Bab1 VEKTOR VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang
Bab-1 VEKTOR
VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R b R a Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 2 dari 42
Operasi-Matematika Dasar dalam Vektor Poligon Penjumlahan Jajaran-genjang Analitik Operasi Matematika Perkalian titik Perkalian Silang Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 3 dari 42
PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T=R+S T Friday, March 5, 2021 a c Halaman 4 dari 42
BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1. 1) θ S R T=R+S T Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 5 dari 42
PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. D D=A–B B A Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] -B Halaman 6 dari 42
CONTOH 1. Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! B 40 km U 10 km 20 km Friday, March 5, 2021 S Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 7 dari 42
VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1. 2) Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. • Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif • Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif • Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 8 dari 42
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz R Ry Rx Vektor dalam 2 Dimensi Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah : Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 9 dari 42
CONTOH 2. Sebuah vektor berpindah dari titik (2, 2) ke titik (-2, 5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 10 dari 42
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = x. Ai + y. Aj dan vektor B = x. Bi + y. Bj, maka penjumlahan vektor A + B = (x. A + x. B)i + (y. A + y. B)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x 0 + …+xi + …+xn)i + (y 0 + …+yi + …+yn)j y. A + y. B y. A (1. 3) B A + B B A x. B x. A A x. A + x. B Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 11 dari 42
SOAL 3. Diketahui dua buah vektor. A = 3 i + 2 j B = 2 i 4 j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B -B A B A+ Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] B Halaman 12 dari 42
Pekerjaan Rumah-01 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 6 0 o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2. Sebuah benda bergerak dari titik (1, 2)m ke titik (5, 0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3 i + 4 j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku c. A = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2 i + 4 j, B = -7 i, dan C = 8 j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] Halaman 13 dari 42
PERKALIAN TITIK Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A. B = AB cos (1. 4) Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A. B = ax bx + a y by + a z bz (1. 5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. A Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] B 14
Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan diingat dalam perkalian titik adalah : i. i=j. j=k. k=1 i. j=j. k=k. i=0 Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 15
CONTOH 4. Diketahui dua buah vektor, A = 3 i + 4 j dan B = 4 i 2 j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! A AB Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] B 16
PERKALIAN SILANG Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A B=C (1. 6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1. 7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B C=A B B C = -C’ A A Friday, March 5, 2021 C’ = B A Fisika Dasar [VEKTOR] 17
Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan diingat dalam perkalian titik adalah : i i=j j=k k=0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 18
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini : Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 19
Pekerjaan Rumah-01 (Contd. ) 5. Diketahui dua buah vektor. A = 3 i + 4 j B = 4 i 2 j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A 6. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 7. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 8. Diberikan tiga buah vektor : a. A = 1 i + 2 j – k b. B = 4 i + 2 j + 3 k c. C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A. (B C) b. A. (B + C) c. A (B + C) 9. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak. March lurus ! Friday, 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 20
BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x 1, x 2, . . . , xn) (1. 8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q 1, besar muatan kedua q 2, jarak antar partikel r 12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 21
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Dari grafik di samping diketahui y 1 = f(x 1), y 2 = f(x 2), y 3 = f(x 3), dan y 4 = y 1. y y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 22
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. x(t) = (t – 3)2 Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] t (detik) x (meter) 0 9 1 4 2 1 3 0 4 1 5 4 6 9 7 16 8 25 9 36 23
r (m) E (N/C) 1 9 2 2, 25 3 1 4 0, 5625 5 0, 36 6 0, 25 7 0. 1837 8 0, 1406 9 0, 1111 10 0, 09 Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 n. C. Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 24
CONTOH 1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! F =k x Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 25
CONTOH 2. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t! Q q Q = q(1 – e-At) t Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 26
DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan f(x) oleh persamaan : f(c+h) f(c) (1. 9) ng u singg s i r a G P c Friday, March 5, 2021 c+h x Fisika Dasar [VEKTOR] 27
Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1. 9) menjadi : (1. 10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) Dx y Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1. 11 a) 2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1. 11 b) 3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1. 11 c) 4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)). Dxg(x) (1. 11 d) 5. Dx(xn) = n. Xn-1 (1. 11 e) Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 28
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 29
Pekerjaan Rumah-01 (Contd. ) 10. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 30
INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8. x x 0 x 1 x 2 x 3 Friday, March 5, 2021 x 4 x 5 x 6 x 7 Fisika Dasar [VEKTOR] 31
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1) x + f(2) x + f(3) x + f(4) x + f(5) x + f(6) x + f(7) x Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 32
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya jarak Fluks = Medan luas Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 33
Pekerjaan Rumah-01 (Contd. ) 11. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu 12. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx 2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5. 103 N/m 2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 34
Pekerjaan Rumah-01 (Contd. ) 13. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : V (volt) a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x 8 b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik 4 V, tentukan fungsi E(x) c. Gambarkan grafik E terhadap x 10 x (m) 14. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10 t – 2 t 2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Friday, March saat 5, 2021 kecepatan Fisika f. Posisi v = 0 Dasar [VEKTOR] 35
Minggu Depan… Kumpulkan Pekerjaan Rumah-01 & Kuliah Bab 2. Kinematika-1 [Gerak Lurus] Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 36
TERIMA KASIH
Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 38
JAWABAN 40 km 1. Jawab : B C 20 km 10 km A D= B A+ +C 10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 39
JAWABAN 2. Jawab : y (-2, 5) ujung Ry (2, 2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4 i + 3 j b. Sudut yang dibentuk : c. satuan Besar vektor R = Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 40
JAWABAN 3. Jawab : -B A B a. A + B = 3 i + 2 j + 2 i 4 j A B = 5 i 2 j A+ A + B = B b. A B = 3 i + 2 j (2 i 4 j) = i + 6 j A B = Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 41
JAWABAN 4. Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1. 4). A A. B = (3 i + 4 j). (4 i 2 j) = 3. 4 + 4. (-2) = 4 AB B Besar vektor A = Besar vektor B = Dengan demikian = 79, 7 o Friday, March 5, 2021 Fisika Dasar [VEKTOR] 42
- Slides: 42