Clculo Diferencial e Integral III Aula 9 Profa

Cálculo Diferencial e Integral III Aula 9 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Objetivos ØDefinir da Transformada de Laplace ØConhecer a Tabela ØEncontrar a Transformada Inversa ØResolver Problema de Valor Inicial 2

TRANSFORMADA DE LAPLACE Eq. diferencial Linear Solução da eq. diferencial Linear L L-1 Equação algébrica Solução da eq. algébrica 3

Definição: Seja f(t) uma função definida para todos os valores positivos de t e s um parâmetro real positivo. A transformada de Laplace da função f(t) é denotada e definida por: 4

ØA função F(s) é chamada de a Transformada de Laplace da função original f(t). Ela é representada por L[f(t)] ou L {f(t)}. ØA função f(t) é chamada de a transformada inversa de F(s) é será representada por L-1(F) → f(t) = L-1 {F(s)}. 5

Veja que calcular a transformada de uma função f(t) significa resolver uma integral imprópria da função f(t) multiplicada por uma exponencial. 6

Exemplo usando a definição Determine a Transformada de Laplace da função f(t)=1. 7

Cálculo da integral: Agora vamos calcular o limite 8

Cálculo do limite: 0 9

Tabela com algumas transformadas importantes 10

Como calcular a Transformada de Laplace utilizando a tabela? 1. Determine a Transformada de Laplace da função f(t) = 4 t 2 + 5 t – 8. L {f(t)} = L{4 t 2} + L{5 t} – L{8} L {f(t)} = L{4 t 2} + 5 L{t} – L{8} 11

F(s) = L {f(t)} = L{4 t 2} + 5 L{t} – L{8} 12

2. Determine a Transformada de Laplace da função f(t) = 5 cos 2 t + sen 3 t/4. L {f(t)} = 5 L{cos 2 t} + 1/4 L{sen 3 t} 13

3. Determine a Transformada de Laplace da função 14

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TRANSFORMADA INVERSA Veja! Já sabemos determinar a Transformada de Laplace de uma função, isto é, transformar uma função f(t) em outra função F(s). Agora vamos determinar a transformada inversa. 16

Vamos determinar a transformada inversa do seguinte modo: Dada a função F(s) encontraremos uma função f(t) tal que a Transformada de Laplace seja a função F(s). 17

Como calcular a Transformada inversa? Notação: L-1 [F(s)] = f(t) Determine a Transformada inversa da função Vamos olhar na tabela a seguinte função: 18

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PROBLEMA DE VALOR INICIAL Seja a equação diferencial ay”(t) + by’(t) + cy(t) = f(t). Considere y(0) = α e y`(0) = β. Precisamos da Transformada da derivada para determinarmos a transformada da equação diferencial. 20

TRANSFORMADA DA DERIVADA Definição: L[f`(t)] = s. L[f(t)] – f(0) L[f”(t)] = s 2. L[f(t)] – s. f(0) – f`(0) 21

Vejamos um exemplo Resolver a equação diferencial através de Laplace. 22

Isolar na equação Y(s) 23

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Agora vamos determinar a transformada inversa da função Y(s). 25

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Fundamentos de Análise Atividade Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Determine a Transformada inversa da função Vamos usar o método das funções racionais por frações parciais! 29

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