • Penjumlahan vektor : (a 1, a 2, a 3, . . . , an) + (b 1, b 2, b 3, …, bn) = (a 1+b 1, a 2 +b 2, a 3+b 3, …. , an +bn) • Perkalian skalar : k(a 1, a 2, a 3, …, an) = ka 1, ka 2, ka 3, . . , kan

2. Ruang Polinomial P(t) = a 0 +a 1 t +a 2 t 2 +a 3 t 3 +…. + asts ; (s = 1, 2, 3, …) dimana as termasuk dalam suatu medan K. maka P(t) adalah ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi berikut ; – Penjumlahan vektor : disini p(t) + q(t) dalam P(t) adalah operasi biasa untuk penjumlahan polinomial – Perkalian Skalar : disini kp(t) dalam P(t) adalah operasi perkalian biasa antara skalar k dan polinomial p(t). Polinomial nol 0 adalah vektor nol dalam P(t)

3. Ruang Matrik Mm, n Notasi Mm, n atau disingkat dengan M, akan digunakan untuk melambangkan himpunan semua matriks mxn dengan entri-entri dalam suatu medan K. Maka Mm, n adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar matriks.

4. Ruang Fungsi F(x) misalkan X adalah himpunan bukan-kosong dan misalkan K adalah sebarang medan. Misalkan F(x) melambangkan himpunan semua fungsi X kedalam K. Maka F(x) adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi-operasi berikut : (i) Penjumlahan Vektor (ii) Perkalian Vektor :

(i) Penjumlahan Vektor • Jumlah dari dua fungsi f dan g dalam F(X) adalah fungsi f + g dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : – (f+g)(x) = f(x) + g(x) x X

(ii) Perkalian Skalar • Hasil kali dari skalar k K dan fungsi f dalam F(X) adalah fungsi kf dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : (kf)(x) = kf(x) x X • Vektor nol dalam F(X) adalah fungsi nol 0, yang memetakan setiap x X ke dalam elemen nol 0 K, yaitu 0(x) = 0 x X • Selain itu untuk sebarang fungsi f dalam F(X), fungsi –f dan F(X) yang didefinisikan sebagai : (-f)(x) = - f(x) x X adalah negatif dari fungsi f.

5. Medan Submedan anggaplah medan E adalah perluasan medan K, dengan kata lain anggaplah E adalah medan dengan K sebagai submedannya. Maka E dapat dilihat sebagai ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi-operasiberikut ini : (i) Penjumlahan Vektor : disini u + v dalam E adalah penjumlahan biasadi dalam E (ii) Perkalian vektor : di sini ku dalam E, dimana k K dan u E, adalah hasilkali biasa antara k dan u sebagai elemen-elemen E

RV. 4 Kombinasi Linier dan Himpunan Rentangan • Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas medan K. vektor v dalam Vadalah kombinasi linier dari vektor u 1, u 2, … , um dalam V jika terdapat skalar a 1, a 2, …, am dalam K sedemikian rupa sehingga : v = a 1 u 1 +a 2 u 2 + … + amum Atau , v adalah kombinasi linier dari u 1, u 2, …, um jika terdapat solusi bagi persamaan vektor v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + … + x m um dimana x 1, x 2, . . , xm adalah skalar-skalar diketahui.

contoh • V = (3, 7, -4) pada R 3 sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor : U 1 = (1, 2, 3); u 2= (2, 3, 7); u 3 = (3, 5, 6) • Kita tentukan skalar-skalar dari x, y, z sedemikian rupa sehingga v = xu 1 + yu 2 + zu 3; yaitu : atau : x + 2 y +3 z = 3 2 x + 3 y + 5 z = 7 3 x + 7 y + 6 z = -4 Sehingga di dapat ; x = 2; y =-4; z = 3 Jadi v = 2 u 1 – 4 u 2 + 3 u 3

RV. 5 SUB RUANG • Definisi : misalkan V adalah ruang vektor atas medan K dan misalkan W adalah subhimpunan dari V. maka W adalah subruang dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian skalar pada V.

TEOREMA Anggaplah W adalah subhimpunan dari ruang vektor V. maka W adalah subruang dari V jika dua syarat berikut ini terpenuhi : (i) vektor nol 0 termasuk dalam W (ii) untuk setiap u, v W, k K : (a) jumlah u + v W (b) kelipatan ku W Sifat (i) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam penjumlahan vektor, dan sifat (ii) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam perkalian skalar. Kedua sifat ini dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan tunggal yang ekuivalen berikut : (b’) untuk setiap u, v W, a, b K, kombinasi linier au + bv W

Contoh 2 • Kombinasi linier dalam polinomial P(t) adalah v = 3 t 2 + 5 t – 5, sbg kombinasi linier dari polinomial : p 1 = t 2 + 2 t + 1; p 2= 2 t 2 + 5 t + 4 ; p 3= t 2 + 3 t +6 Tentukan x, y, z sedemikian rupa sehingga v = xp 1 + yp 2 + zp 3

PR 1. Nyatakan v = (2, -5, 3) dalam R 3 sbg kombinasi linier dari vektor u 1= (1, -3, 2); u 2=(2, -4, -1); u 3= (1, -5, 7) 2. Nyatakan polinomial dari v = t 2 + 4 t – 3 dalam P(t) sebagai kombinasi linier dari polinomial dari : p 1 = t 2 – 2 t +5 p 2 = 2 t 2 - 3 t p 3 = t +1

RV. 6 Rentang Linier, Ruang Baris dari Matriks • Anggap u 1, u 2, …, um adalah sebarang vektor-vektor pada ruang vektor V. • Kumpulan dari semua kombinasi linier semacam ini, yang dinyatakan sebagai : Rentang (u 1, u 2, . . , um) atau rentang (ui) Disebut rentang linier (linier span) dari u 1, u 2, u 3, . . , um. • Jelas bahwa vektor nol 0 termasuk dalam rentang (ui), karena 0 = 0 u 1 + 0 u 3 + … + 0 um Lebih lanjut anggaplah v dan v’ termasuk dalam rentang (ui), misal : v = a 1 u 1 + a 2 u 2 +…. + amum dan v’ = b 1 u 1 + b 2 u 2 +…+ bmum Maka untuk sembarang skalar k K, kita memperoleh : V + v’ = (a 1+b 1) u 1 + (a 2+b 2)u 2 + … + (am+bm) um Dan kv = ka 1 u 1 + ka 2 u 2 + …. . + kamum