INTRODUO AO CLCULO DIFERENCIAL AULA 8 LIMITES E

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL AULA 8 – LIMITES E CONTINUIDADE

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Conteúdo Programático 1. Noção intuitiva de limite 2. Definição 3. Unicidade do limite 4. Propriedades básicas 5. Limite de uma função 6. Limites laterais 7. Função contínua LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1. Vamos colorir de azul metade dessa figura. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco. Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Continuando esse processo podemos notar que a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1. Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1. Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 2 definida nos reais. x 2 2, 3 2, 99. . . 3, 01 3, 4 3, 9 4 f(x) 4 4, 3 4, 99. . . 5, 01 5, 4 5, 9 6 LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5. Podemos escrever: Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL DEFINIÇÃO DE LIMITE Seja f(x) uma função e a é um número real. Podemos escrever e dizemos que o limite da função f(x), quando x se aproxima de um determinado número “a”, é o número real L, se, e somente se, os números reais da imagem da função permanecem próximos de L, para os infinitos valores de x próximos de “a”. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL UNICIDADE DO LIMITE TEOREMA Se e então L 1 = L 2. Ou seja, uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando x se aproxima de a. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Determine o limite da f(x) quando x se aproxima de 1. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROPRIEDADES BÁSICAS Suponha: , e c uma constante. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROPRIEDADES BÁSICAS LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Limites Laterais Considerando o exemplo dado no início da aula: f(x) = x + 2 O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por: LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Limites Laterais O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos por: Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS Limite lateral à direita Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a, c). Então, o limite de f(x) em a pela direita é o número L, e escrevemos: LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL LIMITES LATERAIS Limite lateral à esquerda Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a, c). Então, o limite de f(x) em a pela esquerda é o número L, e escrevemos: LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL LIMITES LATERAIS TEOREMA O limite existe e é igual ao número L se, e somente se, os limites laterais de f(x) em a existirem e forem iguais a L. Isto é: = LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL CONTINUIDADE Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas: a) Existe b) Existe f(a) c) f(a) = Função contínua em um ponto: o ponto deve pertencer ao domínio da função LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO A função f(x) = 3 x + 2 definida nos reais é contínua, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 5 e a f(1) = 5. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 3 e a f(1) = 7. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função não existe. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Não podemos afirmar que a função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois x = 1 não pertence ao domínio da função. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Determine se a função é contínua LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Determine os Limites Laterais e verifique se a função f é contínua 7 2 3 LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. G é uma função contínua de r? Justifique sua resposta. LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL RESOLUÇÃO LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL RESUMINDO Definição Teorema da Unicidade do limite Propriedades básicas Limite de uma função Limites laterais Função contínua LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8

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