Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIN

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIÓN DE ORDEN

Introducción ¢ ¢ La solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden es una combinación lineal y=c 1 y 1+c 2 y 2, donde y 1 y y 2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I. En algunas ocasiones, es posible reducir la ecuación diferencial a una ED de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene una solución conocida y 1. Una segunda solución y 2 es evidente después de resolver la ED de primer orden.

Casos en los que es posible la reducción de orden ¢ Existen dos casos en los que es posible reducir el orden de una ED lineal ordinaria de orden dos: Si en la ED no aparece explícitamente la variable dependiente “y”. l Si en la ED no aparece explícitamente la variable independiente “x”. l

CASO 1: En la ED no aparece la variable dependiente “y” ¢ Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial mediante el cambio de variable: l

CASO 2: En la ED no aparece la variable dependiente “x” ¢ Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencial mediante el cambio de variable: l Esto último en virtud de que:

Problemas ¢ Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:

Caso general ¢ Supónga que la ED ordinaria de segundo orden se divide entre a 2(x), a fin de escribirla en la forma estándar y´´+P(x)y´+Q(x)y=0, donde P(x) y Q(X) son continuas en algún intervalo I. Suponga además que y 1(x) es una solución conocida de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 en I y que y 1(x) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

Caso general… ¢ Si se define y=u(x)y 1(x), se deduce que: y´=uy´ 1+ y 1 u´, y´´=uy´´ 1 +2 y´ 1 u´+y 1 u´´ Con ello: Esto significa que se deben tener Donde se permite que w=u´. La última ecuación es lineal y separable.

Caso general… ¢ Al realizar la separación de variables y la integración tenemos: Resolvemos esta última ecuación con w=u´, y se integra de nuevo.

Caso general… ¢ Así: Al elegir c 1=1 y c 2=0, se encuentra de y=u(x)y 1(x) que una segunda solución de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 es: NOTA: y 1 y y 2 son soluciones linealmente independientes en algún intervalo en el que y 1(x) no es cero.

Problema ¢ Si la función y=x 2 es una solución de la ecuación diferencial: Obtenga la solución general (por el principio de superposición) para la ecuación diferencial en el intervalo (0, +Inf).