Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA

Problemas de valores iniciales (PVI) ¢ Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es: Resuelva: Sujeto a:

Existencia de una solución única ¢ Sean an(x), an-1(x), …, a 1(x), a 0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) diferente de 0 para toda x en este intervalo. Si x=x 0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema de valor inicial existe y es única.

Problema de valores en la frontera (PVF) ¢ Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problema como: Se llama problema de valores en la frontera.

Ecuaciones homogéneas ¢ Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma: es homogénea, mientras que una ecuación: con g(x) no igual a cero, es no homogénea.

Principio de superposición, ecuaciones homogéneas ¢ Sean y 1, y 2, …, yk, soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal , donde ci=1, 2, …, k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

Dependencia lineal e independencia ¢ Un conjunto de funciones f 1(x), f 2(x), …, fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c 1, c 2, …, cn, no todas cero, tales que: para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Wronskiano ¢ Suponga que cada una de las funciones f 1(x), f 2(x), …, fn(x), posee al menos n-1 derivadas. El determinante: donde las primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de las funciones.

Criterio para soluciones linealmente independientes ¢ Sean y 1, y 2, …, yn, n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n -ésimo oden en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y 1, y 2, …, yn) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

Conjunto fundamental de soluciones ¢ Cualquier conjunto y 1, y 2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Existencia de un conjunto fundamental de soluciones ¢ Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I.

Solución general, ecuaciones homogéneas ¢ Sean y 1, y 2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en el intervalo I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es: donde ci, i=1, 2, …, n son constantes arbitrarias.