Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIN

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Introducción ¢ La teoría necesaria para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden fue presentada en las secciones “Repaso de series de potencias” y “Solución de ecuaciones mediante series de potencias” de la Unidad II. Se presentarán ahora algunos conceptos necesarios para la solución de ED de orden dos y superior.

Ecuación diferencial de segundo orden en forma estándar ¢ Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden se escribe en forma estándar al dividir entre a 2(x).

Puntos ordinarios y singulares ¢ Se dice que un punto x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial si P(x) y Q(x) en la forma estándar son analíticas en x 0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular de la ecuación.

Soluciones respecto a puntos ordinarios ¢ Si x=x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial , siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en la forma de una serie de potencias centrada en x 0, es decir. Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por |x-x 0|<R, donde R es la distancia desde x 0 al punto singular más próximo.

Soluciones respecto a puntos ordinarios… ¢ Se dice que una solución de la forma: Es una solución respecto a un punto ordinario x 0.

Soluciones respecto a puntos singulares Un punto singular x 0 de una ecuación diferencial lineal se clasifica como regular o irregular. La clasificación depende de las funciones P(x) y Q(x) en la forma estándar ¢ Se dice que un punto singular x 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial si ambas funciones: p(x)=(x-x 0)P(x) y q(x)=(x-x 0)Q(x) son analíticas en x 0. Un punto que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. ¢

Soluciones respecto a puntos singulares… ¢ Teorema de Frobenius: Si x=x 0 es un punto singular de la ecuación diferencial, entonces por lo menos existe una solución de la forma: donde el número r es una constante por determinar. La serie converge por lo menos en algún intervalo 0<x-x 0<R.

Soluciones respecto a puntos singulares… ¢ ¢ En el teorema de Frobenius, las palabras por lo menos significa que no garantiza la posibilidad de hallar dos soluciones en serie del tipo indicado. El método de Frobenius es similar al método de coeficientes indeterminados de series en la que se sustituye en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes desconocidos cn mediante una relación de recurrencia. Sin embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un entero negativo, entonces la solución de la correspondiente no es una serie de potencias.

Ejemplo 1 ¢ Resuelva la ED 3 xy´´+y´-y=0 Debido a que x=0 es un punto singular de la ecuación diferencial, se intenta encontrar una solución de la forma: Con ella:

Ejemplo 1. . .

Ejemplo 1. . .

Ejemplo 1. . .

Ejemplo 1. . .

Ejemplo 1… ¢ Aquí se encuentra algo que no sucedió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene al mismo múltiplo C 0. Si se omite este término, las soluciones en serie son:

Ejemplo 1… ¢ Es evidente que ninguna de estas soluciones es múltiplo de la otra y por lo tanto y 1 y y 2 son linealmente independientes, así por el principio de superposición y = c 1 y 1+c 2 y 2 , así, la solución general de la ecuación diferencial es:

Ecuación indicial ¢ En la ecuación diferencial anterior, el término: r(3 r-2) de denomina “ecuación indicial” y r=2/3 y r=0 se llaman “raíces indiciales” o exponentes de la singularidad x=0.

Tres casos posibles ¢ Al utilizar el método de Frobenuis para resolver la ecuación diferencial de segundo orden se distinguen tres casos que corresponden a la naturaleza de las raíces indiciales r 1 y r 2. l r 1 y r 2 son reales y la diferencia r 1 - r 2 no es un entero positivo. l r 1 y r 2 son reales y la diferencia r 1 - r 2 es un entero positivo. l r 1 y r 2 son reales e iguales.

CASO I ¢ Si r 1 y r 2 son reales y la diferencia r 1 - r 2 no es un entero positivo. En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma:

CASO II ¢ Si r 1 y r 2 son reales y la diferencia r 1 - r 2 es un entero positivo. En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: Donde C es una constante que podría ser cero.

CASO III ¢ Si r 1 y r 2 son reales e iguales. En este caso existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma:

Ejemplo 2 ¢ Encontrar la solución general de la ecuación: 2 xy´´-y´+2 y=0 ¢ Partiendo de la sustitución de en la ecuación diferencial, tenemos:

Ejemplo 2…

Ejemplo 2… Como las raíces no difieren en un entero (Caso I) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia para k=1, 2, 3, … es:

Ejemplo 2…

Ejemplo 2…

Ejemplo 2…

Ejemplo 3 ¢ Encontrar la solución general de la ecuación: x 3 y´´-x 2(1+x)y´+xy=0 ¢ Partiendo de la sustitución de en la ecuación diferencial, tenemos:

Ejemplo 3…

Ejemplo 3… Como las raíces son reales e iguales (Caso III) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia con r=1 para los valores de k=2, 3, 4, … es:

Ejemplo 3…

Ejemplo 3… ¢ Para encontrar y 2, utilizaremos: Con:

Ejemplo 3…

Ejemplo 4 ¢ Encontrar la solución general de la ecuación: y´´+2 y´+xy=0 ¢ Partiendo de la sustitución de en la ecuación diferencial, tenemos:

Ejemplo 4…

Ejemplo 4… Como las raíces son reales y la diferencia es un entero (Caso II) la soluciones deben ser de la forma: La ecuación de recurrencia para r=0 y los valores de k=2, 3, 4, … es: ya que para k=0 obtenemos la ecuación indicial y para k=1 C 1=0.

Ejemplo 4…

Ejemplo 4…

Ejemplo 4…