Unidad 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES

Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCION (Método de sustitución)

Sustituciones ¢ Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer orden mediante la sustitución y=g(x, u), donde u se considera una función de la variable x. Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera

Sustituciones… ¢ Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplaza en f(x, y) por g(x, u) entonces, la ecuación diferencial se convierte en que si se resuelve para du/dx, tiene la forma: ¢ Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u=f(x), entonces una solución de la ecuación diferencial original es y=g(x, f(x)).

Funciones homogéneas Si una función f posee la propiedad f(tx, ty)=taf(x, y) para algún número real a, se dice entonces que f es una función homogénea de grado a. ¢ Por ejemplo: f(x, y) = x 3+y 3 es una función homogénea de grado 3 mientras que f(x, y) = x 3+y 3 +1 no lo es. ¢

Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado. ¢ Ejemplos: x 2 y + 8 xy 2 – x 3 +y 3 (la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro términos son de grado 3). 5 x 2 y 3 + 4 xy 4 +8 x 5 (la suma de los exponentes de cada uno de los tres términos son de grado 5). ¢

Ecuaciones homogéneas ¢ Cuando las funciones M(x, y) y N(x, y) de la ecuación diferencial de primer orden M(x, y)+N(x, y)=0 son ambas polinomios homogéneos del mismo grado “n”, la ecuación diferencial se denomina: ecuación diferencial homogénea de grado n.

Ecuaciones homogéneas… Para la ecuación diferencial homogénea M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n. ¢ En otras palabras, la ecuación diferencial es homogénea si: M(tx, ty)=tn. M(x, y) y N(tx, ty)=tn. N(x, y). Para n e R. ¢

Ecuaciones homogéneas… ¢ Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n siempre se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:

Problema ¢ Resuelva la ecuación diferencial mediante la sustitución:

Ecuación de Bernoulli ¢ La ecuación diferencial Donde n es cualquier real se llama Ecuación de Bernoulli. ¢ ¢ Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal. Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y 1 -n reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Ecuación de Bernoulli… ¢ Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución adecuada.

Otras reducciones ¢ Una ecuación diferencial de la forma: Se reduce siempre a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución:

Otras reducciones… ¢ Resuelva las ecuaciones diferencial con la sustitución adecuada.