VEKTOR Vektor dan Skalar Besaran Vektor adalah besaran

VEKTOR

Vektor dan Skalar Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar(nilai) dan mempunyai arah misalnya : pergeseran, kecepatan, percepatan, medan listrik-magnet dsb. Besaran Skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar(nilai) saja misalnya massa, temperatur, kerja, energi dsb. Vektor biasanya ditulis dalam huruf TEBAL (D) atau diberi tanda panah di atas huruf ( ) Besar vektor dinyatakan dengan Sifat-sifat vektor : Dapat dipindahkan Dapat dioperasikan atau cukup D saja 2

Representasi Vektor Representasi vektor secara grafis P Keterangan: Arah anak panah menyatakan arah vektor Panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya Titik pangkal vektor (P) disebut sebagai titik tangkap vektor Representasi vektor secara analitik dilakukan dengan menyebutkan nilai dan arah Contoh : # Kecepatan mobil besarnya 60 km/jam ke arah timur # Sebuah gaya sebesar 40 Newton membentuk sudut 45 o dengan garis vertikal 3

Representasi vektor dalam ruang 3 D (Koordinat kartesian) z Az Vektor A dituliskan sebagai: atau Ay Ax x Vektor î, ĵ dan adalah vektor satuan yang panjangnya satu dalam arah x, y, z 4 y

z Panjang vektor Az Arahnya ditentukan oleh sudut yang dibentuk vektor terhadap ketiga sumbu koordinat Ax x 5 Ay y

Operasi Dasar Vektor Perkalian dengan skalar • Vektor B adalah sebuah vektor yang panjangnya |m| dikali vektor A • Arah vektor B sama bila m positif, berlawanan bila m negatif • Jika m = 0, diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu Ā Ē=Ā ½Ā -Ā -1½Ā Dalam notasi komponen perkalian vektor dengan skalar dinyatakan 6

Penjumlahan Vektor Terdapat tiga metode untuk menjumlahkan vektor, yaitu: Metode jajaran genjang Metode segi banyak (poligon) Metode analitis 7

ā ā ū Ē ū • Metode Jajaran Genjang (1) Di ujung vektor ū, gambarlah garis yang sejajar vektor ā; (2) Di ujung vektor ā, gambarlah garis yang sejajar vektor ū, perhatikan kedua garis yang digambar harus bertemu pada suatu titik (titik A) (3) Hubungkan titik pangkal vektor ke titik A, akan didapatkan resultan dari kedua vektor tersebut, yaitu Ē 8

ā ā ū O Ē ū • Metode Segi Banyak (Poligon) (1) Gambarlah vektor ū dengan titik pangkal O; (2) Pindahkan vektor ā ke ujung vektor ū (3) Hubungkan titik pangkal vektor O ke ujung vektor ā, didapatkan resultan dari kedua vektor tersebut, yaitu Ē 9

Resultan atau besar vektor diberikan oleh persamaan dengan: a = besar vektor a b = besar vektor b = sudut yang dibentuk antar kedua vektor (sudut apit) R = besar resultan dari dua buah vektor Kasus khusus : (1) Bila sudut apit = 0 o besar vektor ditulis R = (a + b) (2) Bila sudut apit = 90 o besar vektor ditulis R = √(a 2 + b 2) (3) Bila sudut apit = 180 o R = a – b bila a > b R = b – a bila b > a Resultannya akan searah dengan vektor terbesar Besar resultan anatar dua buah vektor mencapai harga terbesar bila kedua vektor searah, dan mencapai harga terkecil bila vektor berlawanan arah 10

• Metode Analitis (1). Uraikan setiap vektor atas komponen sumbu-x dan sumbu-y (2). Hitung besar komponen-komponen tersebut dengan persamaan Ry R R O Rx (3). Jumlahkan komponen-komponen vektor pada sumbu X dan sumbu Y (4). Hitung besar dan arah resultan vektor dengan dalil phytagoras 11

Ø Pengurangan Vektor Mengurangkan dua buah vektor ā = ē – ī sama saja dengan menjumlahkan vektor ā = ē + (– ī) Sifat-sifat sebagai berikut berlaku bagi operasi dasar vektor : 1. Hukum komutatif bagi penjumlahan 2. Hukum asosiatif bagi penjumlahan 3. Hukum komutatif bagi perkalian dg skalar 4. Hukum asosiatif bagi perkalian dg skalar 5. Hukum distributif 6. Hukum distributif

Diketahui Tentukan besarnya : a. ) b. ) Maka, c. ) ? ? ? ( Kerjakan !!)

Diketahui Carilah skalar – skalar a, b, c, jika ? ? ? ( Kerjakan !!)

