Differensial Vektor DIFFERENSIAL VEKTOR Fungsi Vektor Jika untuk

Differensial Vektor

DIFFERENSIAL VEKTOR Fungsi Vektor Jika untuk setiap nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor V, maka V dinamakan suatu fungsi dari t dan dinyatakan dengan V(t). Dalam tiga dimensi kita menulis : V(t) = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k Suatu vektor fungsi t secara grafik dilukiskan sebagai lengkung dalam ruang, yaitu : z t 2 y x P(R, Y, Z) t 1 y

Turunan Fungsi Vektor Turunan dari vektor fungsi V = V(t) didefinisikan sebagai limit : Dalam gambar berikut dapat dijelaskan sbb : P 1 t+Δ ( V o t) ΔV P(x, y, z)

Jika lim V/ t = d. V/dt ada , maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada kurva ruang di (x, y, z) dan dinyatakan sebagai : d. V/dt = d. Vx/dt i + d. Vy/dt j + d. Vz/dt k Rumus Diferensial : 1. d(A+B)/dt = d. A/dt + d. B/dt 2. d(A B)/dt = d. A/dt B + A d. B/dt 3. d(Ax. B)/dt = d. A/dt x B + A x d. B/dt 4. d( A)/dt = d. A/dt + d. A/dt 5. d(A Bx. C)/dt = d. A/dt Bx. C + A d. B/dt x C + A B x d. C/dt 6. d(Ax(Bx. C))/dt = d. A/dt x (Bx. C) + A x (d. B/dt x C) + A x (B x d. C/dt)

Contoh Soal : Bila sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah : x = e-t , y = 2 cos 3 t dan z = 2 sin 3 t dalam t waktu, maka : 1. Tentukan kecepatan dan percepatan pada setiap saat ! 2. Hitung besar kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 ! Jawab : a. Vektor posisi r dari partikel adalah : r=xi+yj+zk r = e-t i + 2 cos 3 t j + 2 sin 3 t k Kecepatan V = dr/dt = -e-t i – 6 sin 3 t j + 6 cos 3 t k Percepatan a = d. V/dt = e-t i - 18 cos 3 t j – 18 sin 3 t k b. Untuk t = 0 maka V = -i + 6 k V = (-1)2 + 62 = 37 dan a = i – 18 j a = (1)2 + (-18)2 = 325

Turunan Parsial Vektor Jika sebuah vektor yang bergantung lebih dari pada satu variabel skalar, misal x, y dan z yang ditulis : Turunan parsial didefinisikan: terhadap x, y dan z jika limitnya ada,

Untuk turunan yang lebih tinggi didefinisikan sbb. :

Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam kalkulus elementer dari fungsi skalar. Jadi jika dan adalah fungsi-fungsi dari x, y dan z, maka : 1. 2. 3. Contoh: 1. Jika A=(2 x 2 y-x 4)i + (exy – y sin x)j + (x 2 cos y)k tentukan :

Contoh Soal : Jika A=(2 x 2 y-x 4)i + (exy – y sin x)j + (x 2 cos y)k tentukan : jawab :

Gradien, Divergensi & Curl

Gradien Mis. (x, y, z) terdefinisi & differensiabel pada tiap titik (x, y, z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka gradien , didefinisikan sebagai berikut: Grad. = Komponen dari dalam arah sebuah vektor satuan a diberikan oleh . a dan disebut turunan arah dari pada arah a. Secara fisis, ini adalah laju perubahan pada (x, y, z) dalam arah a.

Contoh 1. Jika pada titik (1, -2, -1). Jawab : , carilah (atau grad )

2. Carilah vektor satuan yang tegak lurus terhadap permukaan x 2 y + 2 xz = 4 pada titik (2, -2, 3) Jawab: (x 2 y + 2 xz - 4 = (2 xy + 2 z)i + (x 2)j + (2 x)k = ( -2 i + 4 j + 4 k) pada us (2, -2, 3) Maka vektor satuan terhadap permukaan atas : = 3. Jika (x, y, z) = 2 x 2 y – 3 y 2 z 2, contoh (grad ) pada titik (1, 0, -1) Jawab: Kerjakan !!!

Divergensi Misal V(x, y, z) = V 1 i + V 2 j + V 3 k terdefinisi dan diferensiabel pada daerah tertentu dari ruang. Maka divergensi V di tulis definisikan oleh : atau div. V di

Contoh : Kerjakan yg 1 b !!!

Curl Jika V(x, y, z) adalah sebuah x dan vektor deferensiabel, maka Curl atau rotasi dari V ditulis : Curl V atau Rot V, didefinisikan oleh : = = =

Contoh : Kerjakan yg 2 b !!!