Ecuaciones Diferenciales Ordinarias u Problemas de valor inicial

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias u Problemas de valor inicial u Campo de direcciones u Métodos numéricos para el problema de valor inicial u Método de Euler u Método de Heun u Método de Euler modificado u Método de Runge-Kutta

Problemas de valor inicial u. Ecuación diferencial u. Condición inicial u. Ejemplo: modelo de población de Verhulst

Campo de direcciones u. Curvas solución de una ecuación diferencial u. Pendiente de las curvas solución u. Campo de direcciones

Campo de direcciones Ø t=a: h: b; y=c: h: d; Ø [tt, yy] = meshgrid(t, y); Ø uno = ones(size(tt)); Ø dy = f(tt, yy); Ø quiver(tt, yy, uno, dy)

Campo de direcciones Ecuación Logística 5 4 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3

Métodos numéricos para el P. V. I. u. Problema de Valor Inicial u. Discretización u. Forma integral del problema de valor inicial

Métodos numéricos para el P. V. I. u. Error local del método iterativo u. Error máximo u. Convergencia u. Método de orden p:

Método de Euler u Forma integral de la ecuación diferencial u Aproximación (Fórmula de los rectángulos) u Paso fijo u Método de Euler: para k=1, 2. . . , n

Método de Euler ¯ function [t, y]=mieuler(a, b, y 0, n) ¯ h=(b-a)/n; t=a: h: b; ¯ y=zeros(size(t)); y(1)=y 0; ¯ for k=1: n ¯ ¯ end y(k+1)=y(k)+h*f(t(k), y(k));

Soluciones aproximadas (Euler) Ecuación Logística 5 4 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3

Método de Heun z Forma integral de la ecuación diferencial z Aproximación (Fórmula de los trapecios) z Aproximación por Euler (predicción) z Método de Heun (correccción)

Método de Heun ¯ function [t, y]=heun(a, b, y 0, n) ¯ h=(b-a)/n; t=a: h: b; ¯ y=zeros(size(t)); y(1)=y 0; ¯ for k=1: n ¯ k 1=f(t(k), y(k)); ¯ ykp=y(k)+h*k 1; ¯ k 2=f(t(k+1), ykp); ¯ y(k+1)=y(k)+h/2*(k 1+k 2); ¯ end

Método de Euler modificado u Forma integral de la ecuación diferencial u Aproximación (Fórmula del punto medio) u Aproximación por Euler u Método de Euler modificado

Método de Euler modificado ¯ function [t, y]=eulermod(a, b, y 0, n) ¯ h=(b-a)/n; t=a: h: b; ¯ y=zeros(size(t)); y(1)=y 0; ¯ for k=1: n ¯ yk 2=y(k)+h/2*f(t(k), y(k)); ¯ y(k+1)=y(k)+h*f(t(k)+h/2, yk 2)); ¯ end

Método de Runge-Kutta u. Forma integral de la ecuación diferencial u. Aproximación de la integral (Regla de Simpson)

Método de Runge-Kutta (cont. ) z Estimaciones previas z Aplicación de la fórmula

Método de Runge-Kutta ¯ function [t, y]=rungekut(a, b, y 0, n) ¯ h=(b-a)/n; t=a: h: b; ¯ y=zeros(size(t)); y(1)=y 0; ¯ for k=1: n ¯ k 1=f(t(k), y(k)); tk 2=t(k)+h/2; ¯ k 2=f(tk 2, y(k)+h/2*k 1); ¯ k 3=f(tk 2, y(k)+h/2*k 2); ¯ k 4=f(t(k+1), y(k)+h*k 3); ¯ y(k+1)=y(k)+h/6*(k 1+2*k 2+2*k 3+k 4); ¯ end

Comparación de métodos