ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACION DIFERENCIAL Definicin Una ecuacin diferencial

ECUACION DIFERENCIAL Definición -Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas

CONCEPTOS BASICOS ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales).

CONCEPTOS BASICOS GRADO El grado de una ecuación diferencial. - Es la potencia a

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Para desarrollar sistemáticamente la teoría de Las ecuaciones diferenciales,

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por orden Primer orden F( x, y, y’)=0

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por grado Lineales: Cuando la variable dependiente Y

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución: es una función que no contiene derivadas

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución Particular: Es la función cuyas constantes arbitrarias

INTERPRETACION GEOMETRICA Geometricamente la solucion general representa una familia de curvas Asi : x²

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre si. O

EXISTENCIA Y UNICIDAD • Teorema De Existencia Y Unicidad • Dada una ecuacion diferencial

EXISTENCIA Y UNICIDAD Condiciones para la existencia de soluciones: - Continuidad de f(X 0,

FUENTES DE REFERENCIA • http: //html. rincondelvago. com/ecuaciondiferencial_1. html • Ecuaciones diferenciales. Autor: Isabel

Slides: 14

Download presentation

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACION DIFERENCIAL Definición -Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. - Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. - Una ecuación diferencial parcial contiene

CONCEPTOS BASICOS ORDEN El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales). - Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por ejemplo: d 2 y + 5 [dy]3 - 4 y = ex o dx 2 dx Son ecuaciónes diferenciales de segundo orden.

CONCEPTOS BASICOS GRADO El grado de una ecuación diferencial. - Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Para desarrollar sistemáticamente la teoría de Las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. TIPOS: Ordinarias y parciales Ordinarias: Son las que contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Parciales: Son las que contienen derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos mas variables independientes.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por orden Primer orden F( x, y, y’)=0 Segundo orden F( x, y’’)=0 Tercer orden F( x, y’’, y’’’)=0 …… …. . Orden n F( x, y’’, y a ala n)=0

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación por grado Lineales: Cuando la variable dependiente Y y todas sus derivadas son de 1 er cada coeficiente de Y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente X (puede ser constante. No lineales: Son las que no cumplen las propiedades anteriores.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución: es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. - Solución General: Es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de la sucesivas integraciones). Ejemplo: La función Y=3 X²+C 1 X+C 2 es solución general de la ecuación diferencial Y’’=6, porque: Y’=6 X+C 1 y Y’’=6 por lo tanto 6 = 6

SOLUCIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL - Solución Particular: Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico. Ejemplo: La función Y=eˉx+8 es la solución particular de la ecuación diferencial Y’+eˉx=0, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos: Y’= eˉx -eˉx + eˉx = 0 por lo tanto 0 = 0

INTERPRETACION GEOMETRICA Geometricamente la solucion general representa una familia de curvas Asi : x² + y² = k² representa una familia de circunferencias

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre si. O de otra manera son las curvas que se intersectan formando angulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacion F(X, Y, Y’)=0, la ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma: F(X, Y – 1/Y’)=0 Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuacion diferencial, se toma: m 1=dy/dx=f(x, y), y como m 2= - 1/m 1 , m 2=dy/dx= - 1/f(x, y) de la trayectoria ortogonal a la primera ecuacion.

EXISTENCIA Y UNICIDAD • Teorema De Existencia Y Unicidad • Dada una ecuacion diferencial Y’ = f(x, y) donde f(x, y) esta definida en una región rectangular R que contiene el punto (X 0, Y 0). Si f(x, y) satisface las condiciones: A) f(x, y) es continua en R. B) df/dy es continua en R. Existe un intervalo 1 con centro en X 0, Y 0 existe una y solo una funcion y=g(x) definida en el intervalo 1 que satisface la condicion inicial Y(X 0)=Y 0

EXISTENCIA Y UNICIDAD Condiciones para la existencia de soluciones: - Continuidad de f(X 0, Y 0) en R. - Acotamiento de f(X 0, Y 0) en R. Condiciones para la unicidad: - Continuidad de f(X 0, Y 0) y df/dy en R. - Acotamiento de f(X 0, Y 0) y df/dy en R.

FUENTES DE REFERENCIA • http: //html. rincondelvago. com/ecuaciondiferencial_1. html • Ecuaciones diferenciales. Autor: Isabel Carmona Jover. Editorial: Pearson.