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Tarea 2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS (EDH)

ANTECEDENTES ¿Qué es una Ecuación Diferencial? – Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o mas funciones. Dependiendo del numero de variables independientes respecto de las que se derivan. Se dividen en: – EC. dif. Ordinaria: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. – EC. dif. Derivadas parcial: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o mas variables. ¿Qué es el orden de una Ecuación? – Es el orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial. ¿A que se le llama solución? – Es una función que al remplazar una función incógnita, en cada cazo con las derivadas correspondientes, verifica la ecuación , es decir, la convierte en una identidad. – Existen DOS tipos de Soluciones que son: – Solución General: Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes. – Solución Parcial: Es un caso partícula de la solución general, en donde las constante (es) recibe un valor especifico.

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo: Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x 3 o y 3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son: o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x, y) por su valor como función que se ha establecido. El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma: Introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

Formas de saber el grado de la EDH Forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy=0 Inspeccion: – M(tx, ty)-- tⁿf(x, y) – N 8 tx, ty)-- n=grado de la exprecion Sea: f(x, y) = √x³y³ f(tx, ty)= √t³x³t³y³ = √t³(x³y³) =t³’² √x³y³------por lo tanto Es homogenea de 3/2 Grado

Por SUMA: f(x, y) = √x+y(4 x+3 y) – f(tx, ty) = √tx³+ty³(4 tx+3 ty) – = √t(x+y)[t(4 x+3 y)] – = t½√(x+y)[t(4 x+3 y)] – = t³’²[√x+y(4 x+3 y)] – Homogenea de 3/2 grado f(x, y)=x²-y-------no homogenea no se define el grado

Elementos clave para las EDH cambio de variables Y=Mx dy=Mdx+xdu X=My dx=Mdy+ydu U=x+y y=U-x – dy=du-dx

EJEMPLO: (y+xcos(y/x)dx)-xdy=0 (ux+xcos(ux/x)dx-x(udy+xdu)=0 Sustitumos “y” y “dy” como anterior se indica (u+cosu)dx=udx-xdu=0 --- algebra Udx+cosudx-xdu=0 Cos udx-xdu=0 ∫dx/x-∫du-cosu=0 Log x- ∫sec udu=0 Log x- log |sec u +tg u|=C Volvemos a sustituir “u” Log x – log |sec(y/x)+tg(y/x) |=C solución general

Datos Personales Jesús Israel Herrera Cárdenas 9310182 B: 212 Centro de Enseñanza Técnica industrial (CETI) Ecuaciones Diferenciales Profesor: Ing. Cesar Octavio Martínez Padilla