Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Introducción ¢ ¢ La ecuación diferencial ay´+by=0 se resuelve ya sea mediante separación de variables o mediante la ayuda de un factor de integración. También al despejar y´ de la ecuación diferencial ay´+by=0 se obtiene y´=ky, donde k es una constante. Lo anterior, revela la naturaleza de la solución (desconocida); la única función elemental no trivial cuya derivada es una múltiplo de si misma es la función exponencial. Entonces podemos considerar que y=emx. Lo que resta será determinar el valor de m.

Ecuación auxiliar ¢ ¢ ¢ Considérese el caso especial de la ecuación de segundo orden ay´´+by´+cy=0, donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma: y=emx, entonces después de sustituir y´=memx y y´´=m 2 emx, la ecuación se convierte en am 2 emx +bmemx +cemx =0 ó bien emx[am 2+bm+c]=0 Debido a que emx debe ser diferente de cero, es evidente que la única forma en la que y=emx satisface la ecuación diferencial es cuando se elige a m como raíz de la ecuación cuadrática am 2+bm+c=0. Esta última ecuación se denomina ecuación auxiliar de la ecuación diferencial ay´´+by´+cy=0

Solución de la ecuación auxiliar ¢ Las dos raíces de la ecuación auxiliar son: l l Habrá tres formas de solución general de la ecuación ay´´+by´+cy=0 que corresponden a los siguientes tres casos: l m 1 y m 2 reales y diferentes (b 2 -4 ac>0). l m 1 y m 2 reales e iguales (b 2 -4 ac=0). l m 1 y m 2 números conjugados complejos (b 2 -4 ac<0).

CASO 1: Raíces reales distintas ¢ Bajo la suposición de que la ecuación am 2+bm+c=0 tiene dos raíces reales desiguales m 1 y m 2, se definen dos soluciones: Estas soluciones son linealmente independientes en (-Inf, +Inf) y forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general en este intervalo es:

CASO 2: Raíces reales repetidas ¢ Cuando m 1=m 2, necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial. De la fórmula cuadrática se encuentra que m 1=-b/2 a puesto que la única forma en que se tiene que m 1=m 2 es tener b 2 -4 ac=0. Con ello, la segunda solución de la ecuación es Entonces la solución general es:

CASO 3: Raíces complejas conjugadas ¢ Si m 1 y m 2 son complejas, se puede escribir son reales i 2 = -1. De manera formal no hay diferencia con el caso 1, por consiguiente: en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales, en lugar de exponenciales complejas. Para este fin se utiliza la fórmula de Euler donde es cualquier número real.

CASO 3: Raíces complejas conjugadas… ¢ Se deduce de esta fórmula que: donde se utilizó: ¢ Si se suman y luego se restan tenemos: Como es una solución de ay´´+by´+cy=0 para alguna elección de las constantes c 1 y c 2.

CASO 3: Raíces complejas conjugadas… ¢ Las elecciones: c 1=c 2=1 y c 1= 1, c 2=-1 dan a su vez dos soluciones Pero: Estos dos últimos resultados conducen a que son soluciones reales de ay´´+by´+cy=0. Además, estas soluciones son un conjunto fundamental en (-Inf+Inf). Por consiguiente la solución general es:

Problema ¢ Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: