CLCULO NUMRICO Aula 7 Integrao Numrica CLCULO NUMRICO

CÁLCULO NUMÉRICO Aula 7 – Integração Numérica

CÁLCULO NUMÉRICO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA § Integração Numérica: ü Regra dos retângulos; ü Regra dos trapézios; ü Regra de Simpson. AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO INTEGRAÇÃO NUMÉRICA • Integral definida é numericamente igual a área sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b]. • Integração numérica – técnica empregada na determinação de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação: AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO REGRA DOS RET NGULOS • Subdividimos o intervalo [a, b] em “n” intervalos iguais que servirão para as bases dos retângulos a serem construídos; y f(xi) xi x h • A soma das áreas destes retângulos será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a, b]. AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO REGRA DOS RET NGULOS - CONTINUAÇÃO • Área de cada retângulo : h. f(xi), onde h = (b-a)/n e f(xi) é o valor da função para o ponto médio da base do retângulo: • Observe que a lei de formação de xi é dada por: AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 1: Determine com n = 10. • Solução Analítica: pela regra dos retângulos • Solução Numérica: • h = (1 -0)/10 = 0, 1 AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 1 - CONTINUAÇÃO • Solução Numérica: • Da tabela, • Assim, I = 0, 1 x 3, 469912 = 0, 34699 • Erro = 0, 34699 - 0, 34657 = 0, 00042 AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO REGRA DOS TRAPÉZIOS • Subdividimos o intervalo [a, b] em “n” intervalos iguais que servirão de alturas para os trapézios que serão construídos; f(x) y x • A soma das áreas destes trapézios será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a, b]. AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO REGRA DOS TRAPÉZIOS • Áreas dos trapézios: Somando-se AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 2: Determine com n = 4 pela regra dos trapézios SOLUÇÃO: h = (1 -0)/4 = 0, 25; f(x) = ex X 0= 0; x 1 = 0, 25 ; x 2 = 0, 50; x 3 = 0, 75 e x 4 = 1, 0 AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO REGRA DE SIMPSON • A Regra de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a, b] por um polinômio do 20 grau; • h = (b-a)/n = (xn-x 0)/n • Na expressão atentar para: ü f(x 0) e f(xn) coeficientes unitários; ü f(xímpar) coeficiente 4; ü f(xpar) coeficiente 2. AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 3: Determine 1/3 com n = 4 pela regra de Simpson Solução: h = (3 -2)/4 = 0, 25 X 0 = 2; x 1 = 2, 25; x 2 = 2, 5; x 3 = 2, 75 e x 4 = 3 f(x 0)=5, 43; f(x 1)=6, 93; f(x 2)=8, 73, f(x 3)=10, 88 e f(x 4)=13, 45. AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CÁLCULO NUMÉRICO RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: § Integração numérica: ü Regra dos retângulos; ü Regra dos Trapézios; ü Regra de Simpson (1/3) AULA 7: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA