Determinan Trihastuti Agustinah Introduksi 1 Matriks bujursangkar Notasi

Determinan Trihastuti Agustinah

Introduksi (1) �Matriks bujursangkar �Notasi: det(A) atau |A| atau �Determinan �Orde -1: det(A) = det[a 11]=a 11 �Orde -2: �Untuk diingat: - +

Introduksi (2) �Determinan �Orde -3: �Untuk diingat: – – – + + +

Contoh 1: �Dapatkan determinan dari Dengan menggunakan metode yang diberikan

Catatan: �Determinan matriks sama dengan �hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah positif �dikurangi hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah negatif �Untuk diingat: �Metode tsb tidak dapat digunakan untuk matriks berukuran 4 x 4 atau diatasnya

Teorema determinan �A matriks bujursangkar �Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0 �det(A)=det(AT) �A matriks segitiga nxn upper, lower, diag �det(A) = hasilkali entri-entri pada diagonal utama �det(A) = a 11 a 22 • • • ann �Contoh:

Evaluasi determinan: reduksi baris �Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga �Gunakan operasi baris elementer �Hitung determinan �Penghitungan menggunakan komputer �sistematis �mudah diprogram �Contoh: dapatkan determinan dari

solusi: reduksi A ke dalam bentuk eselon baris 1. pertukarkan baris pertama dengan baris kedua 2. faktor bersama dari baris pertama yaitu 3, dikeluarkan 3. tambahkan -2 kali baris pertama pada baris ketiga 4. tambahkan -10 kali baris kedua pada baris ketiga 5. faktor bersama (-55), dikeluarkan

Sifat-sifat determinan �A dan B matriks bujursangkar berukuran sama Ø det(AB)=det(A)det(B) �Jika A dapat-dibalik maka det(A-1)=1/det(A) �Contoh: Buktikan bahwa det(AB)=det(A)det(B) dan det(A 1)=1/det(A)

Aplikasi determinan �Sistem linear �n persamaan �n variabel (unknown) �ditulis dalam bentuk Ax= x dengan skalar �dapat dinyatakan juga dalam x – Ax=0 � : nilai eigen (eigenvalue) atau nilai karakteristik dari A �Jika adalah nilai eigen A, maka solusi nontrivial ( I-A)x=0 disebut vektor eigen (eigenvector) untuk yang bersesuaian �Sistem linear memiliki solusi det( I-A)=0

Contoh 2: �Dapatkan eigenvalue dari Persamaan karakteristik Eigenvalue A: = 2 dan =5

Ekspansi kofaktor �A: matriks bujursangkar �Mij : minor dari entri aij �Determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A �Cij = (-1)i+j. Mij : kofaktor dari entri aij �Cij = ± Mij �Tanda (-1)i+j membentuk pola

Evaluasi determinan via ekspansi kofaktor �Matriks 3 x 3 det(A): atau

Contoh 3: �Dapatkan determinan A melalui ekspansi kofaktor

Adjoint dari matriks �A: matriks nxn �Cij: kofaktor dari aij �Matriks kofaktor: Adjoint A: transpos matriks kofaktor Notasi: adj(A) Invers A:

Contoh 4: �Dapatkan invers dari matriks

Aturan cramer , �Sistem persamaan linear Ax = b �det(A) ≠ 0 �Solusi unik: ∙∙∙ dengan Aj: matriks A dengan kolom ke-j diganti dengan b

Contoh 5: �Dapatkan solusi dari sistem linear berikut dengan menggunakan aturan cramer