Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS (METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS)

Introducción ¢ Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea: se deben hacer dos cosas: Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo cual se obtiene yh. l Obtener alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea. A partir de ellas: y = yh + yp. l

Método de coeficientes indeterminados ¢ ¢ Cuando en la EDL no homogénea: la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones: polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos o cosenos), o combinaciones de ellas tres, el método de solución de la ED se denomina de “coeficientes indeterminados”. El método consiste en proponer la forma de la solución particular yp (con coeficientes indeterminados) a partir de la forma del término g(x).

Ejemplos de soluciones particulares de prueba g(x) Forma de yp (propuesta) 1. 8 (Cualquier constante) A 2. 3 x-1 Ax+B 3. 5 x 2+1 Ax 2+Bx+C 4. x 3+x Ax 3+Bx 2+Cx+D 5. e 6 x Ae 6 x 6. Sen(3 x) ASen(3 x)+BCos(3 x) 7. Cos(2 x) ASen(2 x)+BCos(2 x) 8. (9 x 2 -x)e 4 x (Ax 2+Bx+C)e 4 x 9. e 5 x. Sen(2 x) Ae 5 x. Sen(2 x)+Be 5 x. Cos(2 x) 10. 3 x 2 Sen(5 x) (Ax 2+Bx+C)Sen(5 x)+ (Dx 2+Ex+F)Cos(5 x) 11. xe 5 x. Sen(2 x) (Ax+B)e 5 x. Sen(2 x)+ (Cx+D)e 5 x. Cos(2 x)

Modificación a la solución particular propuesta ¢ Cuando se propone una solución particular para la ED no homogénea puede ocurrir que una función de la solución particular propuesta es también solución de la ED homogénea relacionada. l En este caso se debe modificar la yp propuesta comparándola con yh y multiplicando por x los términos de yp que estén incluidos en yh. Después se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a multiplicar por x los términos que sigan incluidos. Este proceso continúa hasta que ninguno de los términos de yh esté repetido en yp.

Proceso de solución de la ED no homogénea ¢ Para obtener la solución de la ED se deben realizar los siguientes pasos: l l l Sustituyendo la solución particular propuesta “modificada” en la EDL no homogénea original se determinan los coeficientes de los términos en el lado izquierdo de la ecuación con los términos semejantes del lado derecho de la ecuación. Con los coeficientes obtenidos se determina yp y Finalmente se suman yp y yh para obtener la solución general de la EDL no homogénea y = yp + yh.

Ejemplo ¢ Resuelva la EDLNH: y´´ - 6 y´ + 9 y = 6 x 2 + 2 - 12 e 3 x La ecuación homogénea auxiliar es: y´´-6 y´+9 y = 0 La ecuación auxiliar de la misma: m 2 -6 m+9=(m-3)2 nos conduce a que yh=c 1 e 3 x+c 2 xe 3 x.

Ejemplo… g(x)= 6 x 2 + 2 - 12 e 3 x es una combinación lineal de funciones polinomiales y exponenciales. Por lo anterior, la solución propuesta es: yp = yp 1+yp 2, donde yp 1=Ax 2+Bx+C es una solución propuesta para la expresión 6 x 2 + 2 y yp 2=De 3 x es una solución propuesta para la expresión -12 e 3 x. Esto nos conduce a yp= (Ax 2+Bx+C) + De 3 x

Ejemplo… Al inspeccionar yp= (Ax 2+Bx+C) + De 3 x con la solución para la EDL homogénea yh=c 1 e 3 x+c 2 xe 3 x, vemos que el término De 3 x se duplica en yh (c 1 e 3 x) por lo que se procede a multiplicar el término De 3 x por x, obteniéndose ahora Dxe 3 x pero se observa que nuevamente se duplica el término en yh (c 2 xe 3 x), por lo cual se hace necesario volverla a multiplicar por x. Así, la forma operativa de la solución particular es finalmente: yp= (Ax 2+Bx+C) + Dx 2 e 3 x

Ejemplo… Al derivar yp= (Ax 2+Bx+C) + Dx 2 e 3 x tenemos: yp´ = 2 Ax+B+3 Dx 2 e 3 x+2 Dxe 3 x yp´´ = 2 A+9 Dx 2 e 3 x+12 Dxe 3 x+2 De 3 x Al reemplazar estos términos en la ED y´´-6 y´+9 y=6 x 2+2 -12 e 3 x 2 A+9 Dx 2 e 3 x+12 Dxe 3 x+2 De 3 x - 6(2 Ax+B+3 Dx 2 e 3 x+2 Dxe 3 x) + 9(Ax 2+Bx+C+Dx 2 e 3 x) = 6 x 2+2 -12 e 3 x 9 Ax 2 +(-12 A+9 B)x + (2 A-6 B+9 C) + 2 De 3 x =6 x 2+2 -12 e 3 x

Ejemplo… De esta última ecuación 9 Ax 2 +(-12 A+9 B)x+(2 A-6 B+9 C)+2 De 3 x = 6 x 2+2 -12 e 3 x tenemos: 9 A = 6 -12 A + 9 B = 0 2 A-6 B+9 C = 2 2 D = -12 De donde: A=2/3, B=8/9, C=2/3, D=-6 Por consiguiente, la solución general de la EDL es finalmente: y = yh+yp = c 1 e 3 x+c 2 xe 3 x + 2/3 x 2+8/9 x+2/3 -6 x 2 e 3 x

Problemas ¢ Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: