CLCULO NUMRICO Aula 6 Aproximao de funes CLCULO

CÁLCULO NUMÉRICO Aula 6 – Aproximação de funções

CÁLCULO NUMÉRICO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA § Aproximação de funções: ü Interpolação Polinomial: § Método de Lagrange; § Método de Newton. ü Ajuste de funções. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL • Consiste em determinar uma função (polinomial, neste caso) que se ajuste a uma série de pontos dados. 80 6 pontos polinômio de grau 3 60 40 20 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -20 -40 • Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único polinômio de grau menor ou igual a n. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE LAGRANGE • (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n); APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 1: • Considere o seguinte conjunto de pontos: xi 0 1 2 f(xi) -2 4 12 • Pontos: x 0 = 0, x 1 = 1 e x 2 = 2; f(x 0) = -2; f(x 1) = 4 e f(x 2) = 12 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO CONTINUAÇÃO EXEMPLO 1 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE NEWTON • (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n); • OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDAS • Para n = 2 (diferença dividida ordem n) APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO MÉTODO DE NEWTON - CONTINUAÇÃO (ordem 0) (ordem 1) (ordem 2) (ordem 3) APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 2: • Considere o seguinte conjunto de pontos: xi 0 1 2 f(xi) -2 4 12 • Pontos: x 0 = 0, x 1 = 1 e x 2 = 2; f(x 0) = -2; f(x 1) = 4 e f(x 2) = 12 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO: APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO: APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO AJUSTE DE FUNÇÕES § Nem sempre a interpolação é aconselhável. ü Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento (extrapolação); ü Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros e não pelos pontos. § Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO AJUSTE DE FUNÇÕES § Caso discreto: ü Dados “k” pontos distintos no plano (x 1, y 1); (x 2, y 2); (x 3, y 3). . . ; (xk, yk) num intervalo [a, b]. Devemos escolher funções lineares ou não g 1(x), g 2(x). . . gk(x), e constantes a 1, a 2 , . . . , ak tais que a função (x) = a 1. g 1(x) + a 2. g 2(x) +. . . + ak. gk(x) se aproxime de y = f(x); ü Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar a 1, a 2 , . . . , ak aparecem linearmente. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO 20 20 15 15 f(x) 10 10 5 5 0 -2 (x) 0 0 2 4 6 8 -2 0 -5 -5 -10 2 4 6 8 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO AJUSTE DE FUNÇÕES – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS • Função (x) = a 1. g 1(x) + a 2. g 2(x) + a 3. g 3(x) +. . . + ak. gk(x) • Determinar (x) que mais se aproxime de f(x), ou seja, determinar os “ais” • Desvio: [f(xi) – (xi)]2 para i = 1, 2, . . . k • • F mínima para cada ai. Sistema linear com k incógnitas e k equações. A solução leva aos valores de a 1, a 2, . . . , ak. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 3 • Sejam os pontos abaixo de um experimento. • Gráfico de dispersão sugere parábola que passa pela origem; • (x) = a 1. g(x), onde g(x) = x 2. 2, 5 2 1, 5 1 0, 5 0 -1, 2 -1 -0, 8 -0, 6 -0, 4 -0, 2 0, 4 0, 6 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES

CÁLCULO NUMÉRICO RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: § Aproximação de funções: ü Interpolação Polinomial: § Método de Lagrange; § Método de Newton. ü Ajuste de funções. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES