Unidad 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES

Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES EXACTAS

Diferencial total ¢ Dada la función z=f(x, y), se dice que la expresión: es su diferencial total.

Ejemplo ¢ Si z=4 x 2 y-2 xy 3+3 x Entonces: dz = (8 xy-2 y 3+3)dx + (4 x 2 -6 xy 2)dy Es el diferencial total de la función z.

Ecuación diferencial exacta ¢ La igualdad: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y sólo si el primer miembro de la igualdad es una diferencial total.

Solución de una ED exacta ¢ Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es obtener una función f(x, y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

Solución de una ED exacta. . . ¢ Usando la notación de la diferenciación parcial, tenemos: Si volvemos a derivar estas ecuaciones, pero ahora con respecto a la otra variable: Si las derivadas parciales son continuas: lo que significa que:

Teorema ¢ La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 sea exacta es que:

Método de solución 1. 2. 3. Dada una ecuación diferencial, vemos si es exacta. Aplicamos la definición: Integramos con respecto a x o con respecto a y:

Método de solución… 4. Al resultado lo derivamos con respecto a y o con respecto a x: 5. Igualamos de nuevo el resultado a N(x, y) o a M(x, y). Integramos por última vez esta ecuación. 6.

Solución de ED exactas ¢ Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. 2. 3. 4.

Factores integrantes ¢ A veces, para una ecuación diferencial no exacta M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es posible encontrar un factor integrante m(x, y) de modo que: m(x, y)M(x, y)dx + m(x, y)N(x, y)dy = 0 sea una diferencial exacta.

Factores integrantes… En un intento por encontrar m, regresamos al criterio de exactitud. La ecuación: m(x, y)M(x, y)dx + m(x, y)N(x, y)dy = 0 es exacta si y sólo si: (m. M)y=(m. N)x. ¢ Por la regla para la derivada del producto, tenemos que: m. My+my. M = m. Nx+mx. N pero también: mx. N-my. M=(My-Nx)m ¢

Factores integrantes… En la ecuación mx. N-my. M=(My-Nx)m M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y y, la dificultad para determinar la incógnita m(x, y) es que se debe resolver una ecuación diferencial parcial. ¢ Como no estamos preparados para ello, se hace una suposición “simplificadora”. ¢ Suponga que m es una función de una variable. ¢

Factores integrantes… ¢ Suponga, por ejemplo, que m depende sólo de x. En este caso: Así: mx. N-my. M=(My-Nx)m se puede escribir como Estamos en una situación sin solución si el cociente (My-Nx)/N depende de x y y. Sin embargo si después de simplificar, el cociente depende sólo de x, entonces la ecuación es una ED ordinaria de primer orden.

Factores integrantes… Esto nos conduce a que: ¢ De manera análoga, se deduce que si m depende sólo de la variable y, entonces: ¢ En este caso, si el cociente (Nx-My)/M depende solamente de y, entonces la ecuación se puede resolver para m y en este caso:

Problemas ¢ Resuelva la ecuación diferencial mediante la determinación de un factor integrante adecuado. 1. 2. 3.