Perkalian Antar Vektor Perkalian antar vektor terbagi atas tiga, yaitu: Perkalian titik (dot product) (Skalar) Perkalian silang (cross product) (Vektor) 15

(a) Perkalian titik didefinisikan sebagai adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor. B A Hasil kali perkalian titik bersifat skalar bukan vektor. Bila dinyatakan dalam komponen hasil kali perkalian titik dituliskan : 16

Secara geometri, perkalian titik mengandung arti proyeksi. Proyeksi vektor B pada A adalah Apabila adalah berturut-turut vektor satuan dalam arah sumbu x, y, z maka komponen-komponen suatu vektor Ā dapat dituliskan 17

Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari nilai sudut θ antara dua vektor Sifat-sifat perkalian titik 1. (hukum komutatif) 2. (hukum distributif) 3. 4. 5. 6.

(b). Perkalian silang dikatakan juga sebagai perkalian vektor karena hasil dari perkalian berupa vektor Θ adalah sudut apit yang dibentuk antar dua buah vektor adalah vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh kedua vektor arah vektor satuan mengikuti gerak sekrup yang berputar dari A ke B θ 19

Dalam komponen perkalian silang dituliskan aturan perkalian silang : bila searah jarum jam bernilai positif bila berlawanan jarum jam bernilai negatif i k - contoh : j + 20

Sifat - sifat perkalian silang 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 21

Ø Hasil Kali Tripel Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vector A, B, dan C dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk – bentuk berikut Ø Hukum – hokum yang berlaku : 1. 2. 3. 4.

Contoh Soal 1. Tentukan sudut yang dibentuk antara vektor-vektor : dan Solusi (Hasil Kali Titik)

2. Jika dan Tentukan Solusi : b. ? ? ? (Kerjakan !!!) (Hasil Kali Silang)

3. Jika Tentukan Solusi : (Dengan menggunakan rumus Determinan) (Hasil Kali Tripel)

Diferensial Vektor

DIFERENSIAL VEKTOR Fungsi Vektor Jika untuk setiap nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor V, maka V dinamakan suatu fungsi dari t dan dinyatakan dengan V(t). Dalam tiga dimensi kita menulis : V(t) = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k Suatu vektor fungsi t secara grafik dilukiskan sebagai lengkung dalam ruang, yaitu : z t 2 y x P(R, Y, Z) t 1 y

Turunan Fungsi Vektor Turunan dari vektor fungsi V = V(t) didefinisikan sebagai limit : Dalam gambar berikut dapat dijelaskan sbb : P 1 t+Δ ( V o t) ΔV P(x, y, z)

Jika lim V/ t = d. V/dt ada , maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada kurva ruang di (x, y, z) dan dinyatakan sebagai : d. V/dt = d. Vx/dt i + d. Vy/dt j + d. Vz/dt k Rumus Diferensial : 1. d(A+B)/dt = d. A/dt + d. B/dt 2. d(A B)/dt = d. A/dt B + A d. B/dt 3. d(Ax. B)/dt = d. A/dt x B + A x d. B/dt 4. d( A)/dt = d. A/dt + d. A/dt 5. d(A Bx. C)/dt = d. A/dt Bx. C + A d. B/dt x C + A B x d. C/dt 6. d(Ax(Bx. C))/dt = d. A/dt x (Bx. C) + A x (d. B/dt x C) + A x (B x d. C/dt)

Contoh Soal : Bila sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah : x = e-t , y = 2 cos 3 t dan z = 2 sin 3 t dalam t waktu, maka : 1. Tentukan kecepatan dan percepatan pada setiap saat ! 2. Hitung besar kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 ! Jawab : a. Vektor posisi r dari partikel adalah : r=xi+yj+zk r = e-t i + 2 cos 3 t j + 2 sin 3 t k Kecepatan V = dr/dt = -e-t i – 6 sin 3 t j + 6 cos 3 t k Percepatan a = d. V/dt = e-t i - 18 cos 3 t j – 18 sin 3 t k b. Untuk t = 0 maka V = -i + 6 k V = (-1)2 + 62 = 37 dan a = i – 18 j a = (1)2 + (-18)2 = 325

Turunan Parsial Vektor Jika sebuah vektor yang bergantung lebih dari pada satu variabel skalar, misal x, y dan z yang ditulis : Turunan parsial didefinisikan: terhadap x, y dan z jika limitnya ada,

Untuk turunan yang lebih tinggi didefinisikan sbb. :

Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam kalkulus elementer dari fungsi skalar. Jadi jika dan adalah fungsi-fungsi dari x, y dan z, maka : 1. 2. 3. Contoh: 1. Jika A=(2 x 2 y-x 4)i + (exy – y sin x)j + (x 2 cos y)k tentukan :

Contoh Soal : Jika A=(2 x 2 y-x 4)i + (exy – y sin x)j + (x 2 cos y)k tentukan : jawab :